思想方法　第3讲　分类讨论思想

分类讨论思想思想方法第3讲汇报人：20XX分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.思想概述内容索引01方法一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论02方法二由图形位置或形状引起的分类讨论03方法三由参数变化引起的分类讨论由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论方法一概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.

例1√思路分析设直线方程→斜率不存在，l：x=0→k存在，l：y=kx+3→由圆心到直线l的距离d=1求解.

√思路分析

an+2-2an=1-(-1)n→n为奇，{a2n-1}为等比数列；n为偶，{a2n}为等比数列.

规律方法解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(-1)n需分奇、偶两种情况，要注意分类讨论，要有理有据、不重不漏.引起的分类讨论由图形位置或形状01图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究.

(多选)已知P是圆O：x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是A.圆

B.椭圆C.双曲线

D.抛物线√例2√√思路分析分类讨论点A的位置(圆内、圆上、圆外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圆锥曲线定义判断形状.当点A在圆外时，如图(1)，(2)所示，设AP的中点为B，过B作AP的垂线交直线OP于Q，连接AQ，则|QP|=|QA|，则||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线；当点A在圆内(非原点)时，如图(3)所示，此时|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=2，又|AO|<2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的椭圆；当A在坐标原点时，如图(4)所示，此时B，Q重合，|QO|=1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的圆；

当点A在圆上时，如图(5)所示，由垂径定理，可知Q与O重合，此时Q的轨迹为点O.批注点A在x轴上，但没明确是在圆内、圆外，还是圆上，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键.圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.规律方法由参数变化引起的分类讨论单击此处添加章节页副标题02某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.

例3思路分析

求f'(x)→分a≤1，1<a<e，a≥e讨论求最小值→a的值；

(2)讨论f(x)在[1，e]上的最大值.思路分析

讨论f(x)在[1，e]上的单调性→由单调性求f(x)的最大值.

若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循