广西壮族自治区柳州市柳城县中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题（解析）

柳城中学2024-2025学年下学期高二期中考试题数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集的运算求解即可；【详解】由题意可得.故选：C.2.抛物线y2=4x的焦点坐标是A.（0,2） B.（0,1） C.（2,0） D.（1,0）【答案】D【解析】【详解】试题分析：的焦点坐标为，故选D.【考点】抛物线的性质【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．3已知，则（）A.2 B.4 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用复数模的计算公式，即可求解.详解】由复数，可得.故选：C.4.若直线：与直线：平行，则（）A.4 B. C.1或 D.或4【答案】D【解析】【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验.【详解】若直线：与直线：平行，则，整理可得，解得或，若，直线：与直线：平行，符合题意；若，直线：与直线：平行，符合题意；综上所述：或.故选：D.5.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.【详解】由方程，则，所以渐近线.故选：C.6.已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”，则，所以.故选：A7.一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（）A.0.8 B.0.5 C.0.23 D.0.32【答案】C【解析】【分析】根据全概率公式来求得正确答案.【详解】依题意，教授迟到的概率为.故选：C8.已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】平移，当直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值.【详解】设曲线上切点为到直线的距离为即的最小值为故答案为B【点睛】本题考查了曲线的切线问题，最小值问题，将距离的最小值转化到点到直线的距离是解题的关键.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（

）A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C.甲乙不相邻的排法种数为82种D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断.【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确；对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确；对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确；对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确.故选：ABD10.下列说法正确的是（）A.设已知随机变量满足，则B.若，则C.若，设，则D.若事件相互独立且，则【答案】ACD【解析】【分析】根据期望的性质，可判定A正确；结合二项分布方差的公式，可判定B错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C正确；根据条件概率的计算公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由，所以，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B错误；对于C中，由，所以，所以C正确；对于D中，因为相互独立，所以，且，所以D正确.故选：ACD.11.如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A.两条异面直线和所成的角为B.直线与平面所成的角等于C.点到面的距离为D.四面体的体积是【答案】BCD【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量逐项计算与判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，对A：、、、，则、，故，故，即异面直线和所成的角为，故A错误；对B：，由轴平面，故平面法向量可为，则，故直线与平面所成的角为，故B正确；对C：，，，设平面的法向量为，则有，令，则，故，故C正确；对D：易得四面体为正四面体，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中常数项是______（用数字作答）．【答案】240【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，即可求解，进而可求常数项.【详解】的二项展开式的通项为，令得，故常数项为，故答案为：240．13.在等比数列中，已知，则______．【答案】6【解析】【分析】设数列的公比为，由条件结合等比数列性质可得，分类讨论求解即可.【详解】设数列的公比为，由于，则，若，则矛盾，则符合．所以.故答案为：.14.一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.【答案】【解析】【分析】设动圆的圆心为，半径为R，根据动圆与圆外切，与圆内切，得到，两式相加得到，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为，半径为R，因为动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以，所以动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为，故答案为：【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列式，求和即可.（2）利用裂项求和法求.【小问1详解】解法一：设等差数列的首项为，公差为，由已知，解得，所以．解法二：因为，所以．因为，所以.所以，所以.【小问2详解】因为．所以数列的前项和16.为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080服用15070220合计250400（1）求s,t；（2）记未服用药物的动物患疾病的概率为，给出的估计值；（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物对预防疾病有效?附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1），（2）（3）能认为药物对预防疾病有效【解析】【分析】（1）根据列联表求和即可；（2）用频率估计概率，计算即可；（3）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可.【小问1详解】由列联表知，；【小问2详解】由列联表知，未服用药物的动物有（只），未服用药物且患疾病的动物有（只），所以未服用药物的动物患疾病的频率为，所以未服用药物的动物患疾病的概率的估计值为；【小问3详解】零假设为：药物对预防疾病无效，由列联表得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为药物对预防疾病有效，该推断犯错误的概率不超过，所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防疾病有效.17.已知函数.（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；（2）若是的极小值点，求b的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程；（2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解.【小问1详解】当时，，其中，则，令，化简得，解得（负值舍去），又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2，则切线方程为，即.【小问2详解】由题可得定义域为，，因是的极小值点，则，则，若，令，令，则在上单调递增，在上单调递减，得是的极大值点，不满足题意；若，令，令，则在上单调递增，在上单调递减，得是的极大值点，不满足题意；若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意；若，令，令，则在上单调递增，在上单调递减，得是的极小值点，满足题意；综上，是的极小值点时，.18.近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过40％的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如下：x12345y75849398100（1）由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系？若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，r精确到0.01）；（2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．参考数据：．，，附：相关系数，，【答案】（1）可用，，109（2）选择方案二【解析】【分析】（1）先计算相关系数，再结合线性回归方程的知识求解即可；（2）首先根据二项分布的概率公式求出为的概率值，则方案二的期望可求，与方案一的950进行比较即可判断.【小问1详解】由表中数据可得，，所以，所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间关系．而，则所以令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109．【小问2详解】若选方案一､需付款元．若选方案二､设需付款元，则的取值可能为，则，，所以，因此选择方案二更划算．19.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值；（3）求面积的最大值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解；（2）由点差法即可证明；（3）设直线的方