离散数学 课件6.2-子群和商群

第6.2节子群和商群离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，2025定义6.2.1设是一个群，Y是X的一个子集.如果也是Y上的代数运算且满足群的定义，则称是的子群，记为.任何一个群X至少有两个子群：一个是X本身，另一个是单位元构成的子群{e}.这两个群称为平凡子群，其余子群称为非平凡子群.定理6.2.1设Y是X的一个子群，则子群Y的单位元就是群X的单位元，Y中元素a在Y中的逆元就是a在X中的逆元.例6.2.1整数及普通加法构成一个交换群，称为整数加群.设是全体偶数构成的集合，则是整数加群的子群.正整数集合不是整数加群的子群，因为没有单位元0，且元素没有逆元.6.2.1

子群证明

设e′是子群Y的单位元，e是群X的单位元，则e′e′=e′=e′e，

于是由消去律可得e′=e.

同样，设a′是a在Y中的逆元，是a在X中的逆元，则

由消去律可得a′=.定理6.2.2群X的一非空子集Y构成子群的充要条件是：(1)(2)证明

必要性.设Y是X的子群，则X的代数运算也是Y的代数运算，因此当

时有，另外，由定理6.2.1可知，当时有.

充分性.设Y满足(1)与(2)两个条件，则(1)说明X的代数运算也是Y的

代数运算，结合律在X中成立自然在Y中也成立，又根据(2)，当

时，结合(1)可得，即Y中有单位元e，且每个元素

都有逆元，因此Y是X的一个子群.定义6.2.2设Y是X的一个子群，，则称集合为群X关于子群Y的一个左陪集；称集合为群X关于子群Y的一个右陪集.例6.2.2如例6.2.1所示，是整数加群的子群，有上例中，，因为整数加群是交换群.一般情况下，左右陪集未必相等.例6.2.3考虑3元对称群，Y={(1),(12)}是的一个子群.因为(13)(12)=(123)，而(12)(13)=(132)，所以不是交换群.又有所以.定理6.2.3设Y是X的一个子群，则是X的一个划分.证明

由于，有，故只需证明若，则.

设，下证cY=aY.

设c=ay()，则cY

=

ayY

=

aY

(由于Y是子群，，有，故

易得ayY=a(yY)

=aY).同理可证cY=bY.因此aY=bY.例6.2.4Y={(1),(12)}是的一个子群，且有故共有3个不同的左陪集构成了的一个划分.定义6.2.3群X关于子群Y的不同的左陪集的个数称为Y在X里的指数，记为(X:Y).根据定义可知，当然指数也可能无限.定理6.2.4

(拉格朗日定理)设Y是X的一个子群，则证明

令(X:Y)=s，则(⁕)是X关于Y的左陪集构

成的X的一个划分.易知是左陪集到的一个双射，从而.于是有因此由式(⁕)可知，即.定义6.2.4设x

是群X

中的一个元素，则满足的最小正整数n称为x的阶.如果这样的最小正整数不存在，则称x

的阶为无限.例如，整数加群中所有非零元素的阶都为无限，中(12)的阶为2，(123)的阶为3.推论6.2.1有限群中每个元素的阶都整除群的阶.注意这里，即n个x相乘.这里说“相乘”是因为群里的代数运算我们一般称为“乘法”，当然对于不同的群，具体运算规则是不同的.同时规定证明

设x是有限群X中的一个n阶元素，则是X的一个n阶子群.由拉格朗日定理可知.定义6.2.5设Y是X的一个子群，如果，都有xY=Yx，则称Y是X的正规子群，记为由于交换群的左、右陪集都相等，因此交换群的子群都是正规子群.例6.2.5由例6.2.3可知，{(1),(12)}是的一个子群，但不是正规子群.类似地，{(1),(13)}，{(1),(23)}也都不是的正规子群，而{(1),(123),(132)}是的正规子群.定义6.2.6设Y是X的一个正规子群，对任意的两个陪集xY和zY，定义(xY)(zY)=(xz)Y6.2.2

商群上述定义的陪集的运算满足结合律，单位元为eY=Y，xY的逆元为

，因此全体陪集及上面定义的运算构成了一个群，记为X/Y，称为X关于正规子群Y的商群.例6.