第4章 线性规划在市场营销财务和运作管理领域的应用

第4章线性规划在市场营销、财务和运作管理领域的应用引言线性规划被誉为是在制定决策时最成功的定量化方法之一，它几乎应用于各个行业。它涉及的问题包括：生产计划、媒体选择、财务计划、资本预算、运输问题、配送系统设计、产品组合、人事管理及混合问题等等。本章我们介绍线性规划的一系列应用，包含一些来自于传统商业领域的营销、财务以及运作管理等问题。2本章主要内容4.1市场营销应用4.2财务应用4.3生产管理应用4.4混合问题34.1市场营销应用4.1.1媒体选择REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区，湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里内的所有中上等收入家庭。REL公司已经聘请BP&J广告公司涉及宣传活动。考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告限投在5种媒体上。在第一个月末，BP&J将根据该月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经搜集了关于潜在受众的数量、广告单价、各种媒体一定时期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定时通过宣传质量单位来衡量，所谓宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体一次广告相对价值的标准，它建立的依据是BP&J在广告行业中的经验，考虑了众多因素，如观众人口统计数据（年龄、收入和教育程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了所搜集的信息。44.1市场营销应用54.1市场营销应用REL发展公司提供给BP&L第一个月的广告预算是30000美元。并且，REL发展公司对如何分配这些资金有如下限制：至少用10次电视广告，覆盖的观众人数至少达到五万人，并且电视广告费用不超过18000美元。应该选择哪些广告媒体呢？要做出的决策是每种媒体的使用次数是多少。我们首先定义如下决策变量：DTV——日间电视使用次数：ETV——晚间电视使用次数；DN——日报使用次数；SN——周日报纸使用次数；R——电台使用次数。64.1市场营销应用从表可看出，一次日间电视广告（DTV）的宣传质量单位是65，与DTV合作的广告设计将提供65DTV的宣传质量单位,晚间电视宣传质量单位是90，日报宣传质量单位是40，周日报纸宣传质量单位是60，电台的宣传质量单位是20。因此如果建模目标是使用媒体选择计划的总宣传质量最大，那么目标函数就是：Max65DTV+90ETV+40DN+60SN+20R模型的约束条件：DTV≤15ETV≤10DN≤25SN≤4R≤3074.1市场营销应用1500DTV+3000ETV+400DN+1000SN+100R≤30000预算约束DTV+ETV≥10电视约束1500DTV+3000ETV≤18000电视约束1000DTV+2000ETV+1500DN+2500SN+300R≥50000

受众约束DTV,ETV,DN,SN,R≥0对这由5个变量和9个约束条件的线性模型求解如下：8大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静94.1市场营销应用104.1市场营销应用该模型的不足之处：即使宣传质量的评定没错，也不能保证总宣传质量的最大化会使利润或销售最大化。然而，这并不是线性规划模型本身的缺陷，而是以宣传质量为标准的缺陷。如果我们能直接计量广告对利润的影响，我们就能以最大利润化为目标了。REL发展公司的广告计划114.1市场营销应用4.1.2市场调查

公司开展市场调查以了解消费者个性特点、态度及偏好。市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新产品、服务和广告活动的反应。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家居产品的反应。在与客户会面过程中，MSI同意开展个人入户调查，调查有儿童的家庭和没儿童的家庭的反应。同时MSI还愿意开展日间和夜间调查。值得注意的是，客户的合同要求MSI依照以下的限制条款进行1000次访问：124.1市场营销应用至少访问400个有儿童的家庭至少访问400个无儿童的家庭。夜间访问的家庭数量不得少于日间访问的数量。至少40%的有儿童家庭必须在夜间访问。至少60%的无儿童家庭必须在夜间访问。因为访问有儿童家庭需要额外的时间，所以夜间访问员的报酬要比日间访问员高，调查成本因访问类型的不同而不同。预计的访问费用如下表（单位：美元）134.1市场营销应用以最小的总访问成本来满足合同要求的家庭--时间的访问计划是什么样的呢？我们设定如下的决策变量：DC--日间访问有儿童家庭数量；EC--夜间访问有儿童家庭数量；DNC--日间访问无儿童家庭数量；DEC--夜间访问无儿童家庭数量。144.1市场营销应用我们依照每次访问成本建立线性规划模型，推出的目标函数如下：Min20DC+25EC+18DNC+20ENC约束条件要求总访问量达到1000，即：DC+EC+DNC+ENC=10005个有关访问类型的特别约束如下：有儿童家庭：DC+EC≥400无儿童家庭：DNC+ENC≥400夜间访问的家庭数量不得少于日间访问的数量：EC+ENC≥DC+DNC即-DC+EC-DNC+ENC≥0至少40%的有儿童家庭必须在夜间访问：EC≥0.4(DC+EC)或-0.4DC+0.6EC≥0至少60%的无儿童家庭必须在夜间访问：ENC≥0.6(DNC+ENC)或-0.6DNC+0.4ENC≥0154.1市场营销应用

将这些非负条件添加到模型后，这个有4个变量和6个约束条件的线性规划模型变为:Min20DC+25EC+18DNC+20ENC

S.t.DC+EC+DNC+ENC=1000

访问总次数

DC+EC≥400有儿童家庭

DNC+ENC≥400无儿童家庭

-DC+EC-DNC+ENC≥0夜间访问

-0.4DC+0.6EC≥0夜间访问有儿童家庭

-0.6DNC+0.4ENC≥0夜间访问无儿童家庭DC,EC,DNC,ENC≥0164.1市场营销应用求解结果如下：174.2财务应用4.2.1投资组合一家坐落于纽约的威尔特共同基金公司，通过变现工业债券获得了100000美元的现金，并正为这笔资金寻找其他投资机会。根据威尔特目前的投资情况，公司高级财务师建议新的投资全部用于石油、钢铁行业或政府债券。分析师具体确定了5个投资机会，并预计了它们的年收益率。投资及相应的年收益率如下表：184.2财务应用投资方案如下：

在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于50000美元。对政府债券的投资至少相当于钢铁行业投资的25%。对太平洋石油这样高收益又高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石油行业投资的60%。

这笔可使用的100000美元资金应怎样分配呢？以预期收益率最大为目标，我们可以通过建立线性规划模型来求解。

设

A——投资于大西洋石油的资金数；P——投资于太平洋石油的资金数；M——投资于中西部钢铁的资金数；H——投资于Huber钢铁的资金数；G——投资于政府债券的资金数。194.2财务应用我们得出投资收益最大化的目标函数：Max0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G设可用的100000美元资金的约束条件为：A+P+M+H+G=100000石油或钢铁投资不得多于5000美元的约束条件为：A+P≤50000M+H≤50000对政府债券投资至少相当于对钢铁行业投资的25%的约束条件为：G≥0.25（M+H）或-0.25M-0.25H+G≥0最后，对太平洋石油投资额不得多于对整个石油行业投资的60%的约束条件为：P≤0.6（A+P）或-0.60A+0.40P≤0204.2财务应用加入这些非负约束后，我们得到完整的线性规划模型：

Max

0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G

S.t.

A+P+M+H+G=100000

可用资金

A+P≤500000石油行业最大投资额

M+H≤500000钢铁行业最大投资额

-0.25M-0.25H+G≥0政府债券

-0.6A+0.4P≤0太平洋石油

A,P,M,H,G≥0非负约束214.2财务应用最优解决方案见下图：224.2财务应用4.2.2财务计划

Hewlitt公司建立了一项提前退休计划，作为其公司重组的一部分。在自愿签约期临近时，68位雇员办理了提前退休手续。因为这些人的提前退休，在接下来的8年里，公司将承担以下责任，每年年初支付的现金需求如下表所示（单位：1000美元）

公司的财务人员必须决定现在应该准备多少钱，以便应付8年的支出计划。该退休项目的财务计划包括政府债券的投资及储蓄。对于政府债券的投资限于以下3种选择234.2财务应用政府债券面值1000美元，这意味着尽管价格不同，到期时，也要支付1000美元。上表中所示利率是基于面值的。在制定这个计划时，财务人员假定所有没有被投资于债券的资金都被投资于储蓄，且每年可以获得4%的利息。定义如下决策变量：F——退休计划所形成的8年期债务所需的总金额；B1——在第1年年初买入的债券1的单位数量；B2——在第1年年初买入的债券2的单位数量；B3——在第1年年初买入的债券3的单位数量；Si——第i年年初投资于储蓄的金额（i=1,2,…,8）目标函数是求出满足退休计划带来的8年期债券所需资金的最小值，即

minF每个约束条件都采取下面的形式：年初可使用资金-投资于债券与储蓄的资金=该年的现金支付F给出了第1年年初可使用的资金数量，第1年的资金除了用于购买债券外，其用于储蓄的数额为S1，第1年的约束条件：244.2财务应用F-1.15B1-1B2-1.35B3-S1=430第2年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S1-S2=210其他年：0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S2-S3=222

0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S3-S4=231

0.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S4-S5=2401.08875B1+0.055B2+0.1175B3+1.04S5-S6=1951.055B2+0.1175B3+1.04S6-S7=2251.1175B3+1.04S7-S8=255需要注意的是，第6年的约束条件显示出债券1提供的可用资金是1.08875B1，系数1.08875B1反映了在第6年可获得的债券1在第5年的面值加上利息的值。同时，因为债券在第5年到期，在第6年年初就可以使用，所以变量B1不会出现在第7年和第8年的约束中。债券2和3与债券1同样。254.2财务应用264.3生产管理应用4.3.1制造或购买决策

我们用线性规划来决定一个公司生产几种零件时，每种应分别生产多少，又该从外部购买多少。我们称之为“制造或购买决策”。

某公司经营多种商用和工程产品。最近该公司准备推出两款新计算器，一款用于商用市场，名为“财务经理”；另一款用于工程市场，名为“技术专家”。每款都由3部件组成，一个基座，一个电子管，一个面板。两种计算器使用相同的基座，但电子管和面板不同。所有零件都可以由公司自己生产或从外部购买。各自成本见下表。274.3生产管理应用284.3生产管理应用预测师们指出市场将需要3000台财务经理和2000台技术专家。但由于生产能力有限，公司仅能安排200小时的正常生产时间和50个小时的加班时间用于计算器生产。加班时间要每小时多支付给员工9美元的津贴，即额外的成本。右表显示了各零件所分得的生产时间。294.3生产管理应用该公司问题是决定每种零部件有多少单位由自己生产，多少从外部购买。我们定义如下变量：

BM——生产的基座数量；

BP——购买的基座数量；

FCM——生产的财务经理电子管数量；

FCP——购买的财务经理电子管数量；

TCM——生产的技术专家电子管数量；

TCP——购买的技术专家电子管数量；

FTM——生产的财务经理面板数量；

FTP——购买的财务经理面板数量；

TTM——生产的技术专家面板数量；

TTP——购买的技术专家面板数量；

OT——加班时间。

目标函数是将成本最小化。成本包含生产费用、采购费用和加班费用。304.3生产管理应用目标函数为：Min

0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.78TTP+90T

5个约束条件：

BM+BP=5000基座

FCM+FCP=3000财务经理电子管

TCM+TCP=2000技术专家电子管

FTM+

财务经理面板

TTM+TTP=2000

技术专家面板

需要两个约束条件保证不会超出正常工作时间和加班时间。即：

OT≤50

BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM≤12000+300O314.3生产管理应用所有带非负的决策变量的完整的模型是：Min

0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.75TTM+0.78TTP+90TS.t.BM+BP=5000基座

FCM+FCP=3000财务经理电子管