浙教版七年级下册初一数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

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浙教版七年级下册

初中数学

全册知识点梳理及重点题型巩固练习

同位角、内错角、同旁内角知识讲解

【学习目标】

1.了解“三线八角”模型特征；

2.掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们.

【要点梳理】

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1.“三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构

成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

被截线

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交.

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成.

2.同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1,

(1)同位角：像N1与N5,这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同

侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

(2)内错角：像/3与/5,这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这

样的一对角叫做内错角.

(3)同旁内角：像/3和N6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一

对角叫做同旁内角.

要点诠释：

(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是

没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.

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（：平行线及其判定403102三线八角】

要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

基本图形

角的名称位置特征图形结构特征

（去掉多余的线）

在两条被截直线同形如字母“F”

方，在截线同侧（或倒形）

同位角V

在两条被截直线之形如字母“Z”

间，在截线两侧（交（或反置）

内错角

错）

在两条被截直线之形如字母“U”

同旁内角内，在截线同侧匚

要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：

（1）巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

（2）借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2.

图2

【典型例题】

类型一、“三线八角”模型

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（1）图3中，ZEN2由直线被直线所截而成.

（2）图4中，AB为截线，/D是否属于以AB为截线的三线八角图形中的角？

【答案】（1）EF,CD；AB.（2）不是.

【解析】（1）Zl,N2两角共同的边所在的直线为截线，而另一边所在的直线为被截线.

（2）因为/D的两边都不在直线AB上，所以/D不属于以AB为截线的三线八角图形

中的角.

【总结升华】判断“三线八角”的关键是找出哪两条直线是被截线，哪条直线是截线.

类型二、同位角、内错角、同旁内角的辨别

©^2.如图，（DDE为截线，NE与哪个角是同位角？

（2）/B与N4是同旁内角，则截出这两个角的截线与被截线是哪些直线？

（3）ZB和/E是同位角吗?为什么？

【答案与解析】

解：（1）DE为截线，/E与/3是同位角；

（2）截出这两个角的截线是直线BC,被截线是直线BF、DE；

（3）不是，因为NB与NE的两边中任一边没有落在同一直线上,所以NB和/E不是同位角.

【总结升华】确定角的关系的方法：（1）先找出截线，由截线与其它线相交得到的角有哪儿

个；（2）将这几个角抽出来，观察分析它们的位置关系；（3）再取其它的线为截线，再抽取

与该截线相关的角来分析.

举一反三：

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【变式】如图，下列判断错误的是（）.

A./I和/2是同旁内角.B.N3和N4是内错角.

C.N5和/6是同旁内角.D./5和N8是同位角.

【答案】C

▼3.如图，/ABD与NBDC,NADC与/BCE,NABC与/BCD,/ADB与NDBC分别是哪两

条直线被哪一条直线所截而成的？它们分别是什么角？

【答案与解析】

解：/ABD与/BDC是由直线AB,DC被直线BD所截而成的，是内错角，

NADC与NBCE是由直线AD,BC被直线DE所截而成的，是同位角，

NABC与NBCD是由直线AB,DC被直线BC所截而成的，是同旁内角，

NADB与/DBC是由直线AD,BC被直线BD所截而成的，是内错角.

【总结升华】要分析各对角是由哪两条直线被哪一条直线所截的，可以把复杂图形按题目要

求分解成简单的图形后，结论便一目了然.

举一反三：

【变式】如图Nl、N2、N3、N4、N5中，哪些是同位角？哪些是A

内错角？哪些是同旁内角？/高

解：同位角：N5与/I,N4与N3；

内错角：N2与N3,N4与N1：

同旁内角：/4与N2,/5与N3,/5与N4.

（：平行线及其判定403102三线八角练习（2）］

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C^4.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案与解析】

解：同位角：NB与NACD,/B与NECD；

内错角：NA与NACD,/A与NACE；

同旁内角：NB与NACB,ZA与NB,NA与NACB,NB与NBCE.

【总结升华】在复杂图形中，分析同位角、内错角、同旁内角，应把图形分解成几个“两条

直线与同一条直线相交”的图形，并抽取交点处的角来分析.

举一反三：

【变式】请写出图中的同位角、内错角、同旁内角.

【答案】

解：N1与N5,N2与N6,N3与/7,N4与/8是同位角；

N2与N8,N3与N5是内错角；

N2与/5,/3与N8是同旁内角.

类型三、同位角、内错角、同旁内角大小之间的关系

@^5.如图直线DE、BC被直线AB所截，

(1)/1和/2、/I和N3、/I和/4各是什么角？每组中两角的大小关系如何?

(2)如果/1=N4,那么/I和N2相等吗？N1和N3互补吗？为什么？

【答案与解析】

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解：（DN1和/2是内错角；/I和N3是同旁内角；N1和N4是同位角.每组中两角的

大小均不确定.

（2）/I与/2相等，N1和N3互补.理由如下：

①VZ1=Z4（已知）

Z4=Z2（对顶角相等）

，/l=N2.

②VZ4+Z3=180°（邻补角定义）

/1=/4（已知）

.*.Zl+Z3=180°

即N1和/3互补.

综上，如果N1=N4,那么N1与/2相等，/I和/3互补.

【总结升华】在“三线八角”中，如果有一对同位角相等，则其他对同位角也分别相等，并

且所有的内错角相等，所有同旁内角互补.

举一反三：

【变式1】若N1与N2是内错角，则它们之间的关系是（）.

A.Nl=/2B.Z1>Z2C.Z1<Z2D.Nl=/2或Nl>/2或Nl</2

【答案】D

【变式2】下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条

直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互

相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中正确的个数为（）.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C（提示：②④正确）.同位角、内错角、同旁内角巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.如图，直线AD、BC被直线AC所截，则N1和/2是（）.

A.内错角B.同位角C.同旁内角D.对顶角

2.如图，能与Na构成同位角的有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

第3题图

3.如图，下列说法错误的是（）.

①/I和N3是同位角；②N1和/5是同位角;

③N1和N2是同旁内角；④N1和N4是内错角.

A.①@B.②③C.②④D.③④

4.若/I与N2是同位角，则它们之间的关系是（）.

A./1=/2；B.Z1>Z2；

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C.Z1<Z2；D.N1=N2或N1>N2或N1C/2.

5.在下图中，/I和N2不是内错角的是().

在上述四个图中，/I与N2是同位角的有().

A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(3)C.(1)(3)D.(1)

7.如图，下列结论正确的是(

A.N5与N2是对顶角；B.N1与N3是同位角；

C./2与/3是同旁内角；D.N1与N2是同旁内角.

8.在图中，N1与/2不是同旁内角的是().

二、填空题

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9.如图，当直线BC、DC被直线AB所截时:N1的同位角是,同旁内角是；

当直线AB、AC被直线BC所截时，N1的同位角是；当直线AB、BC被直线CD所截

时，/2的内错角是.

10.如图，

(1)Z1和ZABC是直线AB、CE被直线所截得的角；

(2)Z2和/BAC是直线CE、AB被直线所截得的角；

(3)Z3和/ABC是直线、被直线所截得的角；

(4)ZABC和ZACD是直线、被直线所截得的角；

(5)ZABC和ZBCE是直线、被直线所截得的角.

11.如图，若/1=95°,Z2=60°,则N3的同位角等于,Z3的内错角等于

,/3的同旁内角等于.

12.如图，在图中的/I、N2、/3、N4、Z5和/B中，同位角是,内错角是,

同旁内角是.

13.如图，直线a、b、c分别与直线d、e相交，与/I构成同位角的角共有个，

和/I构成内错角的角共有个，与N1构成同旁内角的角共有个.

14.如图，三条直线两两相交，其中同旁内角共有对，同位角共有对，内错角

共有对，

三、解答题

15.如图，N1和哪些角是内错角？N1和哪些角是同旁内角？N2和哪些角是内错角？Z2

和哪些角是同旁内角？它们分别是由哪两条直线被哪一条线截成的？

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16.指出图中的同位角、内错角、同旁内角.

17.在同一个“三线八角”的基本图形中，如果已知一对内错角相等.

(1)图中其余的各对内错角相等吗?为什么？

(2)图中的各对同位角相等吗?为什么？

(3)猜想图中各对同旁内角有怎样的数量关系.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A

【解析】N1与N2是直线AD、BC被直线AC所截而成，且这两角都在被截线AD、BC之

间，在截线AC两侧，所以为内错角.

2.【答案】B

【解析】如图，与Na能构成同位角的有：Zl,N2,Z3.

3.【答案】C

【解析】②错因：/I与/5没有公共边，不是“三线八角”中的角；④错因：N4没在

截线的内侧，所以N1与N4不是内错角.

4.【答案】1)

【解析】由两角是同位角，内错角或同旁内角得不出它们大小之间的关系.

5.【答案】D

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【解析】D中的N1与/2没有公共边，所以不属于“三线八角”中的角.

6.【答案】C

【解析】图（2）或图（4）中的N1与N2没有公共边，不属于“三线八角”中的角.

7.【答案】I）

8.【答案】D

【解析】选项D中/1与22没有公共边，不属于“三线八角”中的角.

二、填空题

9.【答案】Z2,Z5,Z3,Z4

【解析】先看哪两条线被哪一条线所截，再判断它们的关系.

10.【答案】（1）BD（或BC）,同位；（2）AC,内错；（3）AB,AC,BC,同旁内；

（4）AB,AC,BC,同位；（5）AB,CE,BC,同旁内.

【解析】可以从复杂图形中抽出简单图形进行分析.

11.【答案】85°,85°,95°

【解析】23的同位角和内错角均与/I互补，故它们的度数均为：180°—95°=85°,

而N3的同旁内角是N1的对顶角，所以N3的同旁内角的度数等于N1的度数.

12.【答案】/I与/B,N4与/B；N2与/5,N3与N4；/2与/4,/3与N5,Z3

与NB,NB与N5.

13.【答案】3,2,2

【解析】如图，与/I是同位角的是：Z2,Z3,Z4；与N1是内错角的是：Z5,

Z6；与/I是同旁内角的是：Z7,Z8.

14.【答案】6,12,6

【解析】每个“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角，而两两相

交，且不交于同一点的三条直线共有三个“三线八角”，所以同旁内角共有：3x2=6

（对），同位角共有：3x4=12（对），同旁内角共有：3x2=6（对）.

三、解答题

15.【解析】

解：/I和NDAB是内错角，由直线DE和BC被直线AB所截而成；

Z1和NBAC是同旁内角，由直线BC和AC被直线AB所截而成；

/I和N2也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成；

Z1和NBAE也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AB所截而成；

Z2和NEAC是内错角，是直线DE和BC被直线AC所截而成；

Z2和NBAC是同旁内角，是直线AB和BC被直线AC所截而成；

/2和N1也是同旁内角，是直线AB和AC被直线BC所截而成；

Z2和ZDAC也是同旁内角，是直线DE和BC被直线AC所截而成.

16.【解析】

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解：如图，可分解成三个基本图形，由图（1）得内错角：/BAD和/B；

由图⑵得同位角：/DAE和/C,同旁内角：/CAD和NC；

由图⑶得同位角:NBAE和NC,内错角：NB和NBAE,同旁内角：NB和NC,NB和NBAC,

ZC和NBAC.

即原图形中共有两组同位角，两组内错角，四组同旁内角.

17.【解析】

解：（1）相等；（2）相等；（3）互补.理由如下:

如图，

（1）由/1=N2,又N3=/4（等角的补角相等）；

（2）由/1=N2,又Nl=/5（对顶角相等），所以N2=N5,

同理可得：其他对同位角也相等；

（3）由N1=N2,又/1+/3=180°,所以N2+N3=180°（等量代换）,

同理：Zl+Z4=180°.

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平行线及其判定(基础)知识讲解

【学习目标】

L熟练掌握平行线定义及画法；

2.掌握平行公理及其推论；

3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.

【要点梳理】

要点一、平行线及平行公理

1.平行线的定义

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“〃”表示.如下

图，两条直线互相平行，记作AB〃CD或a〃b.

(1)同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.

(2)互相重合的直线通常看作一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行.

用直尺和三角板作平行线的步骤：

①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.

②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.

③推：沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点.

④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.

3.平行公理及推论

平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一.

(3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

4.两条平行线间的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

间的距离.

要点诠释：

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（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段

的长度就是两条平行线的距离.

（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，

即两条平行线之间的距离处处相等.

要点二、平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

,/Z3=Z2

...AB〃CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

/1=/2

...AB〃CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

Z4+Z2=180°

...AB〃CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：

（1）平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

（2）今后我们有符号表示“因为"，用表示“所以”.

【典型例题】

类型一、平行线及平行公理

1.下列说法中正确的有（）.

①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a〃b,

c〃d,所以a〃d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

A.1个B2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确,

所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，

故选A.

【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字

词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解.

举一反三：

【变式】如图，在正方体中：

（1）与线段A6平行的线段；

（2）与线段AB相交的线段；

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(3)与线段AB既不平行也不相交的线段一

【答案】

(1)CD、A1B1、C1D1；

(2)BC、BB1、A1A、AD；

(2)A〔Di、DiD、B1C1、CC1.

C2.如图所示，直线h〃12，点A、B在直线12上，点c、D在直线11上，若aABC的

面积为S”AABD的面积为S2，则().

A.S|>S2B.S,=S2C.St<S2D.不确定

【答案】B

【解析】因为h〃12，所以C、D两点到b的距离相等.同时aABC和4ABD有共同的底

AB,所以它们的面积相等.

【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合.

举一反三：

【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，

阴影部分的面积为平方厘米.

【答’案】5提小：连接BF,则得AC〃BF,进而有S阴影=SziABc.

类型二、平行线的判定

C3.(江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:

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67

①N1=N5；②N1=N7；③N2+/3=180°；④N4=N7,其中能判断a〃b的

条件的序号是（）.

A.CD©B.®@C.D.®®

【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断.

【答案】A

【解析】①由/1=N5可推出a〃b,理由是同位角相等，两直线平行.

②；Z1=Z7,又N7=N5,

/1=N5,可推出a〃b.

③N2+N3=180°不能推出2〃人

④N4=N7不能推出a〃b.

【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看

这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止.

举一反三：

【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线的是（）.

A./1=/3B./2=/3C./4=N5D.Z2+Z4=180°

4■/3

【答案】B

【：平行线及判定例1】

【变式2】已知，如图，BE平分NABC,CF平分NBCD,Z1=Z2,求证：AB//CD.

【答案】

证明：；Z1=Z2

2/1=2/2,即/ABC=NBCD

/.AB//CD（内错角相等，两直线平行）

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C^4.如图所示，由（1）/1=/3,（2）NBAD=/DCB,可以判定哪两条直线平行.

【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”.

【答案与解析】

解：（1）由/1=/3,

可判定AD〃BC（内错角相等，两直线平行）；

（2）由/BAD=ZDCB,Nl=/3得：

Z2=ZBAD-Z1=ZDCB-Z3=Z4（等式性质），即N2=N4

可以判定AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.

①②

综上，由（1）（2）可判定：AD〃BC,AB〃CD.

【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法.即在条件下探索由这些条件

可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果.

©^5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什

么？

【答案与解析】

bc

解：这两条直线平行.理由如下：

如图：]

*/b±a,c±a11

/.Nl=/2=90°

b//c（同位角相等，两直线平行）.

【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.

举一反三：

【变式】已知，如图，EF1EG,GM1EG,N1=N2,AB与CD平行吗？请说明理由.

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【答案】

EF1EG,GM1EG（已知），

...ZFEQ=ZMGE=90°（垂直的定义）.

又•:Nl=/2（已知），

，NFEQ-N1=NMGE-N2（等式性质）,

即/3=N4.

AB〃CD（同位角相等，两直线平行）.

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平行线及其判定（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列关于作图的语句正确的是（）.

A.画直线AB=10厘米

B.画射线0B=10厘米

C.已知A,B,C三点，过这三点画一条直线

D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行

2.下列判断正确的个数是（）.

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②两条不相交的直线叫做平行线；③在同

一平面内不相交的两条射线是平行线.

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.若直线a〃b,b//c,则a〃c的依据是（）.

A.平行的性质

B.等量代换

C.平行于同一直线的两条直线平行

D.以上都不对

4.下列说法中不正确的是（）.

A.同位角相等，两直线平行

B.内错角相等，两直线平行

C.同旁内角相等，两直线平行

D.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行

5.如图所示，给出了过直线/外一点P作已知直线1的平行线的方法，其依据是（）.

A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行

C.同旁内角互补，两直线平行D.以上都不对

6.如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①N1=N5；②N1=N7；

③/2+/1=180°；④/1=/3.其中能判定a〃b的序号是（）.

二、填空题

7.两条射线或线段平行，是指

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8.如图所示，直线a,b被c所截，Zl=30°,Z2;Z3=l:5,则直线a与b的位置关系

是.

9.如图，直线a和b被直线c所截，=,当/2=时，有直线a〃b成立.

10.如图，已知若N1+已2=180°,则N3+N4=,ABCD.

11.小军在一张纸上画一条直线，再画这条直线的平行线，然后依次画前一条直线的平行线，

当他画到第十条直线时，第十条直线与第一条直线的位置关系是.

12.已知直线a、b都过点M,且直线@〃1,1?〃1,那么直线2、1»是同一条直线,根据是.

三、解答题

13.读下列语句，用直尺和三角尺画出图形.

（1）点P是直线AB外的一点，直线CD经过点P,且CD与AB平行；

（2）直线AB与CD相交于点O,点P是AB、CD外的一点，直线EF经过点P,且EF

〃AB,与直线CD相交于点E.

14.（黄石）已知如图，/ABC=/ADC,BF、DE分别是NABC、/ADC的角平分线，Z1

=/2,那么CD与AB平行吗?写出推理过程.

15.如图所示，Zl=60°,Z2=60°,Z3=100°,要使AB〃EF,N4应为多少度，说

明理由.

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【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D；

2.【答案】A；

【解析】①该点若在已知直线上，画不出与已知直线平行的直线；②平行线的定义必须强

调在同一平面内，如图①中的AB与CC'不相交，但也不平行.③如图②中，射线AB与

射线CD既不相交，也不平行.

①②

3.【答案】C；

【解析】这是平行线的传递性，其实质是平行公理的推论.

4.【答案】C；

【解析】同旁内角互补，两直线平行.

5.【答案】A；

【解析】这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行.

6.【答案】A；

【解析】N2和/3,N1和N3不是由“三线”产生的角.

二、填空题

7.【答案】射线或线段所在的直线平行；

8.【答案】平行；

【解析】由已知可得：Z2=30°,所以N1=N2,可得：a〃b.

9.【答案】70°；

10.【答案】180°,//；

【解析】Nl=/3,/2=4,可得：/3+/4=/1+/2=180".

11.【答案】平行；

【解析】平行公理的推论

12.【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

【解析】这是平行公理的具体内容.

三、解答题

13.【解析】

解：

14.【解析】

解：CD〃AB.理由如下：

BF、DE分别是/ABC、/ADC的角平分线,

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Z3=-ZADC,Z2=-ZABC.

22

NABC=NADC,

二/3=N2.

又•:Z1=Z2,

Z.Z3=Z1.

/.CD〃AB（内错角相等，两直线平行）.

15.【解析】

解：Z4=100°.理由如下：

Nl=60°,Z2=60°,

,Z1=Z2.

・・・AB〃CD.

又：Z3=Z4=100°,

JCD〃EF.

AB〃EF.

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平行线的性质及平移（基础）知识讲解

【学习目标】

1.掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；

2.了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；

3.了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系

和区别，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.

【要点梳理】

要点一、平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：

（1）“同位角相等、内错角相等“、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不

可忽视前提“两直线平行”.

（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平

行线的性质.

要点二、两条平行线间的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

间的距离.

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段

的长度就是两条平行线间的距离.

（2）两条平行线间的距离处处相等.

要点三、图形的平移

1.定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向

移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.

要点诠释：图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离.

2.性质：

（1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行（或在同一条

直线上）且相等.

要点诠释：

（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离.

（2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的

对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.

3.作图：

平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”一一定、找、

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移、连.

（1）定：确定平移的方向和距离；

（2）找：找出表示图形的关键点；

（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；

（4）连：按原图形顺次连接对应点.

【典型例题】

类型一、平行线的性质

1.如图所示，如果AB〃DF,DE〃BC,且Nl=65°.那么你能说出/2、N3、Z4

的度数吗?为什么.

【思路点拨】本题已知条件中，包含了两个层次：第一层次是由DE〃BC,可得/1=/4,

/1+/2=180°；第二层次是由DF〃AB,可得/3=/2或N3+/4=180°,从而解出N2、

/3、/4的度数.

【答案与解析】

解：DE〃BC,

N4=N1=65°（两直线平行，内错角相等）.

Z2+Z1=1800（两直线平行，同旁内角互补）.

，Z2=180°-Zl=180°-65°=115°.

又：DF〃AB（已知），

.../3=N2（两直线平行，同位角相等）.

/./3=115°（等量代换）.

【总结升华】平行线的性质：由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系.

举一反三：

【变式】如图，已知/J//2,/3///4，且Nl=48°,则N2=,Z3=,Z4=.

【答案】48°,132°,48°

类型二、两平行线间的距离

@^2.如图所示，直线li〃b，点A、B在直线L上，点C、D在直线h上，若aABC的

面积为S”AABD的面积为S2，则（）.

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A.S|>S2B.S|=S2C.St<S2D.不确定

【答案】B

【解析】因为h〃b，所以C、D两点到12的距离相等.同时AABC和4ABD有共同的底

AB,所以它们的面积相等.

【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合.

类型三、图形的平移

C%.如图所示，平移△ABC,使点A移动到点A',画出平移后的4A'B'C'.

A'

■

【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA'后这个问题便获

得解决.根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在一条直线上）且相等，容易画

出所求的线段.

【答案与解析】

解：如图所示，

（1）连接AA',过点B作AA'的平行线/,在/上截取BB'=AA',则点B'就是点

B的对应点.

（2）用同样的方法做出点C的对应点C',连接A'B'、B'C'、C'A',

就得到平移后的三角形A'B'C'.

【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离.连接AA',这个问题就解

决了，然后分别把B、C按AA'的方向平移AA'的长度，便可得到其对应点B'、C',

这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A'B',B'C',C'A'便得到平移后的

三角形A'B'C.

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©^4.（湖南益阳）如图所示，将AABC沿直线AB向右平移后到达4BDE的位置，若

ZCAB=50°,ZABC=100°,则NCBE的度数为.

【答案】300

【解析】根据平移的特征可知：NEBD=/CAB=50°而/ABC=100°

所以NCBE=180°-ZEBD-ZABC=180°-50°-100°=30°

【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形

状和大小不变.本例中由AABC经过平移得到aBED.则有AC=BE,AB=BD,BC=DE,

/A=NEBD,/C=NE,/ABC=NBDE.

举一反三：

【变式】（上海静安区一模）如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形

ABC（）.

A.沿EC的方向移动DB长

B.沿BD的方向移动BD长

C.沿EC的方向移动CD长

D.沿BD的方向移动DC长

【答案】A

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平行线的性质及平移（基础）巩固练习

【巩固练习】

一、选择题

1.下列说法：①两直线平行，同旁内角互补；②内错角相等，两直线平行：③同位角相等,

两直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行，其中是平行线的性质的是（）.

A.①B.②和③C.④D.①和④

2.如图所示，AB〃CD,若N2是N1的2倍，则N2等于（）.

N2的是（

B

2

D

4.如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，旦NB=70°,ZADE=70°,

ZDEC=100°，则/（2是（）.

5.（南通）如图所示，已知AD与BC相交于点O,CD〃0E〃AB.如果NB=40°,ZD

D.120°

6.（山东德州）如图所示,直线h〃12,Zl=40°,42=75°,则N3等于（).

D.70°

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7.如图所示的图形中的小三角形可以由aABC平移得到的有

A.3个B.4个C.5个D.6个

二、填空题

8.如图，AB〃CD,BC〃AD.AC_LBC于点C,CEJ_AB于点E,那么AB、CD间的距离

是的长，BC、AD间的距离是的长.

9.如图所示，AABC经过平移得到aA'B'C',图中△_______与4________大小形

状不变，线段AB与A'B'的位置关系是,线段CC'与BB'的位置关系是

10.（浙江湖州）如图所示，已知CD平分NACB,DE〃AC,Zl=30°,则N2=度.

11.如图，在四边形ABCD中，若NA+NB=180°,则/C+ND=

12.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸

片的一条边上，则/1+/2=_______.

13.如图所示，AB〃CD,且/BAP=60°-a,ZAPC=45°+a,NPCD=30°-a,贝Ua=

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三.解答题

14.如图，已知AB〃CD,MG、NH分别平分/BMN与/CNM,试说明NH〃MG?

15.如图，a〃b〃c,/1=60°，/2=36°,AP平分/BAC,求/PAQ的度数.

16.如图，将四边形ABCD平移到四边形EFGH的位置，根据平移后对应点所连的线段平

行且相等，写出图中平行的线段和相等的线段.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】A；

【解析】两直线平行角的关系.

,判定

2.【答案】C；

【解析】Z2+Zl=180°,又N2=2/l,所以N2=120°.

3.【答案】B；

【解析】N2与N1的对顶角是同位角的关系.

4.【答案】B；

【解析】因为NB=NADE=70°所以DE〃BC,所以NDEC+NC=180°,所以/C=

80°.

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5.【答案】B

【解析】注意到CD〃OE〃AB,由“两直线平行，同位角相等"可知/AOE=ND=

30°,ZEOC=ZB=40°.故NAOC=NEOC+NAOE=40°+30°=70°.

6.【答案】C；

【解析】Z3=180°-40°-75°=65°.

7.【答案】C；

【解析】图中小三角形ABDE,ACEF,ADGH,AEHI,△FIJ都可以由AABC平移得

至1I.

二、填空题

8.【答案】线段CE,线段AC；

9.【答案】ABC,A'B'C,平行，平行；

【解析】平移的性质.

10.【答案】60；

【解析】由已知得：N