2025版高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值精练文

PAGEPAGE1其次节函数的单调性与最值A组基础题组1.函数f(x)中,满意“对随意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)=1x B.f(x)=(x-1)C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1)答案A由题意知f(x)在(0,+∞)上是减函数.A中,f(x)=1x满意要求;B中,f(x)=(x-1)2在[0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C中,f(x)=ex2.函数f(x)=x+1A.减函数 B.增函数C.先减后增 D.无单调性答案B函数f(x)的图象如图所示,由图结合单调性的定义可知,此函数在R上是增函数.3.已知函数f(x)=x3,x≤0A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-1,2) D.(-2,1)答案D因为当x=0时,两个表达式对应的函数值都为0,所以函数的图象是一条连续的曲线.因为当x≤0时,f(x)=x3为增函数,当x>0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数,所以函数f(x)是定义在R上的增函数.因此,不等式f(2-x2)>f(x)等价于2-x2>x,即x2+x-2<0,解得-2<x<1.4.若函数f(x)=x2+a|x|+2,x∈R在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是()A.-11C.[-3,-22] D.[-4,-3]答案B由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f(x)在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-a25.定义在[-2,2]上的函数f(x)满意(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,若f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为()A.[-1,2) B.[0,2) C.[0,1) D.[-1,1)答案C由题意知函数在[-2,2]上单调递增,∴-∴-∴0≤a<1,故选C.6.设函数f(x)=1,x>0,答案[0,1)解析易知g(x)=x27.已知函数f(x)=x2,x≤1答案26-6解析因为y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时,f(x)min=f(0)=0.当x>1时,y=x+6x≥26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f(x)min=26又26-6<0,所以f(x)min=26-6.8.f(x)=(3a-答案1解析由题意知,3a-所以a∈189.已知f(x)=xx(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.解析(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-易知(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-a因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.综上所述,0<a≤1.10.已知函数f(x)=lgx+(1)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;(2)若对随意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.解析(1)设g(x)=x+ax-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,则g'(x)=1-ax2因此g(x)在[2,+∞)上是增函数,所以f(x)在[2,+∞)上是增函数,则f(x)min=f(2)=lna2(2)对随意x∈[2,+∞),恒有f(x)>0,即x+ax所以a>3x-x2.令h(x)=3x-x2,x∈[2,+∞).由于h(x)=-x-32所以h(x)max=h(2)=2.故a>2时,恒有f(x)>0.因此实数a的取值范围为(2,+∞).B组提升题组1.假如函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=f(x)x在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=12A.[1,+∞) B.[0,3]C.[0,1] D.[1,3]答案D因为函数f(x)=12x2-x+32的图象的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,又当x≥1时,f(x)x=12x-1+32x,令g(x)=12x-1+32x(x≥1),则g'(x)=12-32x2.设f(x)=(xA.[-1,2] B.[-1,0]C.[1,2] D.[0,2]答案D∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0.当x>0时,f(x)=x+1x+a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满意f(0)是f(x)的最小值,只需2+a≥f(0)=a2,即a2∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D.3.设函数f(x)=-xA.(-∞,1] B.[1,4]C.[4,+∞) D.(-∞,1]∪[4,+∞)答案D作出函数y=f(x)的图象,如图所示,由图象可知f(x)的单调递增区间为(-∞,2],(4,+∞),所以要使f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满意a+1≤2或a≥4,即a≤1或a≥4,故选D.4.已知定义在R上的函数f(x)满意:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.解析(1)令x=y=0,得f(0)=-1,在R上任取x1,x2,且令x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1.又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以函数