《包装中的数学问题》讲义

《包装中的数学问题》讲义教材版本：人教版小学数学五年级下册章节：综合实践活动类型：数学实践课同学们，在咱们的日常生活里，包装那可是随处可见。去超市买东西，各种商品都被精心包装着；收快递的时候，包裹也是包得严严实实。你们有没有想过，这包装里面可藏着不少数学知识呢！今天，咱们就一起来探索探索《包装中的数学问题》。一、知识小导入咱们先来看一个生活中常见的场景。老师这儿有一个小故事：小熊过生日，收到了好朋友送的礼物，是两盒同样的巧克力。小熊想把这两盒巧克力重新包装一下送给生病的小鹿，怎样包装才能最节省包装纸呢？这个问题就和咱们今天要学的包装中的数学问题紧密相关啦。在正式解决这个问题之前，咱们先来回顾一些之前学过的知识。还记得长方体的表面积怎么计算吗？长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。这可是解决包装问题的关键知识哦！假如有一个长方体，长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米，那它的表面积该怎么算呢？咱们把数字带进公式里，（5×4＋5×3＋4×3）×2＝（20＋15＋12）×2＝47×2＝94平方厘米。大家都算对了没？二、探索新知识现在咱们就来正式研究包装问题。老师拿出两个同样的长方体学具，假设这就是两盒巧克力。每个长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是4厘米。要把它们包装在一起，有几种不同的包装方法呢？同学们可以自己动手摆一摆，看看能想出几种。有的同学已经有想法啦！对，有三种包装方法。第一种呢，是把两个长方体的最大面（10×6的面）重合在一起；第二种是把两个长方体的次大面（10×4的面）重合在一起；第三种就是把两个长方体的最小面（6×4的面）重合在一起。那这三种包装方法包装后的大长方体的长、宽、高分别是多少呢？咱们一起来分析分析。当把最大面重合时，大长方体的长还是10厘米，宽是6厘米，高变成了4×2＝8厘米；把次大面重合时，长是10厘米，宽是4厘米，高是6×2＝12厘米；把最小面重合时，长是6厘米，宽是4厘米，高是10×2＝20厘米。接下来，咱们就分别计算这三种包装方法下大长方体的表面积。先看第一种，把最大面重合。根据长方体表面积公式，（10×6＋10×8＋6×8）×2＝（60＋80＋48）×2＝188×2＝376平方厘米。再看第二种，把次大面重合。（10×4＋10×12＋4×12）×2＝（40＋120＋48）×2＝208×2＝416平方厘米。最后看第三种，把最小面重合。（6×4＋6×20＋4×20）×2＝（24＋120＋80）×2＝224×2＝448平方厘米。比较这三个表面积的大小，376平方厘米＜416平方厘米＜448平方厘米。可以发现，把最大面重合在一起包装时，大长方体的表面积最小，也就是最节省包装纸。同学们想一想，为什么把最大面重合就最节省包装纸呢？这是因为两个长方体拼在一起，会有两个面重合，重合的面越大，露在外面的表面积就越小，也就越节省包装纸啦。三、深入探究咱们刚才研究了两个同样的长方体的包装问题，那如果是多个同样的长方体包装在一起呢？比如有4个同样的长方体，长、宽、高还是10厘米、6厘米、4厘米，又有哪些包装方法，哪种最节省包装纸呢？同学们分组讨论，动手摆一摆。小组讨论结束后，咱们请小组代表来说一说你们的发现。有的小组说，有好几种摆法呢。可以把它们排成一排，这样长就变成了10×4＝40厘米，宽是6厘米，高是4厘米；也可以排成两排，每排两个，这时长是10×2＝20厘米，宽是6×2＝12厘米，高是4厘米；还可以有其他不同的摆法。咱们还是分别计算不同摆法下大长方体的表面积。先看排成一排的情况，（40×6＋40×4＋6×4）×2＝（240＋160＋24）×2＝424×2＝848平方厘米。再看排成两排，每排两个的情况，（20×12＋20×4＋12×4）×2＝（240＋80＋48）×2＝368×2＝736平方厘米。通过比较，发现排成两排，每排两个这种包装方法表面积更小，更节省包装纸。而且啊，咱们进一步观察会发现，在包装多个同样的长方体时，把较大的面尽量重合在一起，包装后的大长方体表面积就会越小，也就越节省包装纸。四、生活中的应用咱们学了包装中的数学问题，在生活中可有很多地方能用到呢。比如说，超市里的饮料，常常会把几瓶包装在一起销售。像那种6瓶一组的饮料包装，商家就是考虑了怎样包装最节省包装材料，这样可以降低成本呢。再比如说，快递员叔叔在包装快递的时候，如果要把多个物品装在一个大箱子里，也会思考怎样摆放能让箱子的表面积最小，这样就能节省纸箱材料啦。老师这儿有个生活中的小问题考考大家。小明的妈妈买了3盒同样的茶叶，每盒茶叶的长是20厘米，宽是15厘米，高是5厘米。妈妈想把这3盒茶叶包装在一起送给爷爷，怎样包装最节省包装纸呢？大家动手算一算。同学们算完啦，咱们一起来看看。有三种包装方法，把最大面（20×15的面）重合时，大长方体的长是20厘米，宽是15厘米，高是5×3＝15厘米，表面积是（20×15＋20×15＋15×15）×2＝（300＋300＋225）×2＝825×2＝1650平方厘米；把次大面（20×5的面）重合时，长是20厘米，宽是5厘米，高是15×3＝45厘米，表面积是（20×5＋20×45＋5×45）×2＝（100＋900＋225）×2＝1225×2＝2450平方厘米；把最小面（15×5的面）重合时，长是15厘米，宽是5厘米，高是20×3＝60厘米，表面积是（15×5＋15×60＋5×60）×2＝（75＋900＋300）×2＝1275×2＝2550平方厘米。比较一下，把最大面重合时表面积最小，最节省包装纸。五、能力拓展咱们再把难度提升一点。假如有一个不规则形状的物体，要对它进行包装，该怎么考虑节省包装纸的问题呢？比如说，有一个形状像L形的积木，要把多个这样的积木包装在一起，同学们想一想，该从哪些方面去思考包装方法呢？这时候啊，咱们可以先把不规则形状的物体尽量转化成规则的形状来思考。就像这个L形积木，咱们可以把它想象成由几个小长方体组成的。然后再看怎样摆放能让重合的面尽量大，这样就能在一定程度上节省包装纸啦。老师这儿还有一个拓展问题。现在有两种不同规格的长方体盒子，一种长8厘米，宽6厘米，高4厘米；另一种长10厘米，宽5厘米，高3厘米。要把这两种盒子组合包装在一起，怎样包装最节省包装纸呢？大家开动脑筋想一想。这就需要咱们分别找出两个盒子的最大面，然后尝试不同的组合方式，计算出不同组合下大长方体的表面积，再进行比较。同学们可以课后自己动手算一算，看看哪种包装方法最节省包装纸。六、课堂小练习1、有两个同样的长方体香皂，长是10厘米，宽是6厘米，高是2厘米。把它们包装在一起，有几种包装方法？哪种包装方法最节省包装纸？此时大长方体的表面积是多少平方厘米？＿___________2、把5个棱长为3厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？怎样拼表面积最小？＿___________3、一个长方体礼品盒，长12厘米，宽8厘米，高5厘米。如果用彩纸包装这个礼品盒，至少需要多少平方厘米的彩纸？（接口处忽略不计）＿___________答案：1、有三种包装方法。把最大面（10×6的面）重合最节省包装纸。此时大长方体长10厘米，宽6厘米，高2×2＝4厘米，表面积为（10×6＋10×4＋6×4）×2＝（60＋40＋24）×2＝124×2＝248平方厘米。2、有两种拼法，拼成一排时，长是3×5＝15厘米，宽3厘米，高3厘米，表面积是（15×3＋15×3＋3×3）×2＝（45＋45＋9）×2＝99×2＝198平方厘米；拼成“田”字形时，长6厘米，宽3厘米，高5厘米，表面积是（6×3＋6×5＋3×5）×2＝（18＋30＋15）×2＝63×2＝126平方厘米。拼成“田”字形表面积最小。3、（12×8＋12×5＋8×5）×2＝（96＋60＋4