圆锥曲线综合大题归类-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题8-1圆锥曲线综合大题归类

目录

讲高考....................................................................................1

题型全归纳...............................................................................9

【题型一】求根型.................................................................9

【题型二】最值型................................................................13

【题型三】多斜率计算型..........................................................18

【题型四】韦达定理复杂转化型....................................................22

【题型五】线段（向量）定比型....................................................25

【题型六】求轨迹方程型..........................................................29

【题型七】定点定值定曲线型......................................................34

【题型八】非对称非伟达型........................................................38

专题训练........................................................................41

讲高考

1.（普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））已知动圆过定点12J,且与直线

x=-Pn

2相切，其中。

（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；

（2）设42是轨迹C上异于原点。的两个不同点，直线O/和03的倾斜角分别为e和万，当

%月变化且1+6为定值外0＜6〈兀）时，证明直线N8恒过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）/=2/（？＞0）；

（2）当6*5时，直线工8恒过定点（-2〃熹］,当6=］时，直线恒过定点（-2“0）；详见

解析.

【分析】（1）根据抛物线定义即得；

（2）由题意知直线48的斜率存在，从而设N8方程为歹=履+以联立抛物线方程利用韦达

定理法结合条件可表示出6,进而即得.

【详解】（1）由题可知动圆圆心C到定点仁。）的距离与定直线x的距离相等，

由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，

所以动圆圆心C的轨迹方程为V=2力（。＞0）；

（2）设/（再,%）,8（%2，%），由题意得无产x?（否则a+£=兀），且无“/HO,

由题意知直线的斜率存在，从而设的方程为〉=h+6,显然西==1户2=卓，

2p2p

将歹二丘+6与V=20x（p〉0）联立消去x,得.2_2py+2Pb=o,

由韦达定理知必+%=-^,yx,y2=—,

/tK

因为a+,为定值。（0＜。＜兀）,

1

八/6tana+tan?:X[%2。®+%)

当时，tan，=tan(a+p]=--------------—

1-tancrtan.!_A.AM%-4p2

再x2

2P

b-2kp

所以六盖+2切,

所以直线"的方程为y*+襦+2则即匕襦=小+20,

所以直线N8恒过定点-2p,

当。=彳时，则&•匹=1,可得6=2切，直线ZB的方程为丁=Q+2p),恒过定点(-2p,0),

2玉々

综上，当夕2]时，直线Z3恒过定点(-2〃襦)，当夕=；时，直线N8恒过定点(-2“0).

22

E\—+^-r-=l(tz>/)>0)

2.(2021年北京市高考数学试题)已知椭圆。b2一个顶点“(。，-2),以

椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为4火.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点尸(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点瓦C,直线/瓦AC

分别与直线交尸-3交于点M,N,当1PM+EMW15时，求后的取值范围.

/2

【答案】(1)—+—V=1；(2)[-3,-1)0(1,3].

54

【分析】(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求从而可求椭圆的

标准方程.

(2)设8(国,%)((%,%),求出直线48,/C的方程后可得的横坐标，从而可得

怛M+|PN|,联立直线2C的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简1PM+|尸N|,从而可求左

的范围，注意判别式的要求.

【详解】(1)因为椭圆过/(0,-2),故6=2,

因为四个顶点围成的四边形的面积为4VL故;*2"26=4括，即°=右，

22

故椭圆的标准方程为：二+匕=1.

54

(2)

2

一"

MNP

设3（X],%）,C（X2，%）,

因为直线8c的斜率存在，故占X2#0,

V,+2x,

故直线N2：y=X2,令y--3,则与=,同理0=2.

X]必+2%+2

直线3。子=6一3,由1:二左一；可得（4+5〃b2

-30Ax+25=0,

[4x+5^=20'7

故A=900左2一100（4+5的＞0,解得左＜—1或后＞1.

立30k25,,八s、i

—,1n

又.X|+%2z,%i%2—4.2故^再“2〉0，所以XM*N＞.

又1尸网+|阿|=岛+苫/=f+上、

%十/%十/

50k30左

_占।3_2g%-（西+尤2）=4+5严4+5/

=5阳

2

丘1一1Ax2-1X{X2-k（XX+X2125k230k?十1

4+5后24+5左2

故5%归15即网V3,

综上，一3W左＜一1或1〈人＜3.

1/

3.（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知尸是抛物线歹=2px（p＞0）的焦点，河是抛

物线的准线与x轴的交点，且W®=2,

3

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点尸的直线交抛物线与/、B两点,斜率为2的直线/与直线〃4M8,,x轴

依次交于点尸，Q,R,N,且忸时=|尸NH例，求直线/在x轴上截距的范围.

【答案】（1）y23*5=4x；(2)(-®,-7-4>/3]U[-7+4A/3,1)U(1,+«).

【分析】（1）求出。的值后可求抛物线的方程.

（2）方法一：设/8:x=W+l,A（x1,y1）,B（x2,y2）,N（n,0）,联立直线48的方程和抛物

线的方程后可得%力=-4,弘+力=4，求出直线从4MB的方程，联立各直线方程可求出

n+\23+4产

力,先，打，根据题设条件可得;——石，从而可求〃的范围.

（21）

【详解】（1）因为|MF|=2,故。=2,故抛物线的方程为：y2=4x.

（2）［方法一］:通式通法

l^AB:x=ty+l,4（%,月）,3（工2，%）,N（〃,0）,

所以直线/：x=」+〃，由题设可得”"且

22

x=ty+\.

由64x可得厂的-4=0,故%/=一4,乂+力=匕

因为|RN|2=|7WH0N，故［卜鼻为

必

y=

必石+1,2(H+1)V

又=(%+1),由v可得1

再+1

x=上+〃

2

2(〃+1)为

同理%J

2x2+2-y2

%=W+1

2(~1)

由，彳_2：+力可得为=

2/-1

2

2

2(1)2(〃+1)乃xN"+D%

所以

2Z-12毛+2-%2%+2—弘

n-1；=（2f

整理得到

n+1(29+2-%)(2再+2-必)

4⑵7)2

j2f

2r

4(2/-1)2⑵-咪

223+4产

苧+U+P1)2-力弘-X弘%-2(%+乂)+4

n+\23+4〃

故

(2—广

5+1

令s=2/—1,贝!)%=---且sw0,

2

4

33

H—>-

44

>-M+I4Z+GO

4BPLI

〃w1

解得z?<-7-4G或-7+4百W〃<1或〃>L

故直线/在x轴上的截距的范围为〃4一7一46或一7+46=〃<1或

［方法二］:利用焦点弦性质

设直线N8的方程为X=K〉+1,直线M4的方程为％=总》一1，直线的方程为工二句7-1，

直线/的方程为x=^■+7%/］?,弘亍,％；N(加,0),由题设可得〃?H1且左*y.

由1'得/——4=0,所以K+%=优,乂%=Y•

五+1

因为治=\="+_1,%」+1

---------1--------

M4M4%

%+%

k2+质=乂+—+—+—

4必4%4“%

(必+%)2

A+lY^+-k^+-1

k2k3+-----

[4yj[4yj164"2

x=%2>—1，m+1

由<y得『1.

x=——\-m仁「大

I22

m+1

同理j=;一r.

x=k{y+l,_m—1

由y得力=

K

x=—■I-m-2

I2

因为|RV|2=|PN|“0N|,

(Y

cvyt-1(m+1)2(m+1)2

所以力=一乃>•坨即—f

令公后「；，则［皿］/+%+1

2-1)

所以I二片+晚。,‘解得正-7-班或-7+4^加<1或〃>1.

故直线/在X轴上的截距的范围为(f-7-0)U［-7+473,1)U(l,田)•

［方法三］【最优解】:

5

设2a）（"0）,8.2,2耳,

2b-2a22a

由4尸,8三点共线得,BPab=-\.

b2-a2Q+6Q2—1

2a

所以直线M4的方程为>=（x+l）,直线MB的方程为歹=4彳（》+1）=?\（》+1）,直

a2+1b+1a

线的方程为了=?7（》-1）.

a-I

设直线/的方程为y=2x+加（加w-2）,

_（2-w）g_（m-2）g_（-2-w）g__m

则》一口—TTY/。__2,c~~2—--7，xN―_V

Q—a+1Q+Q+1CL—ci—\2

（2+加）2〃2（2—冽）2/

所以|RV|2=|PN|.|QN|O

Q2_Q_1『(/+]『一a2•

2

2

2G---1

2+m/_a_1a4

故Ga--eR）.

|2J-+3-入3o,§（其中:

2-m/+1\-a2a

QH-----

a

所以加£（f14—8g]U[14+8g,欣）.

因此直线l在x轴上的截距为e(-8,-7-4C]U[-7+473,1)U(1,+8).

【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.

方法一：主要是用/(国,弘),8(%,%)坐标表示直线朋4人力，利用弦长公式将线段长度关系

转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化

为常见函数的范围.

方法二：利用焦点弦的性质求得直线〃4儿必的斜率之和为0,再利用线段长度关系即为纵

坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见

函数的范围.

方法三：利用点43在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点48横坐标的

关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范

围问题转化为常见函数的范围.

4.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知抛物线°：必=2"(0>0)的焦点/到准线

的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点。满足而=9行，求直线。。斜率的最大值.

【答案】(1)y2=4x；(2)最大值为;.

【分析】(1)由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

(2)设。伉,%),由平面向量的知识可得尸(10%-9,10%),进而可得看=25；：+%再由

斜率公式及基本不等式即可得解.

【详解】(1)抛物线。：产=2/5>0)的焦点尸(彳,0],准线方程为x=-],

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为孑-[-£|=P=2,

所以该抛物线的方程为/=4x；

(2)[方法一]:譬方里•基本不等式法

设。(%,然),则改=9/=(9-9%,-9%),

所以尸(10%-9,10%),

6

由尸在抛物线上可得（10%『=4（10x0-9）,即X。=25；：+9,

7Q

据此整理可得点。的轨迹方程为必=（X-5，

kM10%

所以直线。。的斜率。。一x°-25以+9-25M+9，

10

当乂）=。时，k0Q=0；

,10

当30时，。2—25%+2,

%

当盟>0时，因为25%+22225%・2=30,

%\%

193

此时0<自当且仅当25%=一,即为=♦时，等号成立;

3%）5

当外<0时，自2<0;

综上，直线。。的斜率的最大值为:

［方法二］:【最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点。的轨迹方程为/-福.

设直线。。的方程为>=丘，则当直线。。与抛物、线2-福9相切时，其斜率后取到最

y—kx,2

值.联立229得心2-，+4=0,其判别式A=（二］一止义2=0,解得左=±5,

N=丁-玉，525I5；253

所以直线。。斜率的最大值为;.

［方法三］:轨迹方程+换元求最值法

同方法一得点Q的轨迹方程为/

设直线的斜率为比贝=2一-

4-={o</<^］则产的对称轴为/=：,所以ov左2w1,_Jv左wj.

（故直

XIy）2,JJyy33

线。。斜率的最大值为;.

［方法四］:参数+基本不等式法

由题可设尸（4匕4。«>0）,0（羽了）.

因为尸（1,0）,历=9中，所以卜一4»/-町=9（1一x,—y）.

x-4t2=9(1)10x=4»+9

于是,所以《

y-4t=-9y10y=4t

书_4<4_1

则直线。。的斜率为（―4/+9-4/+9-2J.2-3.

当且仅当4f==9,即/3时等号成立，所以直线。。斜率的最大值为1

t23

7

【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得。的轨迹方程，得到直线。。的斜率

关于〉的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；

方法二同方法一得到点。的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线。。的

斜率的最大值，为最优解；

方法三同方法一求得。的轨迹方程，得到直线。。的斜率k的平方关于X的表达式，利用换

元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线。。斜率的最大值；

方法四利用参数法，由题可设尸（4匕4/）（，>0）,Q（xj）,求得关于1的参数表达式，得到

直线。。的斜率关于I的表达式，结合使用基本不等式，求得直线。。斜率的最大值.

—+=1（O>b>0）2、

5.（2020年天津市高考数学试卷）己知椭圆。2b2的一个顶点为“（°，—3）,右焦

点为尸，且1。4=10尸1,其中0为原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）已知点C满足3诙=砺，点B在椭圆上（8异于椭圆的顶点），直线与以C为圆

心的圆相切于点尸，且P为线段的中点.求直线N8的方程.

【答案】（I）—+^-1；（II）'=9-3,或了=x-3.

1892

【分析】（I）根据题意，并借助/=/+02,即可求出椭圆的方程；

（II）利用直线与圆相切，得到CPLN8,设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出

8点坐标，进而求出尸点坐标，再根据求出直线的斜率，从而得解.

22

【详解】（I）•.•椭圆亍+}=1（°>6>0）的一个顶点为小0,-3）,

二♦6=3,

由尸|,得c=6=3,

又由得Q?=32+32=18,

所以，椭圆的方程为工+且=1;

189

（II）・••直线与以C为圆心的圆相切于点尸，所以

根据题意可知，直线和直线C尸的斜率均存在，

设直线48的斜率为左，则直线48的方程为y+3=丘，即了=米-3,

y=kx-3

'巨£_,消去九可得（2F+1*-126=0,解得x=0或x=

.18~9~

、或12k724曰712左c6k2—3

将、二门代入”质一3,华二鼠门-3=m'

所以’点3的坐标为

因为尸为线段的中点，点A的坐标为（0,-3）,

所以点尸的坐标为,31

由3。心=砺，得点。的坐标为。,0）,

—3

-0

3

所以，直线CP的斜率为左

O/C2k2—6k+1

-1

2k2+1

3

又因为。尸，所以左、72/7

2左2—6左+1

8

整理得2/-3左+1=0,解得“或左=1.

所以，直线4?的方程为y=gx-3或y=x-3.

【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、

中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题

目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.

题型全归纳

【题型一】求根型

【讲题型】，

例题L已知椭圆?+/=l(a>b>0)的离心率为右左顶点为A,右焦点为F,且|AF|=3.

(I)求椭圆的务程；

(II)过点F做互相垂直的两条直线I】，卜分别交直线1：x=4于M,N两点，直线AM,AN

分别交椭圆于P,Q两点，求证：P,F,Q三点共线.

【答案】(I)。+(=1；(II)见解析

43

【分析】

(I)根据离心率和|AF|=3,可得a=2,c=l,从而求出椭圆的方程；

(II)设y=k1(x-1),联立L和椭圆的方程，得P坐标，因为直线L，k垂直，同理得

Q坐标.且F(l,0),所以按赤=1和赤71分类讨论，判断即可.

【详解】

_C_1

e、=5今

{|明=a+c=39=1

得b2=a2-(?=3,所以椭圆的方程是。+《=L

43

(II)由题意可知，直线lj,12的斜率均存在且不为0,A(-2,0),F(1,0),设lj,12

的斜率分别为k1,k2,则kjkz=T.

直线L的方程为丫=冗(x-1),则M点坐标为(4,3k)得=筌=*设直线AM的方

程为y=—(x+2),

由「413得：(3+胫)>+4般%+4胫-12=0

7=^(%+2)

因为x=-2是方程的根，所以勺=需，yp=+2)=热.同理可得配=素，刈=

6k2

3+政

当马=箫=1,即就=1时，可得好=1,和=1,又F(1,0),所以P,F,Q三点共

线；

6kl

12kl

当■力1，即般大1，好时'kpF=6胃

--3--+---垃-7■—1

所以P,F,Q三点共线;

综上所述：P,F,Q三点共线.

例题2,已知抛物线方程俨=4%,F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交

9

点，定义：d(P)=局.

(1)当P(—1,—§时，求d(P)；

(2)证明:存在常数a,使得2d(P)=|PE|+a；

(3)Pi，P2〃3为抛物线准线上三点，且IP1P2I=IP2P31，判断d(Pj+d(P3)与2d(P2)的关

系.

【答案】(1)*(2)2；(3)见解析

【分析】

(1)求解出Q点坐标，然后得至IJ|PF|和|FQ|,从而求得d(P)；(2)通过假设P点坐标得到直

线PF方程,与抛物线联立后得到我,代入2d(P)-|PF|,整理得到结果;(3)由IP1P2I=IP2P3I可知「2为「1，「3

中点，假设三点坐标，代入2[d(Pi)+d(P3)]-4d(P2)，将式子整理为为和丫3的形式，然后

通过平方运算可得到2[d(Pj+d(P3)]-4d(P2)>0,从而得到结论:d(Pi)+d(P3)>

2d#2).

【详解】

由题意可知：F(l,0),准线方程为：久=—1

8

y=-ix-l)1

(1)因为=9ny=((x-l)联立方程.=%Q=1

V2=4%

1^1=J(-l-l)2+(-1-0)2=ndQ

|QF|=和+1=)

(2)当P(—1,0)时，易得a=2d(P)—|PF|二2

设P(—l,yp),>0,直线PF:%=my+1,则znyp=-2

联立，y2nlz:1，y?-4my—4=0J/Q=—27n+2Vm2+12d(P)—\PF\

设Pi(Ty。尸2(-32)，尸3(-1，乃)，则2[d(PD+d(P3)]-4d(P2)=|尸/|+岛司-

又因(科+4)(达+4)-(y/3+4)2=4(无+滔)-8yly3>。。所以d(P，+d(P3)>2d(P2)

10

【讲技巧】

求根型有以下几种：

1.知道一根求另一根

2.求根公式型

3.韦达定理型

【练题型】

22

1、如图所示,椭圆c：5+2=l(a>Z>>0)的离心率为g其右准线方程为x=4,4、B分

a2b2

别为椭圆的左、右顶点，过点/、8作斜率分别为左、鱼，直线和直线3N分别与椭圆

C交于点N(其中M在x轴上方，N在x轴下方).

(2)若直线"V恒过椭圆的左焦点£,求证：1k为定值.

22

【答案】(1)—+^=1：(2)证明见解析.

43

(1)由题可得9=」,4=4,求出C，。，再利用02=62+C2,即可求出椭圆C的方程;

a2c

(2)设的方程为y=%(x+2),联立片+广=1,利用韦达定理求得点

43

-6-12左2

M,同理求出“,再利用向量共线M片〃N片，求

始2

3+4・k；'3+4k2

出k「3k2=0,即证y1为定值.

左2

【详解】(1)由题可得9=匕4=4,解得C=l,a=2

a2c

22

y.a2=b2+c2,可得〃=3,所以椭圆C的方程为：土+匕=1

43

(2)•・•/(-2,0),设4W的方程为y=/(x+2),设

y=K(x+2)

由，^+产-1消去了整理得(3+4婷)尤2+16k：x+16^-12=0,A>0,

43

16婷

3+4婷

由韦达定理可得：，解得玉=，代入y=左(X+2),求得％=22,

16自2T23+4左］3+

3+4勺2

(-8婷+612kl

即M13+41'3+442

•••5(2,0),设8N的方程为y=&(x-2),设

11

y=k2(x-2)

由<，/v2，消去V整理得(3+44)/—164x+16考-12=0,A〉。,

—+—=1

[43

「16人，

x2?+2=---

3+4月2，解得尤2=等/，代入y=^2（x-2）,求得％=ah2，

由韦达定理可得：

J6疗-123+4左2J十442

%-3+4自2

即藐■又直线防V恒过椭圆的左焦点片，

则而后//诟

又加=a*9-^(nk^-3-m^

113+44点+软"13+44‘3+44)

-4k；+9-Uk2_12kl12始一3

-----------丁X-----7-----TX------丁即（4空2+3）（左一3左2）=0

3+4尢23+4左23+4婷3+4左2

・左］，左2〉04左］左2+3>0.,.左一3kz—0即k?

22

2.已知椭圆从2+方二川。〉/）〉。）的右焦点为尸，点/,B分别为右顶点和上顶点，点。为

11e「_

坐标原点，何可+=彳，AO/2的面积为C，其中e为E的皆心率.

（1）求椭圆£的方程；

（2）过点。异于坐标轴的直线与E交于M,N两点，射线/M,/N分别与圆。:尤2+必=4

交于P,。两点，记直线MV和直线尸。的斜率分别为勺，右，问/是否为定值？若是，求

出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴土+工=1⑵7r为定值与

42«23

11e=

【分析】（1）根据西+囱=两，AGU5的面积为应，求得。,6,即可得出答案；

（2）设点”（x。,％）,尸（西,必）,。（工2，%），则点%（-%,-%）,根据此N在椭圆£上，可得

L-Kv=V1，设直线的方程为X="沙+2,则直线ZN的方程为尤=-二2”2,

2m

x=my+2,

rx=my+2,

分别联立/y2，2；,求得〃，尸,0三点的坐标，从而可得出结论.

—+乙=1,［x2+y2=4,

142

⑴解:因为向+向=向,所以L士,又之"56=口=》f2+”，

22

联立可得〃=2,6=血，所以椭圆£的方程为土+匕=1；

42

（2）解：设点〃■（%,%）,玖占,%）,。（工2,%），则点N（f）,-%）,由题意得N（2,o）,

22

因为MN在椭圆£上，所以今+/=1,则为2=4-2比2,所以

%-%=一叶=-%2」

XQ—2—XQ—24—XQ22比22

12

即7,设直线NM的方程为了=切+2,则直线4N的方程为、=——V+2，

2m

12

x=my+2,

联立x2y2消工得（加2+2）/+4磔=0,

——+—=1,

I42

由4M在椭圆E上，所以为=-?所以％=?％+2=学£,所以左=2m

A=

m+2m+2m2—2

x=my+2,.4m

联立/+,一消x得M+M+4.。，由点4尸在圆C上，所以M=,所以

m2+1

2-2加2

再=my+2=

xm2+1

8m2m2-8%一必_m（3m2+6）_3m

同理：，所以左2=

y2=55%2=74»2

m+4m+4x2-x1m-4m-2

所以行;一2即?为定值:.

左2m—23m3k23

【题型二】最值型

【讲题型】

22:,且过点当后，

例题L已知焦点在y轴上的椭圆C:彳+17=1（。＞6＞0）,离心率为

7

不过椭圆顶点的动直线/：了=丘+/与椭圆C交于A、B两点，求:

（1）椭圆C的标准方程；

（2）求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线（9/、OB的斜率之积.

【答案】（1）匕+x2=l；（2）面积最大值为1,斜率之积为-4.

4

【分析】（1）由离心率得£=",从而得。=26,再把点（克，后）的坐标代入标准方程,

a22

可解得；

（2）利用韦达定理及弦长公式求得底N3的长，由点到直线距离公式可求得48边上的高,

（左2+4-m2m2

从而把面积表示为S.OAB=22——，进而可得.

【详解】因为椭圆c离心率为走，可设方程为二+£=1,过点

所以6=1,

22

4b2b7

所以椭圆C的标准方程为贵+x?=l.

4

y=kx+m

（2）设4（国,为）,5（尤2，%），联立＜'J-],得（左？+4）x?+2A7"X+机2—4=0,

14

△=16俨+4"）＞0①

-2kmm2-4-2km丫m2-44

…2=总*，*=下*，•小_司=-4J4+4一桐，

左2+4左2+4一左2+4

,\m\

又点。到直线AB的距离为d=

，1+左2

SABd=g"2+七后a'#----------丁加

.AOB=~^\\+4-m2-/

VF+1

13

故当一L=L即左2+4=2/时，三角形的面积有最大值1,此时满足①,

上2+42

所以kOAkOB=纯=网+"+"')=16-4加2,

—5----=-4

XjX2xtx2m-4m-4

三角形495面积的最大值为1,此时直线。/、08的斜率之积为一4.

22

例题2.已知椭圆。：3+方=1（。＞。＞0）的右焦点为尸（百,0）,若过点尸的直线与椭圆交于

（4-73

A,3两点，且的中点为尸弋，一手.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若椭圆C的右顶点为。，点M,N在椭圆C上，且满足直线。”与DN的斜率之积为，,

证明直线经过定点，并求ADW面积的最大值.

【答案】（1）,+/=1⑵证明见解析，AZ）MN面积的最大值为:

【分析】⑴设4（再,%）、8（9,%）,利用点差法得到巨=L再由析=3=。2_氏求出入

a4

b2,即可得解；

（2）首先判断直线"N不垂直于x轴，设4W:y=b+加（左NO）,M（x3,y3）s2V（x4,y4）,

联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由叱矶=（得到苏-机-6左2=0，即可

得到加=-2左