湖北省楚天协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷(含详解)

湖北省楚天协作体2024−2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（）A． B． C． D．2．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（）A． B．9 C． D．123．已知为等差数列的前n项和，若，，则的值为（）A．21 B．20 C．19 D．184．点P是曲线上任意一点，则点P处切线倾斜角的取值范围为（）A． B． C． D．5．若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（）A． B．或C． D．或6．已知m，且，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．若，则7．已知数列的前n项和为，前n项的积为，若，当取最小值时，（）A．10 B．11 C．12 D．12或138．设，，，则a、b、c的大小关系为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，圆，则下列命题正确的有（）A．直线l过定点B．若直线l过C点，则C．存在实数t，使得直线l与圆C相切D．若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为10．对任意实数x，有.则下列结论正确的是（）A． B．（，1，…，9）的最大值为C． D．11．已知函数（）存在两个极值点，（），且，.设的零点个数为m，方程的实根个数为n，则（）A． B．n的取值为2、3、4C． D．mn的取值为3、6、9三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆和圆，则两圆的公共弦长为.13．某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为.（用数字作答）14．已知且，集合和集合，若，则实数a的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的展开式中的第项、第项和第项的二项式系数成等差数列.(1)求的值.(2)记，求被除的余数.16．已知数列满足，（）.(1)证明：数列是等比数列.(2)设，求.17．已知函数，(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围.18．已知以为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是和.(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程.(2)求证：为定值.(3)求面积的最小值.19．已知函数.(1)证明：当时，.(2)设，令.（ⅰ）讨论的单调性.（ⅱ）若存在两个极值点，（），证明：.

参考答案1．【答案】C【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且，所以直线的斜率为，又因为线段的中点为，所以直线的方程为，整理可得.故选C.2．【答案】B【详解】由题意可知：，所以，解得：，故选B.3．【答案】A【详解】因为为等差数列的前n项和，设公差为，所以，，即得，所以，所以，则.故选A.4．【答案】B【详解】由，可得：，即，结合倾斜角与斜率的变化关系可知取值范围为，故选B.5．【答案】D【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或..故选D.6．【答案】A【详解】，，，A错误；，B正确；，，C正确，由，可得，即，又，解得：，D正确；故选A.7．【答案】C【详解】，，当时，，两式相减得，而，解得，因此数列是等比数列，，数列是递增正项数列，，因此，所以当取最小值时，.故选C8．【答案】D【详解】，，，令，则，令，则，所以在单调递减，所以，即，所以在单调递减，因为，所以，即，所以.故选D.9．【答案】AB【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确；对于B，直线l过点，则有，则，故B正确；对于C，由圆心到直线的距离，可得，显然的值不存在，故C错误；对于D，由垂径定理，要使弦长最短，需使圆心到直线的距离最长，而直线l过定点，当且仅当时，，此时，，但是，此时轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D错误.故选AB.10．【答案】BCD【详解】对于A，令，得，故A错误；对于B，由，则展开式的通项公式为，所以为负，为正，当时，计算可得，，，，，所以（，1，…，9）的最大值为，故B正确；对于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正确；对于D，由B可知，故D正确.故选BCD.11．【答案】AD【详解】由，可得为二次函数，（）为的零点，由，得或，因为，令，解得或；令，解得，所以在和内单调递增，在内单调递减，则为极大值点，为极小值点，所以，又，，即，若，则，此时，与矛盾，故A正确；因为，所以有2个解，有1个解，所以有3个解，故B错误；当时，如图所示，的零点个数为，所以，，故，当时，如图所示，的零点个数为，所以，，故，当时，如图所示，的零点个数为，所以，，故，故C错误，D正确.故选AD.12．【答案】【详解】

如图，由圆与圆相减，整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：，由圆的圆心到直线的距离为，由弦长公式，可得两圆的公共弦长为.13．【答案】360【详解】(1)计算0人参加“舞动青春”社团的方法数：将名同学分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加.可先将人分成，，三组，有种，再将这三组在三个社团上全排列，可得，故方法数为种；(2)计算人参加“舞动青春”社团的方法数：先从人中选人参加“舞动青春”社团，有种.然后将剩下的人分配到“书法协会”、“红袖添香”和“羽乒协会”三个社团，且每个社团至多两人参加，可将人按照，或，，分组.①若按照，分组，则有种，再将分好的两组全排列，安排到三个社团中的两个，则有种，故方法数为种；②若按照，，分组，则有种，再将这三组在三个社团上全排列，则有，故方法数为种.故有人参加“舞动青春”社团的方法数为种.

综上(1)，(2)，这5个同学中至多有1人参加“舞动青春”社团的不同方法数为：种.14．【答案】【详解】或，当，对于等价于，若，则，故此时不等式不成立，即此时一定落在的内部，满足，若，要满足，需满足对于在恒成立，即，即，构造函数，求导可得：，由，可得，由，可得，所以在单调递增，在单调递减，最大值为，所以，即，综上可知：实数a的取值范围为15．【答案】(1)(2)【详解】（1）的展开式的第项、第项和第项的二项式系数依次为、和，由题意有，即，整理得，因为，解得.（2）因为，所以，，所以能被整除因此，被除的余数为.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）数列满足，（），则，∴，又∵，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）知，则（），∴，∴.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，∴，故∴曲线在处的切线方程为：，即.（2）因的定义域为，当时，，则在上单调递增，无最小值；故.由得，由得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当时，有最小值，依题意，，即，∵，∴，设，（），则，因，则在上单调递增，又，故由可得，即，解得，故实数a的取值范围是.18．【答案】(1)标准方程为，准线方程为(2)证明见解析(3)16【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为（）且，∴，∴抛物线C的标准方程为，准线方程为；（2）证明：设点P的坐标为，，由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，设切线的斜率为k，则切线的方程为，联立方程组，消去x，得，∴得（*），又∵、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；（3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，联立方程组整理得，，∴，，∵，∴，整理得，代入有，∴，∴且，∴AB：，故直线AB过定点.∴，，∴，点P到直线AB的距离为，∴，因为函数在单调递增，而，∴当时，，所以面积的最小值为.19．【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）证明见解析【详解】（1）在定义域内是增函数∴当时，要证，只需证