离散数学 课件6.3-循环群和对称群

第6.3节循环群和对称群离散数学讲授：李小南配套教材：李小南，易黄建，乔胜宁，离散数学，电子工业出版社，20256.3.1

循环群设Y是群X的一个非空子集，则Y未必是X的子群，但是包含Y的所有子群的交仍是X的子群，称为由Y生成的子群，记为.显然是X中包含Y的最小子群，Y也称为的生成系.

由一个元素x生成的群X称为循环群，记为，x也称为的生成元.若群中运算用乘法表示，则即中的任意元素可以写为(k为整数);若群中运算用加法表示，则即中的任意元素可以写为kx(k为整数).例6.3.1整数加群是无限循环群，1为其生成元.即也就是说整数加群中任何一个元素都可以通过1和加法生成.例6.3.2设n为正整数，整数加群的加法子群也是一个循环群.因为中的任何元素kn都可以通过n和加法生成，即循环群的生成元为n.也是一个无限循环群.方程的n个复数解，具体为例6.3.3n次单位根群是一个循环群.回忆例6.1.11中的n次单位根是指由复数乘法可得，即任意n次单位根都可以由

的幂运算生成.因此是生成元，n次单位根群是n阶循环群.例6.3.4素数阶群是循环群.设x是素数阶群X(|X|=p)中的元素，由拉格朗日定理的推论可知，x的阶为1或p，故是X中的不同元素.因此为循环群.证明

设Y是循环群的任一子群.当Y={e}时，显然Y是循环群.定理6.3.1循环群的子群仍是循环群.下设Y≠{e}.由于当时必有，故可设为Y中a的最小正幂，于是有.另一方面，任取，令因为是Y中a的最小正幂，所以r=0.从而由式(⁕)可知由于，故有(⁕)于是又有因此定理6.3.2(1)无限循环群有无限多个子群.(2)设是n阶循环群,则对n的任意正因子k(即且k|n)，X只有一个k阶子群，这个子群就是.证明

(1)设，则易知是X的全部互不相同的子群，且除e外都是无限循环群，从而彼此同构.(2)设，k|n且n=kq(Ⅰ)，则，因此是X的一个k阶子群.设Y也是X的一个k阶子群，根据定理6.3.1可设，则.又由习题可知的阶是，故，式中，(m,n)为m与n的最大公因数.由式(Ⅰ)与(Ⅱ)得q=(m,n)且q|m，从而(Ⅱ)由于与的阶相同，故即的k阶子群是唯一的.由于，所以{}对乘法是封闭的，即变换乘法（复合映射）是{}的代数运算，乘法运算的结合律成立，单位元为，两个元素的逆元就是自己，因此{}是X的变换群.但由于和

都不是双射变换，故此变换群不是置换群.6.3.2

对称群集合X的一些变换关于变换的乘法构成的群称为变换群；X的全体双射变换（即置换）构成的群称为对称群；若|X|=n，则称全体双射变换（即置换）构成的群为n元对称群，记为.定义6.3.1n元对称群的子群称为置换群.由定义可知，是置换群，而置换群是变换群.下面给出的例子是变换群而不是置换群.例6.3.5设X={1,2,3,4}，考虑两个变换4元对称群中有4!=24个元素，每个轮换都可以表示为对换的乘积，但表示法未必唯一.如(123)=(13)(12)=(13)(32)(32)(12)(1234)=(34)(13)(23)=(23)(13)(23)(13)(14)前面已经指出，中的元素可分别记为(12)和(123).(12)是把1变成2，把2变成1；(123)是把1变成2，把2变成3，把3变成1，这样的变换称为轮换.我们可以用(

)表示一个轮换，m称为轮换的长.长为1的轮换就是恒等变换，长为2的轮换称为对换；没有公共元素的若干轮换称为不相交轮换.定理6.3.3每个置换（非轮换）都可以表示为不相交轮换的乘积；每个轮换都可以表示为对换的乘积.注意由上述定理可知，每个置换都可以表示为对换的乘积.例6.3.6虽然同一置换表示为对换的乘积时有不同的方法，但是各种方法中对换个数的奇偶性却相同.我们有下面的定理.定理6.3.4每个置换表示为对换的乘积时，对换个数的奇偶性不变.这样我们就可以把置换分为奇置换和偶置换.(123)是偶置换，(1234)是奇置换.有n!个元素，由于奇置换和偶置换的个数一样多，故奇置换和偶置换各有n!/2个.的所有偶置换关于置换的乘法构成一个群，称为交错群，记为.和分别为例6.3.7为的正规子群.设，下面说明.若是偶置换，例6.3.8等式显然成立.若为奇置换，则有.由于恒等置换也是偶置换，而是奇置换，所以是奇置换.因此对任意，是偶置换，即，故，这就说明了.类似可说明.因此，.没有非平凡正规子群的群称为单群，即单群的正规子群只有子群{e}和其自身.由拉格朗日