《双曲线及其标准方程》名师课件

名师课件双曲线及其标准方程名师：杨军君知识回顾问题探究课堂小结随堂检测检测下预习效果：点击“随堂训练”选择“《双曲线及其标准方程》预习自测”知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究一：结合实例，认识双曲线●活动①回顾旧知，实验探索椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆．若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”．即平面内与两个定点的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?通过画图来探究，借助于拉链来说明作图方法．取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F1，F2处，取拉头处为M点，由于拉链两段是等长的，则

，把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢，M点到F1，F2的距离的差为常数．这样的动点M的轨迹是什么呢？知识回顾问题探究课堂小结随堂检测画出一条曲线（如图1），这条曲线就是满足下面条件的点的集合：如果使点M到F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）．这条曲线是满足下面条件的点的集合：

图1图2平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动②

抽象概括，归纳定义类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为．我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：当a=0时，点的轨迹为的垂直平分线；当a<c时，点的轨迹是以为焦点的双曲线；当a=c时，点的轨迹为线段的延长线或反向延长线；当a>c时，点的轨迹不存在．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测探究二：探究双曲线的方程●活动①类比椭圆，建立方程类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？（1）建系设点：取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么的坐标分别是．又设点M与的距离的差的绝对值为2a．（2）写动点满足的集合:由定义可知，点M满足集合：知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（3）列方程（用坐标表示条件）：（4）化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：

类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观，即.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测设，代入上式，将式子进一步简化，使其简洁、对称，得到方程：．类比椭圆，只要交换方程中的x和y即可，这样就得到了焦点在y轴上的双曲线的标准方程，即为.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动②归纳梳理，强化概念得到了双曲线的定义和方程．借助于表格进行双曲线再认识．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动③巩固基础，检查反馈例1：求满足条件的双曲线方程：，经过点A(2,-5)．【解题过程】若焦点在x轴上，设其方程为，将A(2,-5)代入得，无解；若焦点在y轴上，设其方程为，将A(2,-5)代入得，，综上，所求双曲线的方程为．【思路点拨】求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a、b的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测例2．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹【解题过程】以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xoy坐标系，这时，由得,即所以，点A的轨迹是以为焦点，（为了与前面的a进行区分）的双曲线的左支其方程为：.

【思路点拨】解决轨迹方程问题，需要突出数形结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测●活动④

强化提升，灵活应用例3．已知双曲线的两个焦点为M、N，M(-2,-12)且点S(-7,0)、T(7,0)在双曲线上，利用双曲线的定义求点N的轨迹方程．【解题过程】设点N的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2,-12)，由双曲线的定义知:.①当时，有，∴点N的轨迹是中心在ST中点(0,0)，焦点为S、T的双曲线的左支，除去点M(-2,-12)和点D(-2,12)．∴点N的轨迹方程是知识回顾问题探究课堂小结随堂检测②当时，有，∴点N的轨迹是中心在ST中点(0,0)，焦点为S、T的椭圆，除去点M(-2,-12)和点D(-2,12)．∴点N的轨迹方程是:综上，N的轨迹方程是:和.【思路点拨】解本题的关键就是抓住双曲线定义中动点到两定点的距离之差的绝对值为定值这一特征，找出N满足的几何条件，判断出曲线类型，要注意，依定义解题是圆锥曲线中的重要方法．知识梳理知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）双曲线定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．（2）双曲线标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：.

重难点突破知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）定义中的距离之差的“绝对值”不可缺少，若点P满足：

时，则点P的轨迹为双曲线右支；若点P满足时，则点P的轨迹为双曲线左支；（2）求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量