(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》检测题(含答案解析)

一、选择题1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A． B．C． D．2．已知a+b=3，ab=1，则多项式a2b+ab2-a-b的值为（）A．-1 B．0 C．3 D．63．若，，则的值为（）A． B． C． D．4．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是()A． B．C． D．5．对于任何实数、，多项式的值总是（）A．非负数 B． C．大于 D．不小于6．已知三角形的三边a，b，c满足，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2－b2=c（a－b），则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形8．下列各式的因式分解正确的是（）A． B．C． D．9．若a+b=3，a2-b2=6，则a-b等于（）A．1 B．2 C．-2 D．-110．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（）A．B．C．D．11．下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是()A．a(x+y)=ax+ay B．x2-2x+1=x(x-2)+1 C．x2-1=(x+1)(x-1) D．a2+2a+3=(a+1)2+212．下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（）A． B．C． D．二、填空题13．已知x2－3x－1＝0，则2x3－3x2－11x＋1＝________．14．分解因式：________．15．已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为，则长方形的周长为___．16．二次三项式在实数范围内分解因式的结果是______．17．已知，，则的值为__________．18．若x﹣y=2，xy=3，则x2y﹣xy2=____．19．若m+n＝1，mn＝﹣6，则代数式m2n+mn2的值是_____．20．若，则=_________．三、解答题21．观察下列分解因式的过程：．解：原式=像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．（1）请你运用上述配方法分解因式：；（2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由．22．（1）因式分解：（2）计算：23．下面是小华同学分解因式的过程，请认真阅读，并回答下列问题．解：原式①②③任务一：以上解答过程从第步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．24．计算或因式分解（1）计算（2）计算（3）因式分解：（4）因式分解：（5）先化简，再求值：．其中，是的小数部分．25．（阅读学习）课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）；（2）．（学以致用）请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）；（2）．（拓展应用）已知：，．求：的值．26．（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9－1＝(a+3)2－1＝(a+3－1)(a+3+1)＝(a+2)(a+4)②求x2+6x+11的最小值．解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝(x+3)2+2；由于(x+3)2≥0，所以(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+；(2)用配方法因式分解：a2－12a+35；(3)用配方法因式分解：x4+4；(4)求4x2+4x+3的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】解：A、，不是分解因式；B、，不是分解因式；C、，是分解因式；D、，不是分解因式；故选：C．【点睛】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a2b+ab2-a-b=（a2b-a）+（ab2-b）=a（ab-1）+b（ab-1）=（ab-1）（a+b）将a+b=3，ab=1代入，得原式=0．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．3．B解析：B【分析】利用平方差公式进行分解因式后计算即可得到答案.【详解】∵，，∴==1，故选：B.【点睛】此题考查平方差公式分解因式，，熟记公式并运用解题是关键.4．D解析：D【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的意义求解即可．【详解】A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；B、是单项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、是整式的乘法，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．5．D解析：D【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：，，，，多项式的值总是不小于2，故选：．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．6．D解析：D【分析】先将原式分解因式得（b-a）(b2+c2-a2)=0,从而得b﹣a=0或c2+b2﹣a2=0，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：∵，∴（b-a）(b2+c2-a2)=0.∴b﹣a=0或c2+b2﹣a2=0，则a=b或c2+b2=a2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选D．【点睛】此题综合运用了因式分解的知识、勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．7．C解析：C【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．【详解】已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．故选C．【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．A解析：A【分析】利用提公因式法同时结合公式法进行因式分解．【详解】A、，正确，符合题意；B、，错误，不符合题意；C、右边不是积的形式，错误，不符合题意；D、，错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．9．B解析：B【分析】根据平方差公式将a2-b2=6进行变形，再把a+b=3代入求值即可．【详解】解：∵a+b=3，∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3（a-b）=6，∴a-b=2，故选：B．【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键．10．A解析：A【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．【详解】解：A、，是因式分解，故此选项正确；B、（x+2）（x+3）=x2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；C、4a2-9b2=（2a-3b）（2a+3b），故此选项错误；D、m2-n2+2=（m+n）（m-n）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．11．C解析：C【分析】把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：A．属于整式乘法运算，不属于因式分解；B．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解；C．x2-1=（x+1）（x-1），属于因式分解；D．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解．故选：C．【点睛】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．12．C解析：C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义依次判断．【详解】A、这是整式乘法计算，故该项不符合题意；B、，等式右侧不是整式的乘积，故该项不符合题意；C、，故该项符合题意；D、，等式右侧是乘积，但不是整式，故该项不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是正确判断的关键．二、填空题13．4【分析】根据x2－3x－1＝0可得x2－3x＝1再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值【详解】解：∵x2－3x－1＝0∴x2－3x＝1∴==将x2－3x＝1代入原式==将x2－3x＝1代解析：4【分析】根据x2－3x－1＝0可得x2－3x＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．【详解】解：∵x2－3x－1＝0，∴x2－3x＝1，∴==将x2－3x＝1代入原式==将x2－3x＝1代入原式=，故答案为：4．【点睛】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想．14．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式==故答案为：【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键解析：【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=，=故答案为：.【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．【分析】先将分解因式得到长方形的另一条边长即可求解【详解】解：∵长方形的面积是它的一条边长为∴另一条边长是∴周长为：故答案为：【点睛】本题考查因式分解整式的加减运算掌握提公因式法是解题的关键解析：【分析】先将分解因式，得到长方形的另一条边长，即可求解．【详解】解：∵长方形的面积是，它的一条边长为，∴另一条边长是，∴周长为：，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解、整式的加减运算，掌握提公因式法是解题的关键．16．【分析】先提出负号把括号内多项式分两组4y2-8xy两项一组x2单独一组把两项一组配方4y2-8xy+4x2-4x2=4（y-x）2-4x2把-4x2与x2合并得-3x2括号内变为再因式分解即可【详解析：【分析】先提出负号，把括号内多项式分两组4y2-8xy两项一组，x2单独一组，把两项一组配方4y2-8xy+4x2-4x2=4（y-x）2-4x2，把-4x2与x2合并得-3x2，括号内变为，再因式分解即可．【详解】，，，，．故答案为：【点睛】本题考查在实数范围内因式分解问题，掌握两数和与差完全平方公式与平方差公式，会灵活运用公式解决问题，特别是三项式因式分解，一般要考虑用两数和与差完全平方公式，而且先配方，在因式分解是解题关键．17．6【分析】直接提取公因式进而分解因式再整体代入数据即可得出答案【详解】∵∴=3×2=6故答案为：6【点睛】本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值正确找出公因式是解题关键解析：6【分析】直接提取公因式，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．【详解】∵，，∴=3×2=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正确找出公因式是解题关键．18．6【分析】原式提取xy利用提公因式法因式分解将各自的值代入计算即可求出值；【详解】解：∵x-y=2xy=3∴原式=xy（x-y）==6【点睛】此题考查了提公因式法因式分解熟练掌因式分解是解本题的关键解析：6【分析】原式提取xy，利用提公因式法因式分解，将各自的值代入计算即可求出值；【详解】解：∵x-y=2，xy=3，∴原式=xy（x-y）==6.【点睛】此题考查了提公因式法因式分解，熟练掌因式分解是解本题的关键．19．-6【分析】利用提公因式法因式分解再把m+n＝1mn＝﹣6代入计算即可【详解】解：∵m+n＝1mn＝﹣6∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣6）×1＝﹣6故答案为：﹣6【点睛】此题考查了已知式子的解析：-6【分析】利用提公因式法因式分解，再把m+n＝1，mn＝﹣6代入计算即可.【详解】解：∵m+n＝1，mn＝﹣6，∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝（﹣6）×1＝﹣6．故答案为：﹣6.【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确分解因式是解题的关键.20．【分析】利用平方差公式进行计算即可得到答案【详解】解：∵∴；故答案为：【点睛】本题考查了平方差公式的运用解题的关键是熟练掌握平方差公式进行求值解析：【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的运用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行求值．三、解答题21．（1）（a-b）（a+5b）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2．【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可；(2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可．【详解】解：(1)，，，，；（2）代数式，=a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12，=，，∴当，b-3=0即，b=3时原式有最小值，最小值是2．【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键．22．（1）；（2）9a【分析】（1）先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方公式进行因式分解；（2）整式的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．【详解】解：（1）==（2）=====【点睛】本题考查因式分解和整式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．23．①；见解析【分析】根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．【详解】解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误，故答案为：①正确过程如下：．【点睛】本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．24．（1）；（2）；（3）；（4）；（5），9【分析】（1）先算算术平方根，立方根和乘方，再算加减法，即可求解