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双休作业(三)2构造全等三角形的六种常用方法第1章

三角形的证明1234561．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠2＝∠1＋∠C．1方法翻折法证明：如图，延长AD交BC于点F(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BD)．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.返回2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.2方法构造基础三角形法证明：∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CBF＝∠BAC＝45°.又∵∠DBG＝90°，返回3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．3方法旋转法解：∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，

则HE＝EF.返回4．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.4方法平行线法证明：如图，过点O作OD∥BC交AB于点D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQO＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.∵AP平分∠BAC，∴∠DAO＝∠QAO.又∵OA＝OA，∴△ADO≌△AQO(AAS)．∴OD＝OQ，AD＝AQ.∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°.∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，

∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB.∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.返回5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．5方法倍长中线法如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴AC＝EB.∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.(1)证明：返回(2)解：∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC.∵AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD

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