第五章 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-人教A版高中数学必修第一册教学课件

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第五章三角函数数学学习目标①了解周期函数、周期、最小正周期的含义.

③会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、单调区间及最值.学习重难点

课堂导入问题类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质?

探究一周期性课堂探究函数的周期一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且_____________，那么函数f(x)就叫做周期函数.__________叫做这个函数的周期.非零常数T

f(x＋T)＝f(x)

非零常数T

课堂探究

最小的正数

最小正周期

sinx

cosx

周期

2π

探究一周期性课堂探究

课堂探究解

(1)∀x∈R，有3sin(x+2π)=3sinx.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期为2π，即cos(z+2π)=cosz，于是cos(2x+2π)=cos2x，所以cos2(x+π)=cos2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.

课堂探究

由以上的解答过程，探究：这些函数的周期与解析式中哪些量有关?

课堂探究归纳新知

探究二奇偶性课堂探究

思考：知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助?奇函数偶函数课堂探究

奇

原点

偶

y轴

归纳新知课堂探究

【做一做】A课堂探究

【做一做】课堂探究类题通法判断函数的奇偶性必须先检查定义域是否关于原点对称.如果是，再看f(x)与f(−x)的关系，进而判断函数的奇偶性.如果不是，则该函数必为非奇非偶函数.判断三角函数的奇偶性有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.探究三单调性课堂探究

图①1

x

πy

探究三单调性课堂探究sinx的值的变化情况如下表所示.x↗0↗↗π↗sinx−1010−1

↗↘↗↘增减1

x

πy

探究三单调性课堂探究

类似地，观察余弦函数在一个周期区间(如[−π，π])上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下表.探究三单调性课堂探究x−π↗↗0↗↗πcosx−1010−1↗↗↘↘由此可得，余弦函数y=cosx，x∈[−π，π]，在区间_________上单调递增，其值从−1增大到1；在区间_________上单调递减，其值从1减小到−1.[−π，0][0，π]

x

π−πy探究三单调性课堂探究由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间_____________________上都单调递增，其值从−1增大到1；余弦函数在每一个闭区间_____________________上都单调递减，其值从1减小到−1.[(2k−1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)课堂探究

正弦、余弦函数的单调性归纳新知函数单调递增区间单调递减区间y=sinxy=cosx

[(2k−1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)正弦函数当且仅当

x=__________________时取得最大值1，当且仅当

x=__________________时取得最小值−1；余弦函数当且仅当

x=__________________时取得最大值1，当且仅当

x=__________________时取得最小值−1.探究四最大值与最小值课堂探究从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：

2kπ(k∈Z)2(k+1)π(k∈Z)课堂探究①正弦、余弦函数图象上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.③正弦函数和余弦函数的图象既是轴对称图形也是中心对称图形.知识拓展课堂探究例2

下列函数有最大值、最小值吗?如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.(1)y=cosx+1，x∈R； (2)y=−3sin2x，x∈R.

课堂探究

例2

下列函数有最大值、最小值吗?如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.(1)y=cosx+1，x∈R； (2)y=−3sin2x，x∈R.课堂探究

分析可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.课堂探究

课堂探究

函数y=sinxy=cosx图象定义域值域周期性奇偶性课堂探究正弦函数和余弦函数的性质对比RR

最小正周期为2π最小正周期为2π1

x

π−πy1

x

πy

奇函数偶函数课堂探究正弦函数和余弦函数的性质对比函数y=sinxy=cosx单调性在每一个闭区间

上都单调递增，在每一个闭区间

上都单调递减在每一个闭区间

上都单调递增；在每一个闭区间

上都单调递减最值当x=

时取得最大值1，当x=

时取得最小值−1当x=

时取得最大值1，当x=

时取得最小值−1对称性对称中心为

；对称轴为直线

x=

.对称中心为

；对称轴为直线

x=

.

[(2k−1)π，2kπ](k∈Z)[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)

2kπ(k∈Z)(2k+1)π(k∈Z)

评价反馈解析

(1)举反例，sin(40°+60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y=sinx的一个周期.(2)根据周期函数的定义知，该说法正确.(3)因为定义域不关于原点对称.√

××评价反馈

D评价反馈