典型例题：常用逻辑用语主要题型及解题指导

1/4《常用逻辑用语》主要题型及解题指导常用逻辑用语在各级考试中主要以考查基本概念、基本关系与其它知识相结合为主的客观题形式出现，难度低，重基础.学习中只要夯实基础，把握逻辑联结词的含义、全称量词与特称量词的关系、充要条件的意义、四种命题及相互关系，针对不同试题，应用不同的求解策略，解题时才会得心应手.1、命题的真假判断此类问题包括四种类型：(1)一般命题的真假判断，可根据定义直接判断；(2)四种命题的真假判断，可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解；(3)命题p∨q”﹑“p∧q”﹑“p”的真假判断：首先要确定命题的构成形式，然后指出其中子命题p与q的真假，最后利用真值表获得命题的真假性；(4)含有量词的命题的真假判断，注意反例的应用.例1命题p：若a、b、c∈R，则“y＝ax2＋bx＋c为二次函数”是“y＝ax＋b为一次函数”充要条件．命题q：函数y＝eq\r(|x－1|－2)的定义域是(－∞，－1∪3，＋∞)则()A．“p或q”为假 B．“p且q”为真 C．p真q假 D．p假q真分析：根据一次函数与二次函数的解析式的结构特点就可判断命题p的真假，根据根式满足的条件，通过解绝对值不等式可确定命题q的真假．解：当y＝ax2＋bx＋c为二次函数时，a≠0，则y＝ax＋b为一次函数.反过来，当y＝ax＋b为一次函数时，a≠0，则y＝ax2＋bx＋c为二次函数，故命题p真.由|x－1|－2≥0可得x≤－1或x≥3，即q为真命题，∴“p且q”为真，故选A．点评：本题解答关键是要对一次函数与二次函数的定义理解透彻及掌握函数定义域的求法，同时把握住复合命题真假的判断规律．2、命题的合成与分解主要有两种题型：一是利用基本简易逻辑词将子命题合成为p∧q﹑p∨q﹑p的命题形式；二是将具有p∧q﹑p∨q﹑p形式的命题分解为子命题p与q，此类题型要注意有些命题中没有明显的逻辑联结词，解答时要首先对命题进行适当的改写.例2命题p：直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线(a＋2)x＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝eq\r(2)；命题q：直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线(a＋2)x＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－eq\r(2)，则命题p∨q为_______________.分析：根据p∨q定义复合原则直接合成即可.解：命题p∨q：直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线(a＋2)x＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝eq\r(2)或命题q：直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线(a＋2)x＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝－eq\r(2).点评：本题易错写为直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线(a＋2)x＋ay－1＝0垂直的充要条件是a＝eq\r(2)或－eq\r(2)，此时命题为真.因为由两条直线方程易求得垂直的充要条件是a＝eq\r(2)或－eq\r(2)，因此命题p与命题q都是假命题，于是p∨q假，也就是说解答此类试题，可以利用复合命题的真值表进行验证.3、对全称命题和存在性命题的否定一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称命题与存在性命题互为否定，肯定与否定互为否定．而对一个命题的否定时，注意区分命题的“否定”与“否命题”，命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题的否定形式是只对命题的结论否定，而不否定条件，否命题则是既要否定结论，又要否定条件.例2命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是()A.奇函数的图象不关于原点对称 B.任意奇函数的图象关于原点对称C.存在一个奇函数图象不关于原点对称 D.存在奇函数的图象关于原点对称分析：此题实际上也是一道对全称命题的否定，因为原命题省略了全称量词“所有的”，同时命题中省略了判断词“是”，因此命题可改写“所有的奇函数的图象是关于原点对称”后再否定.解：命题可改写“所有的奇函数的图象是关于原点对称”，由此对全称量词“所有的”与判断词“是”进行否定即可得到原命题的否定：存在一个奇函数的图象不关于直线y＝x对称，故选C.点拨：解答本题的关键就是要找出命题中省略了的全称量词“所有的”与判断“是”.4、充要条件主要有三类题型一是判断指定的条件与结论之间的条件关系，主要分为四种关系，即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件；二是根据探求某结论成立时的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；三是根据某条件成立时，求解参数问题.而充要条件判断主要有定义法、集合法、命题法三种方法，同时判断时要做到：①确定命题的条件和结论；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件.例4已知条件p：|x＋1|＞2，条件q：x＞a，且p是q的充分不必要条件，则的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥－1 D．a≤－1分析：首先通过解不等式确定p，进而确定p，然后结合条件要求，利用集合关系，结合数轴可得a的取值范围.解析：解不等式|x＋1|＞2，得条件p：x＜－3或x＞1，则p：－3≤x≤1，又q：x≤a，则.要使p是q的充分不必要条件必有a≥1，故选A.点评：与不等式相关的充要条件问题，一般可将不等式的解看成一个集合，根据集合与充要条件之间的关系来求解.一般地，若集合A、B满足：Aeq\o(,≠)B，则A是B的充分不必要条件，B是A的必要不充分条件.5、四种命题的关系改写注意三点，一是如果命题中无明显的“若p，则q”形式，可以先对命题形式进行改写，再进行四种命题之间的转换；二是注意区分命题的否定形式与否命题；三是四种形式的命题中，逆命题、否命题、逆否命题都是针对原命题而言的，所涉及的四种命题，谁是原命题是相对的.例5命题“若2eq\s(x2－7x＋12,)＜1，则3＜x＜4”的逆否命题是()A．“若x≤3或x≥4，则2eq\s(x2－7x＋12,)＞0” B．“若3＜x＜4，则2eq\s(x2－7x＋12,)≥0”C．“若x≤3或x≥4，则2eq\s(x2－7x＋12,)＜0” D．“若x≤3或x≥4，则2eq\s(x2－7x＋12,)≥0”分析：对原命题既向要进行逆向叙述，又要同时否定条件和结论，但要注意将条件“3＜x＜4”改写为“x＞3且x＜4”，同时注意“且”的否定是