江苏省淮安市2024-2025学年高一下学期4月期中联考模拟考试数学试题（含详解）

第=page77页，共=sectionpages1212页江苏省淮安市2024-2025学年高一下学期4月期中联考模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2)，向量b=(x,-2),且a⊥a-A.9 B.4 C.0 D.-42.已知i为虚数单位，若z(2+i)=3-i，则|z+2i|=(

)A.10 B.10 C.5 D.3.已知a、b均为单位向量，且a+b=a-b，则aA.π4 B.π2 C.3π44.在△ABC中，∠A=π3，AB=2，满足条件的三角形有两个，则BC的取值范围为(

)A.[1,2) B.(1,3] C.(5.在△ABC中，M是BC中点，AM=1，AB⋅AC=-3，则BC=A.2 B.3 C.2 6.已知α∈(0,π)，且sinα+cosα=2A.127 B.-712 C.77.过△ABC的重心G作一直线分别交AB,AC于点D,E.若AD=xAB，AE=yAC(xy≠0)A.4 B.3 C.2 D.18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=3，3sinC+cosC=2，N是边BC上一点，且满足BN=AC，M是AC中点，则A.22 B.33-32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知z1，z2∈C，则下列说法中正确的是A.若z1=z1，则z1∈R B.若|z1z2|=1，则z110.已知向量a=3,1，b=-1,λA.若b=1，则λ=0 B.若a⊥b，则λ=3

C.若λ=1，则cosa,b=-2511.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=2π3，b=8，则(

)A.若A=π6，则a=433 B.若a=4，则sinA=34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i为虚数单位．若|z|2+(z+z)i=1-i且复数z对应的点在第三象限，求复数z13.已知tanα+tanβ=4，tan(α+β)=-23，则14.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=π3，AC和BC边上的两条中线BM，AN相交于点P，则∠MPN的余弦值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(-2,1)，B(1,0)，C(3,1)．(1)求顶点D的坐标;(2)求平行四边形ABCD的面积．16.(本小题15分)在锐角▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,bcos(1)求角A；(2)若▵ABC的面积为43，求▵ABC17.(本小题15分)已知sinα=1213，sin(α+β)=3(1)求sinβ+(2)求cos2α-π18.(本小题17分)已知向量a=(2sinx,1)，(1)若a/​/b，求x(2)记f(x)=a(ⅰ)若对于任意x1，x2∈[π6,(ⅱ)关于x的不等式af(-12x+π19.(本小题17分)如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，C=π3=sin∠ABDsin(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若CD=x，BC=3x-1，x>13，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】A

【解析】a-b=(1-x,4)，又a⊥a-b，则a2.【答案】B

【解析】因为z(2+i)=3-i，

所以z=3-i2+i=3-i2-i2+i2-i=5-5i3.【答案】C

【解析】因为a+b=a-b-则cosa因为a,b-a∈0,π，所以故选：C．4.【答案】C

【解析】根据题意画图如图所示，

∠BAM=π3，AB=2，过B作BD⊥AM于D，

∴BD=ABsinA=3，若满足条件的三角形有两个，则以B为圆心，以BC长为半径的弧与射线AM有两个交点C1,C2，

∴BD

<BC<AB，即3<BC<2，5.【答案】D

【解析】AM=AB+AC2，

AM2=AB2+2AB·AC+AC26.【答案】A

【解析】因为sinα+cosα=23，

所以sin2α+2sinαcosα+cos2α=29，

则2sinαcosα=27.【答案】B

【解析】设点F为BC中点，因为D ,  G ,  E三点共线，所以可设DE=λDG，

因为AD=xAB ,  AE=yAC，

所以DE=AE-AD=yAC-xAB，

因为G为▵ABC的重心，

所以AG=23AF=238.【答案】B

【解析】因为3sinC+cosC=2，所以sin⁡(C+π6)=1，

而由C是三角形内角得：π6<C+π6<7π6，因此C+π6=π2，即C=π3，

在△ABC中，因为c=3，所以asinA=bsinB=csinC=23，

因为M是AC中点，所以CM=b2，

因为N是边BC上一点，且满足BN=AC，所以CN=a-b，

在△CMN中，由余弦定理得：

MN2=CM2+CN2-2CM·CNcosC

=b24+9.【答案】AC

【解析】对A，不妨设z1=a+bi(a,b∈R)，则z1=a-bi，若z1=z1，则a+bi=a-bi，则b=0，z1∈R，故A选项正确;

对于B，取z1=2i,z2=2，满足条件，但结论不成立，故B选项错误；

对于C，z1⋅z1=

|z1|2，

z2⋅z2=10.【答案】ABD

【解析】对于A：若b=1，则1+λ2=1，

对于B：若a→⊥b→，

则a⋅b=-3+λ=0对于C：若λ=1，则b=2，

又a所以cos ⟨a,对于D：若λ=1，则a在b上的投影向量为

a⋅bb故选：ABD．11.【答案】BCD

【解析】对于A，若A=π6，又B=2π3，b=8，由正弦定理得对于B，由题意B=2π3，b=8，a=4，由正弦定理得sinA=对于C，由余弦定理b2=a所以ac≤643，当且仅当所以S▵ABC所以▵ABC面积的最大值为1633对于D，由B=2π3，b=8，及余弦定理64=a2+当且仅当a=c=8所以▵ABC的周长l=8+a+c≤8+16所以▵ABC周长的最大值为163312.【答案】-【解析】设z=a+bi(a,b∈R)，

则由|z|2+(z+z)i=1-i，

得a2+b2+2ai=1-i，

∴a2+b2=12a=-1，

即a=-12b=-13.【答案】12【解析】tanα+tanβ=4，tan所以，sin(α+β)故答案为：114.【答案】-2【解析】△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=π3，由余弦定理可得BC=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos∠BAC=4+9-2×2×3×12=7，

由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=7+4-927×2=15.【解析】(1)设D(x,y)，则BC=(2,1)，AD=(x+2,y-1)，

因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC=AD，

则x+2=2y-1=1，解得x=0y=2.ze

所以D(0,2)．

(2)因为BA=(-3,1)，BC=(2,1)，

所以|BA|=10，|BC|=5，16.【解析】(1)因为bcos所以b⋅a因为4sin2C=因为▵ABC是锐角三角形，所以8sin所以asinA=csinC=(2)因为▵ABC的面积为4所以12bcsin由余弦定理得16=b2+所以b+c2=b故▵ABC的周长为12．

17.【解析】(1)∵sinα=1213，π2<α<π

∴cosα=-1-sin2α=-513，

∵0<β<π2，π2<α<π，

∴π2<α+β<3π2，

又∵sin(α+β)=35，

∴18.【解析】(1)由a/​/b，则sinx=cos(x+π6)，

所以sinx=32cosx-12sinx，即tanx=33，

因为x∈[π6,π3]，故x=π6．

(2)(i)f(x)=a⋅b=2sinx⋅cos(x+π6)+12

=2sinx⋅(32cosx-12sinx)+1219.【解析】(Ⅰ)因为sin2A-sin2∠ABD-sin2∠ADB=sin∠ABDsin∠ADB，

由正弦定理可得BD2-AD2-AB