章末检测：圆锥曲线与方程

高中数学精选资源PAGE4-/NUMPAGES7章末检测：圆锥曲线与方程一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±eq\r(69))解析：由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69))．答案：D2．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是()A.eq\f(y2,36)－eq\f(x2,64)＝1B.eq\f(x2,64)－eq\f(x2,36)＝1C.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1D.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,64)＝1或eq\f(y2,36)－eq\f(x2,64)＝1解析：因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴，故应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．答案：D3．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线解析：将方程化为eq\f(y2,－\f(n,m))－eq\f(x2,－\f(n,m))＝1，由mn<0，知－eq\f(n,m)>0，所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．答案：D4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(3,2)解析：由题可知y＝eq\f(b,a)x与y＝－eq\f(b,a)x互相垂直，可得－eq\f(b,a)·eq\f(b,a)＝－1，则a＝b.由离心率的计算公式，可得e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝2，e＝eq\r(2).答案：C5．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，设某条弦过点P，且以P为中心，那么这条弦所在直线的方程为()A．3x＋2y－12＝0B．2x＋3y－12＝0C．4x＋9y－144＝0D．9x＋4y－144＝0解析：设满足题意的直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x\o\al(2,1)＋9y\o\al(2,1)＝144，,4x\o\al(2,2)＋9y\o\al(2,2)＝144.))两式相减得4(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋9(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(4x1＋x2,9y1＋y2)＝－eq\f(2,3).由此可得所求的直线方程是y－2＝－eq\f(2,3)(x－3)，即2x＋3y－12＝0.答案：B6．已知一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆的圆心P的轨迹是()A．双曲线的一支B．椭圆C．抛物线D．圆解析：由题意，知圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，则圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.∵圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1.又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．答案：A7．给定四条曲线：①x2＋y2＝eq\f(5,2)；②eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1；③x2＋eq\f(y2,4)＝1；④eq\f(x2,4)＋y2＝1.其中与直线x＋y－eq\r(5)＝0仅有一个交点的曲线是()A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析：直线方程为y＝－x＋eq\r(5)，k2＝1，t2＝5，由上述判定方法可得：对于①，λ＝m(1＋k2)－t2＝eq\f(5,2)×(1＋1)－5＝0，所以C与l仅有一个交点；对于②，λ＝n＋mk2－t2＝4＋9－5＝8>0，所以C与l有两个交点；对于③，λ＝n＋mk2－t2＝4＋1＝5＝0，所以C与l仅有一个交点；对于④，λ＝n＋mk2－t2＝1＋4＝5＝0，所以C与l仅有一个交点．答案：D8．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为()A．y2－3x2＝36B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36D．3x2－y2＝36解析：由4x2＋y2＝64得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，c2＝64－16＝48，∴c＝4eq\r(3)，e＝eq\f(4\r(3),8)＝eq\f(\r(3),2).∴双曲线中，c′＝4eq\r(3)，e′＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(c′,a′).∴a′＝eq\f(\r(3),2)c′＝6，b′2＝48－36＝12.∴双曲线方程为eq\f(y2,36)－eq\f(x2,12)＝1，即y2－3x2＝36.答案：A9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq\o(MF1,\s\up13(→))·eq\o(MF2,\s\up13(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))解析：∵eq\o(MF1,\s\up13(→))⊥eq\o(MF2,\s\up13(→))，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c<b，∴c2<b2＝a2－c2，即2c2<a2，∴eq\f(c2,a2)<eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)<eq\f(\r(2),2).又e>0，∴0<e<eq\f(\r(2),2).答案：C10．我们把由半椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≥0)与半椭圆eq\f(y2,b2)＋eq\f(x2,c2)＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形．则a，b的值分别为()A.eq\f(\r(7),2)，1B.eq\r(3)，1C．5,3D．5,4解析：∵|OF2|＝eq\r(b2－c2)＝eq\f(1,2)，|OF0|＝c＝eq\r(3)|OF2|＝eq\f(\r(3),2)，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)，得a＝eq\f(\r(7),2).答案：A11．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]解析：抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，所以Q(－2,0)．设过点Q的方程为y＝k(x＋2)，当k＝0时，显然成立．当k≠0时，μ1＝p－2kt＝4－4k2≥10，即0<k2≤1.综上不难得到－1≤k≤1.答案：C12．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.eq\f(5\r(2),2)＋2B.eq\f(5\r(2),2)＋1C.eq\f(5\r(2),2)－2D.eq\f(5\r(2),2)－1解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1.又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1.焦点F到直线l的距离记为d，则d＝eq\f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，而|PF|＋d2≥d＝eq\f(5\r(2),2)，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥eq\f(5\r(2),2)－1，即d1＋d2的最小值为eq\f(5\r(2),2)－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其上一点P(3，y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a＝6.5＋3.5＝10，a＝5.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋c2＋y2＝6.52，,3－c2＋y2＝3.52，))解得c＝eq\f(5,2)，从而b2＝a2－c2＝eq\f(75,4)，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(75,4))＝114．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是________．解析：过A，B两点的直线方程为y＝－x＋a，抛物线方程为(x－1)2＝y＋4，化为x2＝y，此时直线方程为y＝－x＋(a＋3)，此时μ2＝pk2＋2t＝eq\f(1,2)×1＋2(a＋3)<0，解得a<－eq\f(13,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,4)))15．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝eq\f(b2,a)，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：216．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up13(→))·eq\o(OB,\s\up13(→))＝－4，则直线l恒过的定点M的坐标是________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝－4.当直线l的斜率不存在时，设其方程为x＝x0(x0>0)，则xeq\o\al(2,0)－4x0＝－4，解得x0＝2；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝4x，))得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝eq\f(4b,k)，则x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),16)＝eq\f(b2,k2)，得eq\f(b2,k2)＋eq\f(4b,k)＝－4，∴eq\f(b,k)＝－2，有b＝－2k，直线y＝kx－2k＝k(x－2)恒过定点(2,0)．又直线x＝2也恒过定点(2,0)，得点M的坐标为(2,0)．答案：(2,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)焦点分别为(0,5eq\r(2))和(0，－5eq\r(2))的椭圆截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为eq\f(1,2)，求此椭圆的方程．解析：设椭圆的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，且a2－b2＝(5eq\r(2))2＝50①，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2,a2)＋\f(x2,b2)＝1，,y＝3x－2，))消去y，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0.设弦两端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝eq\f(12b2,a2＋9b2).∵eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(6b2,a2＋9b2)＝eq\f(1,2)，即a2＝3b2②，此时Δ>0.由①②得a2＝75，b2＝25，∴椭圆的方程为eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.18．(12分)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．解析：因为直线1与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax))只有一组实数，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①.(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq\f(4,5).所以原方程组有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))综上，实数a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))).19．(12分)已知点A(0，eq\r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．解析：由题意，可得圆O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16是以O1(0，－eq\r(3))为圆心，半径r＝4的圆．因为点P在半径O1M中，且|PM|＝|PA|，所以|O1P|＋|PA|＝|O1P|＋|PM|＝|O1M|＝4，可得点P到A(0，eq\r(3))，O1(0，－eq\r(3))的距离之和为4(常数)，因些，点P的轨迹是以点A(0，eq\r(3))，O1(0，－eq\r(3))为焦点的椭圆．因为焦点在y轴上，c＝eq\r(3)且2a＝4，所以a＝2得a2＝4，b2＝a2－c2＝4－3＝1，椭圆方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1，综上所述，点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.20．(12分)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．解析：切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10，因为双曲线的一条渐近线平行于此切线，且双曲线关于两坐标轴对称．所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则其渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即eq\f(b,a)＝3，则双曲线方程可化为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9a2)＝1，因为双曲线过点P(3，－1)，所以eq\f(9,a2)－eq\f(1,9a2)＝1，所以a2＝eq\f(80,9)，b2＝80，所以所求双曲线方程为eq\f(x2,\f(80,9))－eq\f(y2,80)＝1.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为eq\f(y2,a′2)－eq\f(x2,b′2)＝1(a′>0，b′>0)，则渐近线方程为y＝±eq\f(a′,b′)x，即eq\f(a′,b′)＝3，则双曲线方程可化为eq\f(y2,9b′2)－eq\f(x2,b′2)＝1，因为双曲线过点P(3，－1)，所以eq\f(1,9b′2)－eq\f(9,b′2)＝1，得－eq\f(80,9b′2)＝1，无解．综上可知所求双曲线方程为eq\f(x2,\f(80,9))－eq\f(y2,80)＝1.21．(12分)已知点P(3,4)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．解析：(1)令F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，所以kPF1·kPF2＝－1，即eq\f(4,3＋c)·eq\f(4,3－c)＝－1，解得c＝5，所以设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－25)＝1.因为点P(3,4)在椭圆上，所以eq\f(9,a2)＋eq\f(16,a2－25)＝1.解得a2＝45或a2＝5.又因为a>c，所以a2＝5(舍去)．故所求椭圆方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1.(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6eq\r(5)，①又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝20.22．(12分)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点和抛物线y2＝4eq\r(3)x的焦点相同，且椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2))).(1)求椭圆方程；(2)过点(3,0)的直线交椭圆于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝λeq\o(OP,\s\up13(→))(λ≠0，O为原点)，当|AB|<eq\r(3)时，求实数λ的取值范围．解析：(1)y2＝4eq\r(3)x，焦点F(eq\r(3)，0)，所以c＝eq\r(3)，椭圆焦点为(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，所以2a＝eq\r(－2