《曲线与方程》基础训练

高中数学精选资源PAGE1-/NUMPAGES5《曲线与方程》基础训练一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各组方程表示相同曲线的是()A．y＝x与y＝eq\r(x2)B．y＝x2与y＝|x|C．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0D．y＝eq\r(x2)与y＝|x|解析：A中y＝x表示直线，y＝eq\r(x2)＝|x|表示两条射线；B中y＝x2表示抛物线，y＝|x|表示两条射线；C中前者表示圆，后者表示两条直线x＝1和y＝－2，故选D.答案：D2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．答案：C3．下列选项中方程与曲线能够对应的是()解析：A中方程表示圆，B中方程表示两条直线y＝x和y＝－x；D中方程可化为y＝eq\f(1,x)(x>0)，只能取第一象限的图象．答案：C4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|eq\o(MN,\s\up13(→))|·|eq\o(MP,\s\up13(→))|＋eq\o(MN,\s\up13(→))·eq\o(NP,\s\up13(→))＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：设点P的坐标为(x，y)，则eq\o(MN,\s\up13(→))＝(4,0)，eq\o(MP,\s\up13(→))＝(x＋2，y)，eq\o(NP,\s\up13(→))＝(x－2，y)，∴|eq\o(MN,\s\up13(→))|＝4，|eq\o(MP,\s\up13(→))|＝eq\r(x＋22＋y2)，eq\o(MN,\s\up13(→))·eq\o(NP,\s\up13(→))＝4(x－2)．根据已知条件得4eq\r(x＋22＋y2)＝4(2－x)．整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.答案：B5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：由两点式，得直线AB的方程是eq\f(y－0,4－0)＝eq\f(x＋1,2＋1)，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝eq\r(2＋12＋42)＝5.设C的坐标为(x，y)，则eq\f(1,2)×5×eq\f(|4x－3y＋4|,5)＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.解析：把A代入曲线得a＝5.答案：57．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若eq\o(RA,\s\up13(→))＝eq\o(AP,\s\up13(→))，则点P的轨迹方程为________．解析：设点P(x，y)，R(x0，y0)，因为A(1,0)，所以eq\o(RA,\s\up13(→))＝(1－x0，－y0)，eq\o(AP,\s\up13(→))＝(x－1，y)，因为eq\o(RA,\s\up13(→))＝eq\o(AP,\s\up13(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x0＝x－1，,－y0＝y，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2－x，,y0＝－y，))代入直线y＝2x－4可得y＝2x.答案：y＝2x8．已知直角三角形ABC中，A(2,0)，B(－1,2)，则直角顶点C的轨迹方程为________．解析：设C的坐标为(x，y)，因为AC⊥BC，所以eq\f(y,x－2)·eq\f(y－2,x＋1)＝－1(x≠－1且x≠2)，化简得x2＋y2－x－2y－2＝0(x≠－1且x≠2)．答案：x2＋y2－x－2y－2＝0(x≠－1且x≠2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．讨论曲线C：|x|＋|y|＝1的性质，并画出其图象．解析：由|x|＋|y|＝1及|x|≥0，|y|≥0，知|x|≤1，|y|≤1，所以曲线C在直线x＝1，x＝－1，y＝1，y＝－1围成的正方形内(包括边界)．将x(或y)换为－x(或－y)，方程不变，则曲线C关于y轴(或x轴)对称，因此曲线C也关于原点对称．当x≥0，y≥0时，曲线C即x＋y＝1(0≤x≤1)，表示以(1,0)与(0,1)为端点的线段，由对称性知曲线C的图象如图所示．10．动点P(x，y)到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即eq\f(|PA|,|PB|)＝2)，求动点P的轨迹方程．解析：∵|PA|＝eq\r(x＋32＋y2)，|PB|＝eq\r(x－32＋y2)，