高考数学（文）高分计划一轮狂刷练第7章立体几何7-3a

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析对于A，m与l可能平行或异面，故A错误；对于B，D，m与n可能平行、相交或异面，故B，D错误；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.2．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．故选B.3．(2016·雅安期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线有()A．1条 B．2条C．4条 D．无数条答案C解析若直线和AB，BC所成角相等，得直线在对角面BDD1B1内或者和对角面平行，同时和CC1所成角相等，此时在对角面内只有体对角线BD1满足条件．此时过A的直线和BD1平行即可，同理体对角线A1C，AC1，DB1也满足条件．则过点A与AB，BC，CC1所成角均相等的直线只要和四条体对角线平行即可，共有4条．故选C.4．(2017·宁德期末)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为()A．0° B．45°C．60° D．90°答案D解析如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE－CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°.故选D.5．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案D解析连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).故选D.6．(2018·江西景德镇模拟)将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．异面且垂直 D．异面但不垂直答案C解析在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面．故选C.7．(2017·河北唐山模拟)已知P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°答案A

解析取AC的中点O，连接OM，ON，则ON∥AP,ON＝eq\f(1,2)AP,OM∥BC,OM＝eq\f(1,2)BC，所以异面直线PA与MN所成的角为∠ONM(或其补角)，在△ONM中，OM＝2，ON＝2eq\r(3)，MN＝4，由勾股定理的逆定理得OM⊥ON，则∠ONM＝30°.故选A.8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()A．8 B．9C．10 D．11答案A解析如图，CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8.故选A.9．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是()答案D解析①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α，可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．故选D.10．(2018·广东惠州三调)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案B解析将展开图还原为几何体(如图)，因为四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，则直线BE与CF共面，①错误；因为AF⊂平面PAD，B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错误．故选B.二、填空题11．如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案③④解析如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN，∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.12．(2017·仙桃期末)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝BD＝2，且AC与BD成60°，则四边形EFGH的面积为________．答案eq\f(\r(3),2)解析如图所示，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EH∥FG∥BD,EH＝FG＝eq\f(1,2)BD＝1.∴四边形EFGH是平行四边形，同理可得EF＝GH＝eq\f(1,2)AC＝1，∴四边形EFGH是菱形．∵AC与BD成60°，∴∠FEH＝60°或120°.∴四边形EFGH的面积＝2×eq\f(1,2)EF2sin60°＝eq\f(\r(3),2).13．(2018·湖北武昌调研)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．答案②④⑤解析对于①，把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中，显然命题①错误；对于②，因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；对于③，当四面体ABCD为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；对于④，因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；又命题⑤显然成立，故填②④⑤.14．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体P－DEF，则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为________．答案eq\f(2,3)解析折成的正四面体，如图，连接HE，取HE的中点K，连接GK，PK，则GK∥DH，故∠PGK(或其补角)即为所求的异面直线所成的角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝eq\r(3)，GK＝eq\f(\r(3),2)，PK＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(7),2)，故cos∠PGK＝eq\f(PG2＋GK2－PK2,2·PG·GK)＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7),2)))2,2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\f(2,3)，即异面直线PG与DH所成的角的余弦值为eq\f(2,3).三、解答题15．(2018·普宁市校级期末)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．(1)在A1C上是否存在一点Q，使BC1∥DQ?(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求异面直线AB1与CD所成角的大小．解(1)连接AC1交A1C于Q，连接DQ，∴DQ为△ABC1的中位线，DQ∥BC1，∴A1C上存在一点Q，使BC1∥DQ，Q为A1C的中点．(2)解法一：连接AB1，取BB1中点M，连接DM、CM，则DM是△ABB1的中位线，∴DM∥AB1，∴∠CDM就是所求异面直线所成角(或补角)，∵AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，∴CM＝eq\r(5)，DM＝eq\r(3)，CD＝eq\r(2)，∴DM2＋CD2＝CM2，满足勾股定理，∴∠CDM＝90°，故异面直线AB1与CD所成角为90°.解法二：易证CD⊥平面ABB1A1，从而证明CD⊥AB1，故异面直线AB1与CD所成角为90°.16．(2017·江西七校联考)如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA，AB＝AD＝DE＝eq\f(1,2)CD＝2，M是线段AE上的动点．(1)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；(2)在(1)的条件下，求平面MDF将几何体ADE－BCF分成的较小部分与较大部分的体积比．解(1)当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF.理由如下：连接CE交DF于N，连接MN，因为四边形CDEF是矩形，所以N为CE的中点，又M为AE的中点，所以MN∥AC，又MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.(2)如图，将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B′CF，由题意知三棱柱ADE－B′CF是直三棱柱，其体积V＝S△ADE·CD＝eq\f(1,2)×2×2×4＝8，则几何体ADE－BCF的体积VADE－BCF＝V三棱柱A