福建省莆田市2025届高中毕业班高三年级第四次教学质量检测试卷数学及答案（莆田四检）

莆田市2025届高中毕业班第四次教学质量检测试卷考生注意：作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。1.已知集合A={0,1,2,3,4,8},B={x|z-2∈A),则A∩B=C.{3,4}114,119,则这组数据的第25百分位数是A.99B.100A.第一象限B.第二象限CDCDA.24分钟B.28分钟C.32分钟D.36分钟A.12πB.16πC.20π【高中第四次教学质量检测试卷·数学第1页(共4页)】A.38.已知函数f(x)=eˣ,g(x)=—x²—mx,若对区间[0,1]内任意两个实数x₁,x2(x₁≠x₂),都有A.[-1,2—21n2]B.[—e²—4,1]D.|PAl-|PF|的最小值为-24049(a+b),其中b>0,则BD是偶函数，且f(2)=4,f(x)+f(一2-x)=4,13.已知函数f(x)=Asin(ax+φ)(A>0,0<w<10,一π<φ<π)的部分图14.从1,2,…,2024中任取两数a,b(可以相同),则7+8的个位是7的概率为【高中第四次教学质量检测试卷·数学第2页(共4页)】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a17.(本小题满分15分)已知椭圆(的离心率为,左、右焦点分别为F₁,F₂,点M(1,0)满足18.(本小题满分17分)已知函数(1)当a=1时，求曲线y=f(2)若a>0,函数g(x)=x²f(x)有两个极值点x₁,x₂(x₁<x₂).(1)求实数a的取值范围；19.(本小题满分17分)(i)求证b,c,n∈N")的abc的最小值.参考答案、提示及评分细则1.A因为A={0,1,2,3,4,8},所以B={x|x-2∈2.B这组数据从小到大排列为93,99,101,105,106,112,114,119,因为8×25%=2,所以这组数据的第25百分位数是第3.D因所以z=2+i,所i,在复平面内对应的点,位于第四象限.故选D.方细沙只有开始时的时，则有a,所以,两边取对数2,所以t=32,即需要经过的时间为32分钟.故选C.6.C如图，设O为圆台外接球的球心，O,O₂分别为上、下底面圆的圆心，R为外接球半径，则R²为α∈(0,π),所以,所以8.A假设x₁<x₂,因为f(x)=e²在R上单调递增，所以|g(x₁)-g(x₂)|<f(x₂2)—f(x₁),所以f(x₁)一f(x₂)<g(x1)-g(x₂)<f(x2)-f(x₁),所以令F(x)=f(x)-g(x)=e+x²+[0,1]内单调递增，所以G'(x)=e-2x-m≥0,所以m≤e²—2x,令h(x)=e—2x,则h'(x)=e-2,所以h(x)在(0,In2)上单调递减，在(In2,1)上单调递增，所以h(x)的最小值为h(In2)=2-2ln2,即m≤2-21n2.综上所述，一1≤m≤2—2ln2.故选A.9.BCD满足|PA|=|PF|的点P位于线段AF的垂直平分线上，其直线方程为,与C仅有一个交点，故A错误；设P到直线AF的距离为(,则d=1,所以P在直线x=2或y轴上，这样的点P有三个，故B【高中第四次教学质量检测试卷·数学参考答案第1页(共6页)】正确；如图1,点A在抛物线外，|PFl+|PAl≥|AFl,故|PAl+|PF|的最小值为|FA|=3,故C正确；如图2,过A作x轴平行线，与准线交于点B,与抛物线交于点P,根据抛物线定义，|PB|=|PF|,此时|PA|-|PF|有最小值—|AB|=-2,故D正确.故选BCD.,B错误或,所以,C正,D正确。故选ACD.f(-1)=2,故A正确；因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(一x),又f(x)+f(-2-x)=4,所以f(一x)+506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=4048+2=4050,故B错误；因为f(x)+f(-2-x)=4,关于(一1,2)中心对称，又f(x)是偶函数，所以f(x)关于(1,2)中心对称，所以f(x)+f(2—x)=4,+f(204)=4,f(225)+r(4045)=4,…,,(2024)+f(2026)=4,f(2025)=f(1)=2,令得2S=[f(2025)+f(205)]+[f(225)+f(2045)]+…+[f(205)+f(2025)],即a=-2,b=4时等号成立，,所的最小值为,故D正确.故选ACD.12.设所求双曲线的方程为≠0),将点(2,2)代入得λ=3,所以所求双曲线的方程为=1.【高中第四次教学质量检测试卷·数学参考答案第2页(共6页)】14.从1,2,…,2024中任取两数a,b(可以相同),共有2024×2024种不同取法，因为7的个位数字随着a从1开始，依次是7,9,3,1,7,…,周期变化，8的个位数字随着b从1开始，则依次是8,4,2,6,8,…,周期变化，故它们的周期均为4,所以1～2024中，共有4k+1,4k+2,4k+3,4k+4(0≤k≤505,k∈N)4种数型，且每种数型的个数是相同的，都是506个.又7和8的尾数中只有9+8,3+4,1+6三种情形中个位数字是7,即a=4k+2,b=4L+1;a=4k+3,b=4L+2;a=4k+4,b=4L+4时，7+8的个位数字是7.又O≤k≤505,k∈N;≤I≤505,L∈N,所以满足7“+8的个位数字是7的取法有506×506×3种取法，所以所求概率所以49=(a+b)²—ab,即(a+b)²=49+ab=49+15=64,……13分分因为CELAD,CE⊥ME,AD∩ME=E,AD,MEC分以OB,OA,OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,1,0),B(√3,0,0),C(√3,2,0),D(0,3,0),M(o,0,√3).令x₁=1,则y=√3,z₁=1,即平面MAB的一个法向量为m=(1,√3,1)10分令r₂=1,则y₂=√3,z2=3,即平面MCD的一个法向量为n=(1,√3,3)12分 8所以△=4m²—4(m²+4)·(-15)=64m²+240>0,且……………………14分当且仅当,即m=±2时等号成立，所以△MQR面积的最大值………………………15分所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+3=3(x—1),即3x-y-6=0……3分(2)(i)g(x)=z²f(x)=xlnx-2x—ax²,则g'(x)=因为函数g(x)有两个不同的极值点x₁,x₂,所以x₁,x2是g'(x)的零点，由Inx—2ax-1=0,得………………………5分令h'(x)>0,得0<x<e²;令h'(x)<0,得x>e²,结合h(x)的图象的变化趋势可知故实数a的取值范围为得t(lnx₁-1)=lnt+lnx₁-1,…………………11分令φ(t)=t-1-tlnt(t>1),则φ'(t)=—lnt<0,所以φ(t)在(1,十∞)上单调递减，则φ(t)<φ(1)=0,即m(t)<0,所以m(t)在(1,十∞)上单调递减………13分因此m(t)在区间(2,十∞)上单调递减，即m(t)≤m(2)=又,令,由(i)可知，v(x)在区间[e,2e]上单调递增…………所以,则,解得【高中第四次教学质量检测试卷·数学参考答案第5页(共6页)】故实数a的最大值………