2024-2025学年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2圆的一般方程练习含解析新人教B版必修2

PAGE1-2．3．2圆的一般方程对应学生用书P67学问点一圆的一般方程1．若圆的方程是x2＋y2－2x＋10y＋23＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别是()A．(－1，5)，eq\r(3)B．(1，－5)，eq\r(3)C．(－1，5)，3D．(1，－5)，3答案B解析解法一(化为标准方程)：(x－1)2＋(y＋5)2＝3；解法二(利用一般方程)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，半径r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)，－eq\f(D,2)＝1，－eq\f(E,2)＝－5，r＝eq\r(3)．2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋eq\f(5,4)a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a<1B．a>1C．－2<a<eq\f(2,3)D．－2<a<0答案A解析当a2＋4a2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)a2＋a－1))>0时表示圆的方程，故－a＋1>0，解得a<1．学问点二求圆的一般方程3．过A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点的圆的一般方程是()A．x2＋y2＋8x＋6y＝0B．x2＋y2－8x－6y＝0C．x2＋y2＋8x－6y＝0D．x2＋y2－8x＋6y＝0答案D解析设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)三点在圆上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＋E＋F＋2＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))于是所求圆的一般方程是x2＋y2－8x＋6y＝0．4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0答案D解析设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq\f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq\f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为：(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，所以D正确．学问点三轨迹问题5．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，假如动点P满意|PA|＝2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π答案B解析设点P的坐标为(x，y)，则(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，故面积为π×22＝4π．6．已知等腰三角形ABC的顶点为A(3，20)，一底角顶点为B(3，5)，求另一底角顶点C的轨迹方程．解设另一底角顶点为C(x，y)，则由等腰三角形的性质可知|AC|＝|AB|，即eq\r(x－32＋y－202)＝eq\r(3－32＋5－202)，整理得(x－3)2＋(y－20)2＝225．当x＝3时，A，B，C三点共线，不符合题意，故舍去．综上可知，另一底角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．对应学生用书P67一、选择题1．方程x2＋y2－2x＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A．m＜1B．m＜2C．m≤eq\f(1,2)D．m≤1答案A解析由圆的一般式方程可知(－2)2－4m＞0，∴m＜1．2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，则a的值为()A．－2或2B．eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0D．－2或0答案C解析将圆的一般方程化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心(1，2)到直线的距离d＝eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝0或a＝2．3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案A解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ中点为M(x，y)，依据中点坐标公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因为Q(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A．4．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程是()A．(x＋3)2＋(y－2)2＝eq\f(1,2)B．(x－3)2＋(y＋2)2＝eq\f(1,2)C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2答案C解析已知圆的圆心为(1，0)，半径等于eq\r(2)，圆心关于直线2x－y＋3＝0对称的点为(－3，2)，此点即为对称圆的圆心，两圆的半径相等，故选C．5．与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同心，且过点(1，－1)的圆的方程是()A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0答案B解析设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝8，所以所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0．二、填空题6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋2eq\r(3)y－5＝0，则圆心坐标为________；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．答案(－1，－eq\r(3))x＋eq\r(3)y＝0解析将圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋eq\r(3))2＝9，故圆心为C(－1，－eq\r(3))．因为kCO＝eq\r(3)，所以所求直线的斜率为k＝－eq\f(\r(3),3)，直线的方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x，即x＋eq\r(3)y＝0．7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上随意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________．答案－10解析由题意知圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(a,2)))应在直线2x＋y－1＝0上，代入解得a＝－10，符合D2＋E2－4F>0的条件．8．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于________．答案－3解析设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4m>0，,y1＋y2＝－2，,y1·y2＝m，))而∠ACB＝90°，知C(2，－1)，AC⊥BC，即得kAC·kBC＝－1，即eq\f(y1＋1,－2)·eq\f(y2＋1,－2)＝－1，即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4代入上面的结果得m－2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m<1的条件．三、解答题9．试推断A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)四点是否在同一个圆上．解解法一：线段AB，BC的斜率分别是kAB＝1，kBC＝－1，得kAB≠kBC，则A，B，C三点不共线，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．因为A，B，C三点在圆上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋2E＋F＋5＝0，,E＋F＋1＝0，,7D－6E＋F＋85＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝4，,F＝－5，))所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－8x＋4y－5＝0，将点D的坐标(4，3)代入方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D在圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上．解法二：因为kAB·kBC＝eq\f(2－1,1－0)×eq\f(1＋6,0－7)＝－1，所以AB⊥BC，所以AC是过A，B，C三点的圆的直径，|AC|＝eq\r(1－72＋2＋62)＝10，线段AC的中点M即为圆心M(4，－2)．因为|DM|＝eq\r(4－42＋3＋22)＝5＝eq\f(1,2)|AC|，所以点D在圆M上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．10．已知圆x2＋y2＝4上肯定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标(2