拓展训练：空间向量的数乘运算

2/53.1.2空间向量的数乘运算一、选择题(每小题6分，共36分)1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－bA．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量2．已知空间四边形ABCD，E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝μeq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝μeq\o(CD,\s\up6(→))，则向量eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))满足的关系为()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))B．eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))C．|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝|eq\o(MN,\s\up6(→))|D．|eq\o(EF,\s\up6(→))|≠|eq\o(MN,\s\up6(→))|3．设M是△ABC的重心，记eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，且a＋b＋c＝0，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A．eq\f(b－c,2)B．eq\f(c－b,2)C．eq\f(b－c,3)D．eq\f(c－b,3)4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则()A．a∥e1B．a∥e2C．a与e1、e2共面D．以上三种情况均有可能5．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，且有eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x、y、z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，∴P、A、B、C四点共面．6．下列条件中使M与A、B、C一定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B．eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0二、填空题(每小题8分，共24分)7．如图，在空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA边上，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，N为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．8．已知两个非零向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，则点A、B、C、D四点________(共面、不共面)．9．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝2x·eq\o(BO,\s\up6(→))＋3y·eq\o(CO,\s\up6(→))＋4z·eq\o(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________.三、解答题(共40分)10．(10分)如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．11．(15分)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1求证：B1C∥平面ODC1.12．(15分)如图4，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且eq\o(OE,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝keq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))＝keq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→)).求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(EG,\s\up6(→))；(3)eq\o(OG,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→)).参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．A2．B3．D4．C5．C6．C二、填空题(每小题8分，共24分)7．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c8．共面9．－1三、解答题(共40分)10．证明：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))，①eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，②①＋②，得2eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．11．证明：设eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(C1C,\s\up6(→))＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴eq\o(B1C,\s\up6(→))＝c－a.又O是B1D1的中点，∴eq\o(C1O,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(C1D1,\s\up6(→))－eq\o(C1O,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)(b－a)，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＋c.若存在实数x、y，使eq\o(B1C,\s\up6(→))＝xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OC1,\s\up6(→))(x、y∈R)成立，则c－a＝x[eq\f(1,2)(b－a)＋c]＋y[－eq\f(1,2)(a＋b)]＝－eq\f(1,2)(x＋y)a＋eq\f(1,2)(x－y)b＋xc.∵a、b、c不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋y＝1，,\f(1,2)x－y＝0，,x＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC1,\s\up6(→))，∴eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(OD,\s\up6(→))、eq\o(OC1,\s\up6(→))是共面向量．又B1C⊄平面ODC1，∴B1C∥平面ODC12．证明：(1)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))，∴A、B、C、D四点共面．∵eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))，∴E、F、G、H四点共面．(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→))＋meq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OH,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＋m(eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→)))＝k(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋km(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝keq\o(AD,\s\up6(→))＋kmeq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)))＝keq