2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2022年全国高中数学联合竞赛-试(A1卷)参考答案及评分标准

1一试（A1卷）参考答案及评分标准1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设答案：2.2=实数）的一条直径为AB，其中A(20,22),B(10,30)，则f的值为.答案：860.圆Ω的方程为(x—15)2十(y26所以f=860.3.设函数f(x)的定义域为R，且当x≥0时，f(x)=x—2十a（其中a为实数若f(x)为奇函数，则不等式f(x)≥1的解集为.解：由条件知f(0)=2十a=0，故a=—2.当x≥0时，由f(x)=x—2—2≥1，解得x≥5.25.若等差数列{an}及正整数m(m≥3)满足：a1=1,am=2，且则a12解：设{an}的公差为d，则结合条件可知，得m=7.6.在某次数学竞赛小组交流活动中，四名男生与三名女生按随机次序围坐解：这7名学生的任意圆排列有6!种．以下考虑满足条件的圆排列的种数.空位，共4个空位；为使三名女生两两不相邻，需挑选3个不同的次排入，有P种排法．因此满足条件的圆排列有3!×P种.7.已知四面体ABCD满足AB丄BC,BC丄CD,AB=BC=CD=2且该四面体的体积为6，则异面直线AD与BC所成的角的大小为.解：作DH丄平面ABC于点H，则四面体的体积S△ABC.DH=6.由AB丄BC,AB=BC=2得S△ABC=6，所以DH=3.又DH丄CH，CD=2故.由BC丄CD,BC丄DH，得BC丄平面CDH，所以BC丄CH.构造正方形ABCE，则H在直线CE上，且由AE丄平面CDH知AE丄DE.由于AE||BC，故上DAE为异面直线AD与BC所成角的平面角.3DEBABDE ·C·EBABHCHHCH8.在5×5矩阵中，每个元素都为0或1，且满足：五行的元素之和都相等，答案：26400.解：设矩阵的所有元素之和为S．由于五行的元素之和都相等，故5|S．又的矩阵有5!×5×n=600n个）.所以n=10十12=22，从而符合情形(1)的矩阵有600n=13200个.同理，符合情形(2)的矩阵也有13200个.综上，所求的矩阵的个数为2×13200=26400.程或演算步骤.9.（本题满分16分）对任意正实数a，记函数f(x)=lgx在[a,十∞)上的最小值为ma，函数g=sin在上的最大值为Ma．若Ma—ma=的所有可能值.解：由于f(1)=0为f(x)的最小值，f(x)在[1,十∞)上严格递增，故4由于g(1)=1为g(x)的最大值，g(x)在[0,1]上严格递增，故10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，设一条动直线l与抛物线Γ:y2=4x相切，且与双曲线Ω:x2—y2=1交于左、右两支各一点A、B．求△AOB的面积的最小值. 由对称性，不妨设P为第一象限内Γ上一点，坐标为(t,2t)，其中t>0，代入Ω的方程，整理得关于x的方程 根据题意有x1x2<0，而t>0，故t>1. 当u=1（即t=2）时，S△AOB取到最小值25．……………20分(i)对任意正整数k，均有a2k—1十a2k=2(ii)对任意正整数m，均存在正整数l≤m，使得am十1=.6十…十a2022的最大值.解：由于{an}为正整数数列，在(i)中令k=1知a1十a2=2，故a1=a2=1.5当k=2时，由a3十a4=4及a4≥a3知a4=2或3，故结假设k时结论成立，考虑k十1的情形.由(ii)知存在正整数l≤2k，使得a2k当l≤2k1时，由(i)及a2k十2≥a2k十1，可知于是不等号均为等号，这表明l=2k—1，a2k十1=a2k十2=2k，符合结论.若a2k=3×2k—2，则a2k十1=3×2k—2,a2k十2=5×2k—2，此时a2k十1<a2k十2<a2k十a2k十1，综上，k十1时结论也成立．从而由数学归纳法知结论成立.从上述证明进一步可见，对任意正整数k≥2，a2k=3×2k—2与a2