数学 2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学满分案例三　立体几何含答案

数学2025《高中考前》高考冲刺考试方法答题技巧高考预测数学满分案例三立体几何满分案例三立体几何【真题示例】(2024·新高考Ⅰ卷)(15分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3.(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为427,求标准答案阅卷现场【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD 1分①又因为AD⊥PB,PA∩PB=P,所以AD⊥平面PAB 2分②故AD⊥AB 3分③因为AC=2,BC=1,AB=3,所以BC⊥AB 4分④故AD∥BC 5分⑤因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC 6分⑥(2)因为AD⊥DC,所以以D为坐标原点,分别以DA,DC所在直线为x,y轴,过点D作PA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,如图 7分⑦设AD=a>0,则DC=4-a2,D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,4-a2,0),P设平面DCP的法向量n1=(x1,y1,z1),因为=(0,4-a2,0),=(a,0,2),所以由,即4-可取n1=(2,0,-a) 11分⑨又=(0,0,2),=(-a,4-a2设平面ACP的法向量n2=(x2,y2,z2),所以,所以2z2=0-ax2+4-a因为二面角A-CP-D的正弦值为427,所以余弦值的绝对值为1所以由|cos<n1,n2>|=17=|n1·n得a2=3,a=3,因此,AD=3 15分⑫(1)(6分)①由线面垂直得线线垂直得1分;②证出AD⊥平面PAB得1分;③写出AD⊥AB得1分;④证出BC⊥AB得1分;⑤证出AD∥BC得1分;⑥证出结论得1分;【评分细则】1.未写出PA与PB相交于点P扣1分;2.证出AD⊥平面PAB给2分,否则给PA⊥AD1分;3.没有写出AD⊄平面PBC,扣1分;4.结论不单独给分;5.若用向量法证明,正确得全分;(2)(9分)⑦正确建立空间直角坐标系得1分;⑧写出所需要的点的坐标正确得3分;⑨求出平面DCP的法向量正确得1分;⑩求出平面ACP的法向量正确得1分;⑪根据二面角的正弦值列出两法向量的夹角公式得1分;⑫计算结果正确得2分;【评分细则】1.空间直角坐标系无论左手系是右手系正确即可得1分;若无文字说明,图象有体现不扣分;2.采用左手系结果正确得全分,错误按步骤得分;3.采用几何法结果正确得全分;4.夹角公式写出单独得1分,结果错误扣1分.满分案例五数列【真题示例】(2024·新高考Ⅰ卷)(17分)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列.(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使数列a1,a2,…,a6是(i,j)——可分数列;(2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列;(3)从1,2,…,4m+2中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列的概率为Pm,证明:Pm>18标准答案阅卷现场【解析】(1)(1,2),(1,6),(5,6) 3分①(2)数列a1,a2,…,a4m+2的前14项a1,a2,…,a14中删去a2和a13后剩余的12项可被平均分为以下3组:a1,a4,a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14.由题设知这3组中的4个数都能构成等差数列 6分②当m≥4时,数列a1,a2,…,a4m+2从第15项开始每连续4项分为一组,共可得(m-3)组,每组中的4个数都能构成等差数列.所以当m≥3时,数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列 8分③(3)设as,at,au,av是数列a1,a2,…,a4m+2中不同的4项,数列as,at,au,av是等差数列等价于数列s,t,u,v是等差数列.因此数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列等价于数列1,2,…,4m+2是(i,j)——可分数列 10分④记集合M中元素的个数为|M|,令Km={(i,j)|数列1,2,…,4m+2是(i,j)——可分数列},则Pm=|Km|因为1,3,5,7和4,6,8,10为等差数列,故(2,9)∈K2.由(2)知(2,13)∈K3 12分⑥若(2,4m+1)∈Km,则由4m+1,4m+3,4m+5,4m+7和4m+4,4m+6,4m+8,4m+10均为等差数列,可得(2,4m+9)∈Km+2.所以当m≥2时,均有(2,4m+1)∈Km 14分⑦因为连续4个整数构成等差数列,所以(4i+1,4m+6)∈Km+1,i=0,1,…,m+1,且Km⊆Km+1,若(u,v)∈Km,则(u+4,v+4)∈Km+1,故由(2,4(m-i+2)+1)∈Km-i+2知(4i-2,4m+5)∈Km+1,i=1,…,m.故|Km+1|-|Km|≥2m+2.再由(1)知|K1|=3,可得|Km|≥m2+m+1,因此Pm≥m2+m+18m2(1)(3分)①写出三个结果正确得3分;【评分细则】三个数对各占1分;(2)(5分)②写出符合条件的三个数组得3分;③证明当m≥3时,数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列得2分;【评分细则】1.三个数组各得1分;2.若写法为将数列a1,a2,…,a4m+2剔除a2和a13后,分成如下m组:a1,a4,a7,a10;a3,a6,a9,a12;a5,a8,a11,a14;a15,a16,a17,a18;…;a4k-1,a4k,a4k+1,a4k+2;…;a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2;以上各组的四个数依次成等差数列.故数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列.不扣分;(3)(9分)④正确说明可分数列的等价得2分;⑤写出概率公式得1分;⑥得出(2,13)∈K3得1分;⑦证出当m≥2时,均有(2,4m+1)∈Km得2分;⑧证出结论正确得3分;【评分细则】1.10分点若出现在第(2)问位置且第(3)问有作答的,同样得2分;若上述得分点未出现,后面全部针对原数