《空间向量的基本原理》名师课件2

向量方法的基本原理规定:零向量与任一向量的数量积为0

回顾：平面向量数量积定义？1复习引入

知识链接问题1：上节课我们用空间向量解决了一些立体几何问题,留给大家哪些深刻的印象？问题2：立体几何中主要研究哪些问题，构成这些问题的最基本元素是什么？问题3：我们用向量研究这些几何问题，首要的任务是么？1复习引入在空间中，取一定点o作为基点,那么空间中任意一点p的位置就可以用向量op来表示。把向量op称为点p的位置向量p·o·问题1：怎样用向量表示点在空间中的位置？东南A45。.C北实例：如图，如何叙述B点的位置？如何找到（确定）空间的一个点p？.B2新知探究aAp问题2：在空间给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间中的位置吗？

我们把向量a叫直线的方向向量，若仅仅研究两直线平行、垂直、成角时，可以用向量a代替直线吗？直线的方向向量有多少个，为方便，我们一般怎样取出直线的方向向量？2新知探究·oba一个点和两个向量能确定一个平面问题3：给一个定点和两个定方向，能确定一个平面在空间中的位置吗？2新知探究说说一个平面的法向量有多少个？平面的法向量与平面上的任意一个向量是什么关系？abc问题4：平面还有其它的向量表示吗？如果直线⊥平面，取直线的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量。2新知探究·Aa一个定点和平面的一个法向量，确定一个平面。若仅仅研究两平面平行、垂直、成角时，可以用平面的法向量代替吗？给定一个定点和一个平面的法向量，能确定一个平面在空间中的位置吗？2新知探究lvu

2新知探究

l⊥α⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．ulv设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝02新知探究l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．线线的关系2新知探究设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．线面的关系l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.2新知探究设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.面面的关系α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．3例题讲解例1、已知A(1，0，1)、B(0，1，1)、C(1，1，0)，求平面ABC的一个法向量．

利用待定系数法求平面法向量的步骤方法归纳巩固练习

巩固练习3例题讲解例2、已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE.则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，[证明]

建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

又FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.3例题讲解例2、已知正方体ABCD­-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE.变式演练求证：平面ADE∥平面B1C1F.方法归纳向量法证明线、面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示；③是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．巩固练习2、在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

3例题讲解例3、如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝2，E为BB1的中点．求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

令x1＝1，得y1＝1，所以n1＝（1，1，0）.3例题讲解例3、如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝2，E为BB1的中点．求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.

令z2＝2，得x2＝1，y2＝-1所以n2＝（1，-1，2）.方法归纳(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直即可．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可．向量法证明线、面垂直问题的方法素养提炼(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”素养提炼素养提炼素养提炼（1）数形结合的思想和类比思想，用空间向量示立几中的点、线、面及其位置关系以及求线面角。（2）没