2025年九年级数学中考复习三角函数综合考前冲刺训练

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级数学中考复习三角函数综合考前冲刺训练1．如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，．(1)求证：．(2)如图2，连结交于点．若，求证：．(3)如图3，已知，．若，，求的长．2．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒．(1)______；______；（用含的代数式表示）(2)用含的代数式表示点的坐标．(3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．3．已知：为的直径，内接于，且．(1)如图1，求证：平分；(2)如图2，点在上，连接并延长交于点，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，连接，延长至点，连接，使得，，若，，求线段的长．4．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．(1)求证：四边形为菱形；(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．5．在四边形中，，，，，，于点H．在中，，，．将按如图1放置，顶点E在上，且，然后将沿平移至点E与点A重合，再改变的位置，如图3，将顶点E沿移动至点B，并使点H始终在上．

(1)当点E在上运动时，如图1，连接，当时，求的长；如图2，设与的交点为M，当顶点G落在上时，求的长；(2)如图3，点E在上运动时，交于点P，设，请用d表示的长，并求出长度的最小值．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接．(1)求抛物线表达式；(2)点P从点C以每秒个单位长度的速度沿运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿运动到点C，点P和点Q同时出发，连接，设点P和点Q的运动时间为t，求的最大值及此时点P的坐标；(3)抛物线上存在点M，使得，请直接写出点M的坐标．7．如图，在中，，，，点P、Q分别是边、上的两个动点，且，以，为邻边作平行四边形，作点关于直线的对称点，设．(1)当的面积为8时，求的值．(2)当时，求线段的长．(3)当点落在四边形的边上时，求的值．(4)直线与四边形的一条边交于点，若的面积是四边形面积的时，直接写出的值．8．如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接．(1)求证四边形是平行四边形；(2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点①；②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）；③连接，说明点是定点；④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值．9．在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒．(1)用t表示线段的长度；(2)连接，求的值；(3)当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值；(4)连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值．10．如图1，正方形中，P是边上任意一点，Q是对角线上的点，且满足．(1)①求证：；②；(2)如图2，矩形中，，，P、Q分别是边和对角线上的点，，，求的长；(3)如图3，菱形中，交的延长线于点H．若，对角线，P、Q分别是线段和上的点，，，求的长．11．在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．

(1)求一次函数解析式及的面积；(2)当时，求点C到x轴的距离；(3)当与x轴夹角与相等时，求m的值．12．如图，抛物线交轴于点，点交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标；(3)将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标．13．已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长；(3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值．14．如图①，在菱形中，，．动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点M，N分别与点A，D重合）从点D出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点P也随之停止运动．交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题：(1)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(2)是否存在某一时刻t，使点E在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(3)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式；(4)如图②，点是点N关于直线的对称点，连接，，当t为何值时，点M，B，在同一条直线上？请说明理由．15．如图1，图2，中，，，，绕点逆时针旋转得到．(1)如图1，当时，与交点为，求证：；(2)尺规作图：请在备用图中作出点落在斜边上时的，并求出长；(3)如图2，点为的中点，若点落在射线上，延长线交于，求的长；(4)若是以为直角边的直角三角形，请直接写出长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级数学中考复习三角函数综合考前冲刺训练》参考答案1．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，利用全等三角形的判定证明得到，再推理出得到，根据垂直平分线的性质即可求解；（2）利用相似三角形的判定方法证出，得到后转化为，再利用三角形面积的比值关系推导出即可；（3）过点作于，设，，利用三角函数的比值关系用含的式子表达出的长即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，，，∴（SSS），∴，又∵，，∴（SAS），∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∴，即，又∵，∴，∴为的平分线，∴点到，的距离相等，∴，∴；（3）解：如图，过点作于，∵由（1），∴，∵，∴设，，则，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数解直角三角形等知识点，合理作出辅助线和利用好边的比值关系是解题的关键．2．(1)，(2)(3)存在，或见解析【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到，，解答即可．（2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可．（3）分和两种情况解答即可．【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，∴，，，∴，故答案为：，．（2）解：延长交于点G，∵矩形，，∴，∴矩形，矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴点．（3）解：存在，理由如下：根据问2证明，得，，∴，当时，得，∴，解得；当时，得，∴，解得；综上所述，当或时，结论成立．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键．3．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）连接，设，根据题意，得，，即可求出结果．

（2）设，根据题意，得，结合三角形内角和得到得出，即可求出；（3）连接，，，延长交于点，过点作于点．推出和为等边三角形，证出，再由勾股定理得到，得到，再结合锐角三角函数的定义求出，得到，再根据即可求出．本题主要考查勾股定理，锐角三角函数的定义，等边三角形，全等三角形的性质，圆周角定理等知识．【详解】（1）证明：如图1，连接．设

．为直径

．

平分．（2）如图2，

，

．（3）如图3，连接，，，延长交于点，过点作于点．，

为等边三角形

，，为等边三角形，

为的中位线在中，

在中，，在中，

4．(1)见解析(2)【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证；（2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解．【详解】（1）证明：垂直平分，，，四边形是平行四边形，，在与中，，，，又，四边形是平行四边形，又，平行四边形为菱形；（2），，，四边形为菱形，为的中点，∵为线段的中点，是三角形的中位线．，，，，，，如图，作，垂足为，则，，则．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角函数，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．5．(1)①；②(2)；当时，【分析】（1）①由，得出，根据直角三角形的性质可得，再由，可得，再利用即可；②证明，可得，证明四边形为矩形，可得，从而得到，再由，，可到，再根据即可；（2）证明，可得，即，作于N，根据直角三角形的性质可得，，从而得到，，再利用勾股定理可得，从而求得，即可求得最小值．【详解】（1）解：①∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，即，∴；②当点G落在上时，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，如图，作于N，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴当时，的值最小，最小值为：．

【点睛】本题考查平行线的判定与性质、锐角三角函数、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．6．(1)；(2)当时，的最大值为点的坐标为；(3)点的坐标为或．【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）直接利用待定系数法即可求解析式；（2）先求出与的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，先求出的解析式，联立方程组可求解．【详解】（1）解：点、，三点在抛物线上，将其代入抛物线中得：解得：∴抛物线的表达式为：．（2）解：如图，过点作于，∵、，又∵，，∵点从点以每秒个单位长度的速度沿运动到点，点从点以每秒1个单位长度的速度沿运动到点，又∵，，，∴当时，的最大值为∴点的坐标为．（3）(3)如图，当点在的下方时，设与轴的交点为，∵，∴点设直线的解析式为：把代入得：，解得：，∴直线的解析式为：联立方程组可得：解得：(舍去)或，故点；当点在的上方时，设与轴的交点为，∴点设直线的解析式为：把代入得：，解得：，∴直线的解析式为：联立方程组可得：解得：(舍去)或故点综上所述：点的坐标为或．7．(1)或(2)(3)或(4)或【分析】（1）根据题意得到，，，再根据“的面积为8”建立等式求解，即可解题；（2）记延长线交于点，由对称的性质可知，，，，推出，得到，进而可得，根据建立分式方程求解，即可求出，利用勾股定理得到，再利用，得到，即可求得，进而求得；（3）根据点落在四边形的边上，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解题；（4）根据直线与四边形的一条边交于点，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况画出草图，结合的面积是四边形面积的，理由平行四边形性质，得到的面积是面积的，得到为的中点或为的中点，结合（3）中①的情况，勾股定理，以及相似三角形的性质和判定，即可解题．【详解】（1）解：，，，，的面积为8，，整理得，解得或；（2）解：记延长线交于点，由对称性质可知，，，，，，，，，，，，解得，经检验是该方程的解，，，，，，解得，；（3）解：①当在上时，四边形为平行四边形，，，，由对称性质可知，，，，，，，解得，，，；②当在上时，四边形为平行四边形，，∴，由对称性质可知，，，，，，，，，，，，，，解得：，，，，，，，，．综上所述，或；（4）解：或，理由如下：的面积是四边形面积的，四边形为平行四边形，的面积是面积的，直线与四边形的一条边交于点，①当在上时，为的中点，为的中线，四边形为平行四边形，，，与（3）中①的情况一致，故；②当在上时，为的中点，为的中线，，四边形为平行四边形，，，，，，，，，，，，，，整理得，即或（舍去），综上所述，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对称的性质，锐角三角函数，解分式方程，勾股定理，平行四边形性质，三角形中位线性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．8．(1)见解析(2)①；②图见解析；③见解析；④【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再利用平行线的性质可知，最后利用平行四边形的判定即可解答；（2）①根据平行四边形的面积公式可知，再根据等腰直角三角形的性质可知进而即可解答；②根据线段垂直平分线的性质及尺规作图法即可解答；③连接，证明，则，，则，可以看作绕点B逆时针旋转得到的，即可证明结论成立；④根据直角三角形的判定及平行线的判定可知，再利用函数的性质即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，∵将线段绕点逆时针旋转，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：由（）可知四边形是平行四边形，过点作于点，∴，，∵，，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵四边形的面积是，∴，∵是函函数图象上一点，∴，∴，故答案为；②如图所示，线段即为所求，③连接，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴，∵∴，又∵∴∴，，∴，∴可以看作绕点B逆时针旋转得到的，∴点是定点；④过点作轴的垂线，过点作于点，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，∵点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，∴，，∴，∵直线与轴构成的锐角的正切值是，∴，由①可知，∴，∴，，∴，解得：【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，函数的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，尺规作图法，图形的旋转、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握函数与几何图形的关系是解题的关键．9．(1)①当点E在线段上时，；②当点E在线段上时，(2)(3)，1，(4)或【分析】（1）分两种情况讨论，当点E在线段上时，；当点E在线段上时，；（2）过点C作延长线于点G，根据平行四边形性质推出，，设，，利用勾股定理建立等式求出，进而得到，，在中，即可求出的值；（3）根据题意分类讨论：当时，点F落在上，点F落在上时，过点D作于点H；当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；（4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题．【详解】（1）解：由题知，①当点E在线段上时，即时，；②当点E在线段上时，当时，．（2）解：如图1，过点C作延长线于点G，四边形是平行四边形，，，，，，在，由，，设，，由勾股定理得：，解得：，，，中，．（3）解：由旋转知，，当时，点F落在上，如图2，由得，，解得：；点F落在上时，如图3，过点D作于点H，同（1）可求，，，为等腰直角三角形，，，，解得：，当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4，由，得：，，，由旋转的性质可知，，，，，，，，，，在中，，，解得．综上所述：t的值为，1，．（4）解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线），由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，，，，设，则，，，，，，而，，，，，，解得：，，；②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线），同理可得：，解得：，，．综上所述：或．【点睛】本题考查了代数式表示式，平行四边形性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，并正确添加辅助线．10．(1)①见解析；②(2)(3)【分析】（1）①利用正方形性质得到，进而利用等量代换得到，即可证明；②利用正方形性质和勾股定理得到，再根据相似三角形性质求解，即可解题；（2）连接交于点，利用矩形的性质以及等腰三角形性质证明，利用勾股定理算出，最后利用相似三角形性质求解，即可解题；（3）连接交于点，利用勾股定理结合三角函数得到，再结合菱形的性质证明，利用等面积法，进而得到，最后利用相似三角形求解，即可解题．【详解】（1）解：①四边形为正方形，，是对角线，，，，，，；②四边形为正方形，，，，，；故答案为：；（2）解：连接交于点，四边形为矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：连接交于点，四边形为菱形，，是对角线，，，，，，，，，，，，四边形为菱形，是对角线，，，，，，，，，即，，，，，，，．【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，等腰三角形性质，三角函数运用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．11．(1)，4(2)(3)【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可．（2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离；（3）过点O作于点S，计算，，过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可．【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，设反比例函数的解析式为．则，解得，则反比例函数的解析式为．当时，故点，设一次函数解析式为，∴，解得，故解析式为；．设直线与y轴的交点为N，则，故，∴．

（2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，则，故，∴，∵，，∴，解得，故，∴，∴点C到x轴的距离为；

（3）解：过点O作于点S，∵点和，∴，，∴，∴，∵点是该反比例函数图像上的一个动点，∴，，过点C作轴于点T，根据题意，得，∴，整理，得（舍去），∴，解得（舍去），∴．

【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键．12．(1)(2)的最大值为，(3)或或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，，进而得到，，推出，即可求解；（3）根据，，可得，将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位，设平移后的新抛物线的解析式为，将新抛物线经过点代入可得到或，当时，新抛物线的解析式为，则，在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式，再与新抛物线联立即可求出点的坐标；当时，同理可求得点的坐标．【详解】（1）解：抛物线交轴于点，点，，解得：，抛物线的解析式为；（2）抛物线交轴于点，，设直线的解析式为，将，分别代入得：，解得：，直线的解析式为，同理可得：直线的解析式为，设，则，，轴，点的纵坐标为，代入，得，解得：，，，，，当时，取得最大值，此时，点；（3），，，，，，，原抛物线的顶点坐标为，将二次函数沿射线平移一定的单位长度，相当于向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的新抛物线的解析式为，新抛物线经过点时，，解得：或，当时，新抛物线的解析式为，则，如图，在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于，则，，是等腰直角三角形，，，，又，是等腰直角三角形，,，，，，，，即，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，联立，解得：或（舍去），；在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点，则，，，是等腰直角三角形，，，，，同理可得直线的解析式为，联立，解得：或（舍去），；当时，新抛物线的解析式为，则，如图，在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点，同理可得，直线的解析式为：，联立，解得：或（舍去），；在轴上取点，连接交新抛物线于点，过点作于点，同理可得，直线的解析式为：，联立，解得：或（舍去），；综上所述，符合题意所有点的横坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的平移，解题的关键是正确作出辅助线，并灵活运用相关知识．13．(1)，(2)，(3)8【分析】（1）根据，得到，利用待定系数法依次解答即可；(2)设点，根据对称性质，得到，确定点，根据题意，连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且为，利用勾股定理，计算，设直线的解析式为，确定解析式即可求得交点的坐标．(3)过点E作轴于点G，根据，得，于是，故，利用，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，解答即可．【详解】（1）解：根据，∴，∵在上，∴，解得，∴，∴，∴．（2）解：设点，∵，∴的对称轴为直线，∴，解得，∴点，∴，∴，∵A，B是对称点，∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且，，设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得：，解得，∴直线的解析式为：．当时，，故，∴的周长最小时，，的周长为．（3）解：过点E作轴于点G，根据，∴，∴，∴，∴，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，故，故的最小值为8．【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的性质，勾股定理，三角函数的应用，垂线段最短，熟练掌握三角函数的应用，抛物线的性质计算是解题的关键．14．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段速度为，设运动时间为t，则，，，根据得到，列出比例式，当时，四边形是平行四边形，即可证；（2）根据，得，根据点E在的平分线上，得到，于是得到即，建立方程，解答即可；（3）连接与交于点O，求得，过点N作于点G，交于点H，则为菱形的高，根据，就可以得到，根据，得到，求得，后根据解答即可．（4）连接与交于点O，设与交于点Q，求得，得到，证明，得，根据三角形中位线定理，得，故，解得．【详解】（1）解：∵菱形中，，．动点P从点B出发，速度为；同时，线段