河南省部分名校2024-2025学年高二4月期中联考数学试卷（解析）

2024—2025学年度高二4月联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4名同学去3个十字路口作交通协管志愿者，每名同学可自由选择1个十字路口，不同选择方法的种数是（）A.81 B.64 C.24 D.12【答案】A【解析】【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案.【详解】根据题意，每名同学可自由选择3个十字路口中的任意一个，所以每名同学有3种选择方法，由分步计数原理知，4名同学共有种选择方法.故选：A．2.曲线在点处的切线斜率为（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为，，所以，所以，即曲线在点处的切线斜率为，故选：C．3.设函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据乘法的求导公式直接求导，进而得解.【详解】因为，所以，所以，故选：B．4.体育课上，四组同学进行篮球训练．现将7个篮球进行分配，每个组都分到篮球的分配方法有（）A.23种 B.22种 C.21种 D.20种【答案】D【解析】【分析】利用隔板法即可求得结果.【详解】将7个篮球分配给4组学生，每个组都分到篮球，即把7个篮球分成4组，每组至少有1个篮球，用隔板法．将7个篮球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空中选3个插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有种，所以每个组都分到篮球的分配方法有20种．故选:D．5.已知函数，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数导数求出函数的单调性，由单调性求出函数的最值即可.【详解】由，得．令，得．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值也是最小值．即的最小值为，故选：D．6.投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于4的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用条件概率得，由即可求解.【详解】记事件“第一次正面朝上的点数为奇数”，事件“第二次正面朝上的点数大于4”．投掷一枚正方体骰子两次，所有的样本点（x为第一次正面朝上的点数，y为第二次正面朝上的点数）共36个，其中事件A包含的样本点有18个事件AB包含的样本点有6个，,所以.故选：C．7.在规定时间内，甲、乙、丙能正确解答某道题的概率分别为0.5，0.6，0.4，且这三人是否能按时正确解答该题相互独立．记甲、乙、丙三人中能按时正确解答该题的人数为X，则（）A.1.8 B.1.7 C.1.6 D.1.5【答案】D【解析】【分析】根据题意的取值为0，1，2，3，再利用相互独立事件概率乘法公式以及数学期望相关知识可解．【详解】记事件A，B，C分别为甲、乙、丙能按时正确解答该题，由题意得，，，则，，．由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以.故选：D．8.设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果.【详解】当时，，则．由得，所以在上单调递减；由得，所以在上单调递增．当时，，当时，，当时，，当时，取得极小值，．又当时，，所以函数的大致图象如图．由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点，所以实数b的取值范围是，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张和方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（）A.第二次抽到黑桃的概率为B.在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为C.若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为D.设抽到黑桃的次数为【答案】ACD【解析】【分析】利用古典概型的概率计算，分类计数、正难则反、条件概率以及离散型分布列计算数学期望，可得答案.【详解】第二次抽到黑桃的概率为，故A正确；因为两次都抽到黑桃的概率为，所以至少有一次抽到方块的概率为，故B错误；第二次抽到方块的概率为，两次都抽到方块的概率为，所以已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为，故C正确；X可能取值为0，1，2，，，，故，故D正确．故选：ACD．10.下列说法中，正确的有（）A.的展开式中，的系数是60B.，则C.用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为48D.随机变量X的分布列为，，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据二项式定理写出展开式通项，由题意，可得其正误；对于B，利用赋值法，分别赋值为，相减可得其正误；对于C，根据分类加法原理，结合四位数且为偶数的性质，可得其正误；对于D，根据数学期望以及方差的计算公式，可得其正误.【详解】的展开式的通项为，，1，2，3，4，5，6，令，则的展开式中的系数为，故A正确；在中，令，得，所以；再令，得，即．所以，故B正确；由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为0，2或4．当个位数字为时，四位数有个；当个位数字为2或4时，四位数分别有个．由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故C错误；由题意得，，所以，故D正确．故选：ABD．11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.若曲线在点处的切线方程为，则B.若，则函数在上单调递增C.若，则函数在上的最小值为D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的导数性质，如切线斜率与导数的关系、利用导数判断函数单调性、求函数最值等知识，对每个选项逐一进行分析判断.【详解】首先对函数求导，可得，所以.已知切线方程为，其斜率为，所以，解得，故选项错误.当时，，当时，，则，即.所以函数在上单调递增，故选项正确.当时，.，令，即，解得.当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以在处取得最小值，，故C选项正确.当时，，，不满足；当时，，则，在上单调递增.当时，，，不满足.当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以在处取得最小值.令，对其求导得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以在处取得最大值.要使，则，所以，故选项正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的单调增区间为________．【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再由，即可求出结果.【详解】因为，所以，由得：，因为，所以，解得，所以单调递增区间为.故答案为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，通过解导函数所对应的不等式求单调区间，属于基础题型.13.某学校组织乒乓球比赛，采取3局2胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是__________．【答案】##【解析】【分析】根据条件概率公式求解.【详解】设甲获胜为事件A，甲第一局获胜为事件B，则，，所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率．故答案为：14.设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】构造函数，可知，函数在内单调递增，则在上恒成立．参变分离得出，求出函数最小值，即可求出实数的取值范围.【详解】对任意的，，可得，可得，构造函数，则，所以函数在内单调递增，即在上恒成立．因为，即在上恒成立．分离参数有，当时，取最小值，所以，即.因此，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数的图象在点处的切线方程是．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）（2）的单调增区间为和，单调减区间为【解析】【分析】（1）由函数解析式求导，利用切点横坐标求得切线斜率，由切线方程求得切点纵坐标，从而建立方程组，可得答案；（2）由（1）可得函数的解析式，求导，根据导数与函数单调性的关系，可得答案.【小问1详解】因为，所以．已知函数图象在点处的切线方程是，即，所以，．解得，，所以函数的解析式为．【小问2详解】由（1）可知，，所以．令，解得或，所以函数在和上单调递增；令，解得，所以函数在上单调递减．综上，的单调增区间为和，单调减区间为．16.某次物理考试后，学校随机抽取了100名参加本次考试的学生的成绩（单位：分），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）为进一步调查学生每天学习物理的时间，从样本采用比例分层抽样从成绩在，内的学生中抽取13人，再从中任选3人进行调查，求抽到成绩在内的人数X的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用小长方形面积和建立方程，求解即可.（2）由题意得X可取值，再求得相应的概率，列出分布列，然后求解期望即可.【小问1详解】由题意，得，解得．【小问2详解】由题意，抽取的13人，成绩在，的学生人数分别为，，则X的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望17.2024年国庆假期期间，某超市举办了购物抽奖活动．设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券，已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否结果互不影响．（1）已知某顾客有三次抽奖机会，现有两种抽奖方案供选择：方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得金额50元的代金券，中奖两次获得金额20元的代金券，其它情况没有奖励．方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得金额70元的代金券，中奖两次获得金额30元的代金券，其它情况没有奖励．计算获得代金券金额的期望，分析该顾客选择哪个方案比较合适？（2）若一位顾客有一次抽奖机会，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖，已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）分别计算两方案中奖三次和中奖两次的概率，从而求得获得代金券金额的期望，比较期望选择较大的方案；（2）设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”，利用全概率公式即可求解，再利用贝叶斯公式即可求解.【小问1详解】方案一中，中奖三次的概率为，中奖两次的概率为，所以获得代金券金额的期望为；方案二中，中奖三次的概率为,中奖两次的概率为，所以获得代金券金额的期望为，因为，所以该顾客选择方案一比较合适.【小问2详解】设事件A为“顾客选择甲抽奖箱”，事件B为“顾客选择乙抽奖箱”，事件C为“顾客选择丙抽奖箱”，事件D为“抽取的奖券中奖”，由题意得，，,，,,所以已知该顾客抽取中奖，求该顾客选择乙抽奖箱的概率.18.已知函数（1）当时，求的极值；（2）若，求在区间的最小值．【答案】（1）极大值，极小值；（2）时，最小值为；时，最小值为.【解析】【分析】（1）利用导函数求函数的单调性和极值；（2）利用导函数，分类讨论求函数的单调性和最小值.【小问1详解】当时，的定义域为，且，所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，在处取得极大值，在处取得极小值.【小问2详解】由题意，，令，解得或.因为，所以当或时，；当时，，单调递减.所以，当即时，在上单调递减，在上单调递增，则在区间的最小值为.当即时，在上单调递减，则在区间的最小值为.综上所述，时，在区间的最小值为；时，则在区间的最小值为.19.已知函数（）．（1）若，求函数的极值；（2）求证：．【答案】（1）当时，函数取得极小值，，无极大值.（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数求出函数的极大值和极小值即可，（2）求出函数的导数，令，对进行求导