数学 2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学创新融合7　立体几何与导数含答案

数学2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学创新融合7立体几何与导数创新融合7立体几何与导数1.(2024·连云港模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,DA⊥平面ABP,CB⊥平面ABP,DA=1,AB=22,PA=PB=BC=2,平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l∥AD;(2)若E为l上一点,求直线PD与平面EAB所成角的正弦值的最大值.【解析】(1)因为DA⊥平面ABP,CB⊥平面ABP,所以DA∥BC,又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,又AD⊂平面PAD,且平面PAD与平面PBC的交线为l,所以l∥AD.(2)取AB的中点O,连接PO.因为PA=PB,所以PO⊥AB,因为DA⊥平面PAB,DA⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(-2,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(-2,1,0),P(0,0,2),设E(0,t,2),则=(-2,1,-2),=(22,0,0),=(2,t,2),设平面EAB的一个法向量n=(x,y,z),因为令z=2,则x=0,y=-2t,即n=(0,-2t,2设直线PD与平面EAB所成角为θ,所以sinθ==-2-2t5·2+(-2t)

2则y'=2(t+1令y'>0,则t2-t-2<0,所以-1<t<2,所以函数y在(-1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以当t=2时,ymax=32,即(sinθ)max=15故直线PD与平面EAB所成角的正弦值的最大值为1552.(2024·襄阳二模)如图,在几何体ABCDE中,底面ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面ABC⊥平面ACD,平面ABC⊥平面BCE,DE∥平面ABC,AD⊥DE,DM⊥AC,M为垂足,EH⊥BC,H为垂足.(1)证明:DE⊥平面ACD;(2)若AC=2CD=2,设N为棱BE的中点,求当几何体ABCDE的体积取最大值时,AN与CD所成角的正切值.【解析】(1)连接MH,因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DM⊂平面ACD,DM⊥AC,所以DM⊥平面ABC,同理EH⊥平面ABC,所以DM∥EH,故D,E,H,M四点共面.又DE∥平面ABC,DE⊂平面DEHM,平面DEHM∩平面ABC=MH,所以DE∥MH,又MH⊂平面ABC,则DM⊥MH,所以四边形DEHM为矩形,所以DE⊥DM,又DE⊥AD,DM∩DA=D,DM,DA⊂平面ACD,所以DE⊥平面ACD.(2)因为MH∥DE,DE⊥平面ACD,所以MH⊥平面ACD,所以MH,MC,MD两两垂直,建立如图空间直角坐标系:设MC=MH=t(0<t<1),则Rt△CDM中,DM=1-t2=EH,S△ACD=12·AC·DM=1-所以VABCDE=VE-ACD+VE-ABC=13DE·S△ACD+13EH·S△ABC=13(1+t设f(t)=13(1+t)(1-t2),0<t<1,则令f'(t)>0⇒0<t<12,f'(t)<0⇒12<所以函数f(t)在(0,12)上单调递增,在(12,1所以f(t)max=f(12)=34,即当t=12时,此时E(12,0,32),B(1,-12,0),C(0,12,0),D(0,0,32),A(0,-32,0),N(3所以=(34,54,34),=(0,-12,32),则=137,得sin<,>=6所以=6,故AN和CD所成角的正切值为6.3.(2024·上海模拟)设一个简单几何体的表面积为S,体积为V,定义系数K=S3V2,已知球体对应的系数为K0,定义f=(1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”;(2)求圆柱的“球形比例系数”范围;(3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体?若存在,请描述该几何体的基本特征;若不存在,说明理由.【解析】(1)设球的半径为r,正方体的棱长为a,正四面体的棱长为b,则K0=(4πr2)3(正四面体的表面积为S=4×12b×32b=3b如图,设E为正三角形BCD的中心,连接AE,BE,设正四面体的棱长为b,则BE=12×bsinπ3故AE=b2-b则其体积为13AE·S△BCD=13×63b×34b2=则正四面体的系数为K2=(3b所以,正方体的“球形比例系数”f=36π216=π正四面体的“球形比例系数”f=36π2163=(2)设圆柱底面半径为r,高为h,则全面积为S=2πr(r+h),体积为V=πr2h,于是K=S3V2=8π(设x=hr,f(x)=(则f'(x)=x(当x∈(0,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0;即x∈(0,2)时,f(x)单调递减;x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增.即x=2,h=2r时,圆柱的系数最小为K=54π,所以,圆柱的球形比例系数的值域为0,(3)考虑圆柱和半球的组合体,底面重合,半径为r,圆柱的高为h,x=hr,于是组合体的全面积S=3πr2+2πrh,体积V=23πr3+πr2h,K=S3V2=(3πr2+2πrh)3(23πr3+πr2h)

当x≈1.95时,f(1.95)≈0.75,故存在球形比例系数为0.75的几何体,其由圆柱和一个半球组合而成,底面半径相同,圆柱的高约为半径的1.95倍.4.(2024·河南模拟)球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的,不存在直线,连接球面上任意两点有无数条曲线,它们长短不一,其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.(1)纬度是指某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角,赤道为0°纬线,赤道以北叫做北纬.如图1,将地球看作球体,假设地球半径为R,球心为O,北纬30°的纬线所形成的圆设为圆O',且A'B'是圆O'的直径,球面被经过球心O和点A',B'的平面截得的圆设为圆O,求圆O中劣弧A'B'的长度,并判断其是否是A',(2)如图2,点A,B在球心为O1的球面上,且AB不是球的直径,试问A,B两点间的球面距离所在的圆弧AB是否与球心O1共面?若是,写出证明过程,并求出当O1A=4,∠AO1B=π4时,A,B两点间球面距离所在的圆弧AB与球心O1所形成的扇形AO1B的面积;若不是,请说明理由【解析】(1)连接OA',OB',OO'.由纬度的意义,可得∠OB'O'=30°,O'B'=R·cos∠OB'O'=R·cos30°=32所以A'B'=2O'B'=3R.又OA'=OB'=R,故cos∠A'OB'=R2+R又0<∠A'OB'<π,所以∠A'OB'=2π3,故劣弧A'B圆O中的劣弧A'B'的长度是A',(2)设已知经过A,B两点的劣弧分别为ASB,ATB,且其圆心分别为O1,O2,将它们画在同一平面上,取线段AB的中点C,连接CO1,CO2,如图所示,设O1A=r1,∠AO1C=x1(弧度),O2A=r2,∠AO2C=x2(弧度),AC=a,则sinx1=ar1,sinx2=又ASB=2x1r1,ATB=2x2r2,故ASB=2a·x1sinx1,ATB设函数f(x)=xsinx,x∈(0,π则f'(x)=sinx令g(x)=sinx-xcosx,则g'(x)=xsinx>0,x∈(0,π2)所以g(x)在(0,π2)则g(x)>g(0)=0,x∈(0,π2)所以f'(x)=sinx所以f(x)在(0,π2)上单调递增因为x1<x2,所以x1sinx1<x故A,B两点间的球面距离所在的圆弧AB与球心O1共面.当O1A=4,∠AO1B=π4时,扇形AO1B的面积S=12O1A2·∠AO1B=12×42×创新融合8解析几何中的新定义问题1.(2024·绵阳模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和椭圆C2:y2b2+x2t2(1)已知“猫眼曲线”Γ满足a,b,t成等比数列,公比为22,判断此时曲线Γ是否为“优美猫眼曲线”.若曲线Γ经过点G(0,-2),求出组成这个曲线Γ的两个椭圆的标准方程(2)对于(1)中所求的“猫眼曲线”Γ,作直线l(斜率为k,且k≠0).①若直线l不经过原点O,且与组成Γ的两个椭圆都相交,交椭圆C1所得弦的中点为M,交椭圆C2所得弦的中点为N,如图1所示,kOMkON是否为与②若直线l的斜率k=2,l与椭圆C2相切,交椭圆C1于A,B两点,Q为椭圆C1上与A,B不重合的任意一点,如图2所示,求△ABQ面积的最大值.【解析】(1)由题意知,ba=tb=22.椭圆C1的离心率e1=1椭圆C2的离心率e2=1-(tb)

2=2所以此时曲线Γ是“优美猫眼曲线”.由曲线Γ过点G(0,-2),得b=2,所以a=2,t=1,所以两椭圆方程分别为C1:x24+y22=1,C2:y2(2)①设斜率为k的直线l交椭圆C1于点C(x1,y1),D(x2,y2),线段CD的中点为M(x0,y0),则x0=x1+x22,y0=y1+y22,k由x124+y因为k存在且k≠0,所以x1≠x2且x0≠0,所以y1-y2x1-x2·y0x0=-12,即k·kOM=-1②设直线l的方程为y=2x+m,由y2化简得关于x的方程4x2+22mx+m2-2=0.由Δ1=(22m)2-16(m由图象的对称性,m=-2与m=2时结果一样,不妨取m=2,则y=2x+2.由x24+y22=1y=2x设A(x3,y3),B(x4,y4),则x3+x4=-825,x3x4=45,AB=3x3-x设Q(2cosθ,2sinθ),由点到直线l的距离公式得点Q到直线l的距离d=22cosθ-2所以dmax=10+2所以△ABQ面积的最大值为12AB·dmax=12×125×2.曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量,曲率越大,曲线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率K=y″(1+y'2)32(其中y'表示函数y=f(x)在点M处的导数,y″表示导函数f'(x)在点M处的导数).在曲线y=f(x)上点M处的法线(过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线)指向曲线凹的一侧上取一点D,使得|MD|=1K(1)求出曲线C1:y2-x2=2在点M(0,2)处的曲率,并在曲线C2:xy=1的图象上找一个点E,使曲线C2在点E处的曲率与曲线C1在点M(0,2)处的曲率相同;(2)若要在曲线C1:y2-x2=2上支凹侧放置圆C3,使其能在M(0,2)处与曲线C1相切且半径最大,求圆C3的方程;(3)在(2)的条件下,在圆C3上任取一点P,曲线C1上任取关于原点对称的两点A,B,求·的最大值.【解析】(1)曲线C1:y2-x2=2在点M(0,2)附近满足y=x2+2,进一步有y'=y″=x2+2-故其曲率K=y″(1+y'在x=0处,K=2232=22,所以曲线C1:y2-x2=2在点M(0,考虑曲线C2:xy=1上的点E(1,1),曲线在该点附近满足y=1x,进一步有y'=-1x2,y″故其曲率K=y″(1+y'在x=1处,K=2(1+11)

32=2232=2(2)设C3的方程为x2+(y-R-2)2=R2,R>0,由条件知,由x2+(y-R-2)2=R2将其联立,得到y2-2+(y-R-2)