【公开课】简单的轴对称图形第3课时+角课件北师大版数学七年级下册+

5.2简单的轴对称图形第五章

图形的轴对称

第3课时

角平分线

1.掌握角的平分线有关性质.2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.3.会用尺规作角的平分线.探究新知思考：角是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴是什么？探究新知如果把∠AOB沿OC翻折，使得AO与BO重合，发现OC平分∠AOB，即∠AOC

=∠BOC.OBAC结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.角平分线的性质

如图所示OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D',连接CD和CD'。(1)你认为线段CD和CD'之间有什么关系?说说你的理由。思考

DOCD'ABP(2)特别地，当CD⊥OA时(如图所示),CD'与OB有怎样的位置关系?为什么?此时，线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论?DOCD'BAP验证猜想已知：如图，

∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.试说明：PD=PE.CAOBPDE角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.几何语言：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）因为如下左图，AD平分∠BAC（已知），

所以

=

，

BDCDBADC(2)因为如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

所以

=

,

BDCDBADC练一练（1）

如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE（2）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，

AB=14.则点P到AB的距离为_______.ABCDEF

例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且∠B=∠C，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.试说明：EB=FC.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.试说明：PM＝PN.变式训练思考如图所示,已知∠AOB如何作出它的平分线?OAB（2）如何确定这条射线上除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢?与同伴进行交流。假设∠AOB的平分线已作出，那么（1）这条射线有什么特征?利用尺规，作∠AOB的平分线．已知：∠AOB．求作：射线

OC，使∠AOC=∠BOC．下面我们探究用尺规作角的平分线2．分别以D，E为圆心．大于

DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．作法：1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．3．作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．

OBACED你能说说这样做的道理吗？角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段(距离)相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握课堂小结2．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D。若PD＝2，则点P到边OA的距离是(

)A．4B．3C．2D．11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。若PD＝6，则PE的长为(

)A．5B．6C．7D．8课堂练习3.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（

）A．3

B．1.5

C．2

D．64.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(

)AOBPA.PA=PB

B.PO平分∠APBC.OA=OB

D.AB垂直平分OP5.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.ASA

C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCO6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3BCEAD7.如图所示，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4OANPMQ·8.小颖想要制作一个如图①所示的风筝，她抽象出风筝外形如图②所示，中间骨架(OC)是两边骨架(OA和OB)构成的夹角(锐角)的平分线，且OC两侧彩色条纹DE⊥OA，DF⊥OB，已知OE＝30

cm，DF＝25

cm，若小颖打算给阴影部分涂上颜色，则涂色部分的面积为

cm2.9．如图，已知AB＝AC，BC＝6，按尺规作图痕迹可求出BD的长为(

)A．2B．3C．4D．510．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC。若BC＝8，则△DEC的周长是

。

11.如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于

EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N.

若MN=2，AD=4MD，则AM=

.EF12.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若AB=10，BC=8，AC=6，求BE，AE的长和△AED的周长.ECBAC13．如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE与BD相交于点C。AC与BC相等吗？为什么？

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AE＝6，DE＝3，BD＝5。(1)求CD的长；(2)求△ADB的面积。

15.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE=CF.

16．两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P。(尺规作图：保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示，点P即为所求。答图

17.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.因为

AD∥BC，所以MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.因为AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，所以PM=PE.同理，PN=PE.所以PM=PN=PE=3.所以MN=6.即AD与BC之间的距离为6.

所以点P到BC的距离为4。所以PA＝PD＝PE＝4。因为PA＋PD＝AD＝8，所以PA＝PE，PD＝PE。所以PE＝PA＝PD。因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，因为AB∥CD，PA⊥AB，所以PD⊥CD。答图解：如图，过点P作PE⊥BC于点E。18．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，求点P到BC的距离。答图19．【思想方法·辅助线】如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，请说明：AD＝CD。