离散数学 课件5.5-图的顶点着色_第1页
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第6.5节图的顶点着色离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025学校安排补考,需要将有同一个学生参加的两门课安排在不同时间.将各门课程作为图的顶点,若某个学生需要补考两门课程,则将这两门课程对应的顶点用边相连.我们给这样的图中每个顶点赋予某种颜色,使得相邻顶点的颜色不同,则安排考试需要的时间段的最小值等于对图中顶点进行着色的最少颜色数.计算机在循环内计算时把频繁使用的变量的值存储于中央处理器的寄存器中而不是内存中,这样做便于快速访问数据从而提高效率.如果两个变量在不同时刻使用,则可以分配给它们同一个寄存器.定义一个图,其顶点就是变量,两个顶点相邻当且仅当对应的两个变量在某时刻同时使用,则变量所需要的寄存器的最少个数等于给图中顶点着色使得相邻顶点的颜色不同所需的最少颜色数.类似的还有装箱问题:有些货物装在同一个箱子里面不安全,给定一些货物,至少需要多少个箱子来装?这些问题都和图的顶点着色有关,下面给出图的顶点着色的定义.顶点着色的定义和性质

例5.5.1左图是Peterson图.因为Peterson图中含有奇圈,故Peterson图不是二部图,因此Peterson图的色数至少为3.左图给出了Peterson图的3种颜色的顶点着色方案（标相同字母的顶点着相同的颜色）,这就说明Peterson图的色数为3.右图为Grötzsch图,图中给出了4中颜色的着色方案（标相同字母的顶点着相同的颜色）,不难验证用3种颜色不可能给Grötzsch图着色,故此图的色数为4.顶点着色的定义和性质

贪婪着色：怎么给一个图进行顶点着色?下面我们介绍一种称之为贪婪着色的方法.用1,2,3,…等正整数来表示颜色.

四色问题四色问题的最初形式是:能否用4种颜色给任意平面区域着色,使得有公共边的相邻区域有不同的颜色(参见左图).给每个区域放置一个顶点,两个区域有公共边的话在这两个相应顶点间添加一条通过公共边的连线,这样就得到了一个平面图(其实是平面区域的对偶图).这样对平面区域(或地图)的着色问题就转变为了对平面图的顶点着色问题(参见右图).四色问题始于19世纪50年代,经过漫长的发展出现了很多接近正确的结果。值得一提的是AlfredKempe(1849-1922)于1879年发表的“证明”.这或许是数学中最有名的错误证明.这名律师的证明在11年后的1890年被他的同胞P.J.Heawood(1861-1955)指出了错误.但是Kempe的证明思路却是100年后K.Appel和W.Haken完成的计算机辅助证明的基础.最终K.Appel和W.Haken在1976年利用计算机成功给出了证明,但是一些数学家期待的不使用计算机的常规证明仍没有出现.定理5.5.3平面图的着色数不超过4.定理5.5.4(Heawood,1890)所有可平面图都是可5着色的.

定理5.5.4(Heawood,1890)所有可平面图都是可5着色的.

定理5.5.4(H

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