导数的概念及其几何意义对分课

导数的概念及其几何意义（2）

年级：高二学科：数学（人教A版）

主

讲

人：张嘉祺

班

级：高二（4）班

漯河实验高级中学精讲留白01漯河实验高级中学问题1高台跳水运动员的速度平均速度瞬时速度问题2抛物线的切线斜率割线斜率切线斜率漯河实验高级中学问题1

你能写出函数

y＝f(x)在x＝x0

处的导数计算公式并说出导数的意义吗？导数表示函数y＝f(x)在

x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数

y＝f(x)在

x＝x0附近的变化情况.导数是瞬时变化率的数学表达.漯河实验高级中学问题2导数

是否具有几何意义？漯河实验高级中学追问1：平均变化率的几何意义是什么？漯河实验高级中学追问1：平均变化率的几何意义是什么？过点

和点的直线的斜率.漯河实验高级中学追问1：平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的几何意义是割线P0P的斜率k.漯河实验高级中学问题3能否根据上述过程给切线下个定义？漯河实验高级中学定义

在曲线

y＝

f(x)上任取一点

P(x，f(x))，如果当点

P沿着曲线

y＝

f(x)无限趋近于点

P0

(x0，f(x0))时，割线

P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线

P0T称为曲线

y＝

f(x)在点

P0处的切线

.xf(x)漯河实验高级中学问题4导数

的几何意义是什么？点

P→点

P0割线

P0P的斜率

k切线

P0T的斜率

k0漯河实验高级中学函数

y＝f(x)在

x＝x0处的导数曲线

y＝f(x)在点P0(x0，f(x0))处切线的斜率

k0漯河实验高级中学函数

y＝f(x)在

x＝x0处的导数数形转化曲线

y＝f(x)在点

P0(x0，f(x0))处切线的斜率

k0漯河实验高级中学分析：切点是切线上一点，只需要再求出切线的斜率.切线的斜率等于相应函数在切点处的导数.

漯河实验高级中学

解：设所以，所求切线方程为整理得漯河实验高级中学

解决切线问题的关键是利用导数的几何意义求出切线的斜率.漯河实验高级中学

xf(x)问题5

图中哪条直线最贴近点P0

附近的曲线？

在点

P0附近，曲线

y＝

f(x)可以用点

P0处的切线

P0T近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲.漯河实验高级中学例2

图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数

h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线

h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.漯河实验高级中学追问1：如何描述曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2附近的变化情况？在

t＝t0，t1，t2处的切线在

t＝t0，t1，t2附近的曲线近似代替斜率刻画漯河实验高级中学解：用曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线

h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.(1)当

t＝t0时，

曲线

h(t)在

t＝t0处的切线

l0平行于

t轴，这时，在

t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.漯河实验高级中学(2)当

t＝t1时，

曲线

h(t)在

t＝t1处的切线

l1

的斜率这时，在

t＝t1附近曲线下降，即函数

h(t)在t＝t1附近单调递减.解：用曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线

h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.漯河实验高级中学(3)当

t＝t2

时，

曲线

h(t)在

t＝t2

处的切线

l2

的斜率这时，在

t＝t2附近曲线下降，即函数

h(t)在t＝t2附近单调递减.解：用曲线

h(t)在

t＝t0，t1，t2处的切线斜率，刻画曲线

h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.漯河实验高级中学追问2：曲线

h(t)在

t＝t1和

t＝t2附近都是下降的，两个时刻的下降趋势是否有区别呢？漯河实验高级中学直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得缓慢.解：漯河实验高级中学在

t＝t0，t1，t2处的切线在

t＝t0，t1，t2附近的曲线近似代替斜率刻画直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得缓慢.解：以直代曲漯河实验高级中学思考：请描述曲线

h(t)在

t＝t3，t4附近增（减）以及增（减）快慢的情况.漯河实验高级中学t3t4而直线m

的倾斜程度小于直线

l

的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t4附近比在

t＝t3附近增加的慢.解：曲线

h(t)在

t＝t3

附近单调递增，在

t＝t4附近单调递增.t3t4总结：根据曲线

h(t)在

t＝t1，t2，

t3，t4附近增（减）以及增（减）快慢的情况，导数对函数图像的变化影响.漯河实验高级中学导数的正负：增减趋势导数的绝对值大小：增减快慢斜率的正负：增减趋势斜率的大小：增减快慢在

t＝t0，t1，t2处的切线在

t＝t0，t1，t2附近的曲线近似代替斜率刻画直线

l1的倾斜程度小于直线

l2的倾斜程度曲线

h(t)在

t＝t1附近比在

t＝t2附近下降得缓慢.解：以直代曲漯河实验高级中学02独立内化完成任务单习题漯河实验高级中学小组讨论03漯河实验高级中学师生对话04漯河实验高级中学

漯河实验高级中学√由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，2、已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定由图象可知f′(xA)<f′(xB).漯河实验高级中学√3、某地有关部门为尽快实现房价稳定，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t具有函数关系，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加而增大，则曲线是上升的，且越来越陡。漯河实验高级中学4、曲线y＝f(x)＝x2＋x－3的一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点的坐标与切线的方程.∵切线与直线y＝3x＋4平行，∴切线的斜率为3.设切点的坐标为(x0，y0)，则y′|x=x0＝3，漯河实验高级中学∴2x0＋1