2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨 2022年全国高中数学联合竞赛加试(A2 卷)参考答案及评分标准

1一本题满分40分）对于和为1的九个非负实数a1,a2,…,a9S=min{a1,a2}+2min{a2,a3}+…+8min{a8,a9}+9min{a9,a1}，T=max{a1,a2}+2max{a2,a3}+…+8max{a8,a9}+9max{a9,a1}，这里，min{x,y}表示x,y中的较小者，max{x,y}表示x,y中的较大者.记S的最大可能值为S0．当S=S0时，求T的所有可能值.7min{a7,a8}+8min{a8,a9}+9min{a9,a1}≤(6a7+a8)+(5a8+3a9)+(3a9+6a1)且min{a1,a2}+2min{a2,a3}+3min{a3,a4}+ +6min{a6,a7}≤a2+2a2+3a3+ +6a6S≤6(a1+a2+…+a9)=6.③aaaa0=a2=a3=a4=a5≤a6≤a7=a8=a9=a1其中a1+a2+…+a9=1．……………30分这样的a1,a2,…,a9显然存在，故S的最大可能值S0=6.T=max{a1,a2}+2max{a2,a3}+…+8max{a8,a9}+9max{a9,a1}=x+0+0+0+5(1—4x)+6x+7x+8x+9x=5+11x，所以T的所有可能值为中的一切实数．……2二本题满分40分）如图，A,B,C,D,E是圆w上顺次的五点，AB=BD，BC=CE，弦AC与BE交于点P，过A作BE的平行线，与DE的延长线交于点Q，过A,P,Q三点作圆，与圆w的劣弧DE交于点T．设AI为A关于BC的对称点．证明：AI,B,P,T四点共圆.A'A'·Aω·QBPETDC证法一：如图，设AQ与圆w交于A及另一点K．由于AK//BE且BC=CE，一一故KEC=ABC，进而上KBC=上AEC．结合A,AI关于BC对称得故AI,B,K三点共线．……………10分AKωQBQPA'ECDTBK//EQ，故BEQK为平行四边形，有EQ=BK=AE.由BC=CE知AP平分上BAE，因此，又由AI上AIBP=上QEP，所以△AIBP∽△QEP，故上AIP所以AI,B,P,T四点共圆．……………证法二：延长BE，与过A,P,Q三点的圆交于点F．由AB=BD知EB平分AQ,PF为圆中的平行弦，由对称性知E为PF的中点．……………10分AωEωEBPBPA'A'TDCTD·QF3在△AIBP与△AEF中，有又注意到AP平分上BAE，得所以△AIBP∽△AEF．……………30分所以AI,B,P,T四点共圆．……………N的最大可能值.解：所求最大的N=833.一方面，当N=833时，令则|X|=333，|Y|=|Z|=167，|W|=166，且XUYUZUW=S.考虑XUY，XUZ，XUW，YUZUW．对任意x,y∈S，若其中有一个属于X，则x,y同时属于XUY，XUZ，XUW中的某个集合；若均不属于X，则x,y同时属于YUZUW．在XUW中任意添加S中一个元素，使其成为500元集合，这便得到S的四个500元子集满足要求．……………20分元素至少属于其中两个子集，设有a个元素恰属于其中两个子集，则故a≥502．记这a个元素构成的集合为T，则|T|≥502．将T中的元素按所属,Aj的情况分为6类，对1≤i<j≤4，记Tij是T中恰属于Ai,Aj的元素x的集合.若T14=∅,则T=T12UT13UT23，从而S中的每个元素至少属于A1,A2,A30,a1,a2,…满足a0=0，且对任意非负整数i，均有ai+2=kai+1−ai.证明：对任意正整数m，数(2m)!整除a1a2a3…a3m.证明：{an}是二阶线性递推数列，特征方程为t2−kt+1=0，有两个不同的4先证明以下两个结论.(i)对任意素数p，有pap−1apap+1.当p=2时，若a1,a2均为奇数，由a2=ka1−a0知k是奇数，从而a3=ka2−a1下面假设p>2．若k2−4被p整除，考虑在求和式中，当j>0时，p(k2−4)j，当j=0时，pC−2j−1，故pap.若k2−4不被p整除，则在求和式中，若2≤p−2j≤p−1，则pCj．若j=0，则Cjkp−2j(k2−4)j=(p+1)kp三k(modp).若p−2j=1，j=则故求和式被p整除，pap+1.p−1−tj−2三−1从而故pap−1．……………20分(ii)若pran，r>0，则pr+1apn.令xn=αn+βn，则x0=2,x1=k,xi+2=kxi+1−xi(i≥0)．故对任意非负整数i，xi均为整数．从而5是整数.情形一：p=2，则+βn=xn．若k是偶数，则xi均为偶数，从而情形二：p>2，注意到n被p整除，故上式展开并合并同类项后可知，其中A,B是整数且均被p整除．若k2−4是平方数，则A+Bk2−4被p整除；若k2−4不是平方数，则nB=0．不论何种情形，均有p，故pr+1apn．……………40分n原问题只需证明，对任意素数p，有vp((2m)!)≤vp(a1a2…a3m)，其中vp(N)表示正整数N含素数p的最大幂次.考虑a1,a2,…中所有被p整除的项，设是第i1<i2<…项．由结论(i)可知≤p+1.若记b0=0,b1=ai1+1，bj+2得pbp−1bpbp+1，从而i2−i1≤p+1．重复上述论证，可知it+1−it≤p+1，对任意t≥1成立，这说明a1,a2,…的任意连续p+1项中必有一项被p整除.考虑a1,a2,…中所有被p2整除的项，