广西南宁市银海三雅学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析）

第页，共页南宁市银海三雅学校2024—2025学年春季学期3月月考高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.化简：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的加减运算，即可求解.【详解】，故选：B.2.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，再根据坐标法计算其模.【详解】因为，，所以，所以.故选：D3.在中，角所对的边分别为，已知，，则外接圆的半径为（）A. B.4 C.8 D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由题意可得,故，因此外接圆半径为，故选：C4.设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）A. B.12 C. D.【答案】D【解析】【分析】应用三角形面积公式求面积即可.【详解】由三角形面积公式有.故选：D5.设点，若点在直线AB上，且，则点的坐标为（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据已知求出向量的坐标，进而根据，可求出向量的坐标，进而求出点的坐标．【详解】解：，，∴，点在直线上，且，∴，或，故，或，故点坐标为或，故选：D．【点睛】本题考查知识点是平面向量坐标表示，熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的差是解答的关键．6.在中，为的中点，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可.【详解】在中，为的中点，为的中点，故选：B.7.已知平面向量，，满足，，，求（）A.28 B. C. D.7【答案】C【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求.【详解】由.故选：C8.设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.锐角三角形C.等边三角形或直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解.【详解】由及正弦定理，得，因为，且，则，且，且，所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形．故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的说法正确的是（）A.单位向量模长为1 B.若，则C.若，则与是共线向量 D.若，，则【答案】ABC【解析】【分析】根据单位向量的定义即可判断A；根据相等向量的定义即可判断B；根据向量共线的定义即可判断C；举反例即可判断D．【详解】对于A，单位向量模长为1，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则与是共线向量，故C正确；对于D，若，，当时，不一定成立，故D错误；故选：ABC．10.在中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B.C.的面积为 D.【答案】ACD【解析】【分析】对A，由正弦定理判断；对B，由余弦定理求解判断；对C，由三角形面积公式计算判断；对D，由向量夹角的定义结合数量积定义判断.【详解】对于A，由正弦定理，，故A正确；对于B，由余弦定理，，又，所以，故B错误；对于C，由选项B，，所以，故C正确；对于D，因为与的夹角为，所以，故D正确.故选：ACD.11.下列说法正确的是（）A.已知点在所在平面，且，则点为的外心B.已知点在所在平面，且，则点为的重心C.若为所在平面内一点，且，则为的内心D.在中，D是边上靠近点的三等分点，E是的中点，若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据O到三角形三个顶点的距离相等，得到O为外心，判断A；根据中线的性质，可得N为重心，判断B；根据向量垂直，即得到O是垂心，判断C；根据平面向量基本定理和线性运算，用表示，判断D.【详解】对于A，因为，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为的外心，故A正确；对于B，由，得，由中线的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为的重心，故B正确；对于C，因为，所以，所以，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心，故C错误；对于D，，所以，故D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若点，，则向量的坐标是________．【答案】【解析】【分析】由向量的坐标运算得到结果.【详解】点，，则向量的坐标是.故答案为：.13.在中，，，分别为三个内角，，的对边，其中，，，则______.【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理可求解.【详解】由余弦定理：得：.所以或（不合题意，舍去）.故答案为：314.雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为36m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为_________.【答案】72m【解析】【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案.【详解】在中，；在中，；由图可知，易知，中，，根据正弦定理可得：，所以所以.故答案为：72四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）化简：；（2）已知单位向量与的夹角为60°，且，，求；（3）已知，，，向量与向量的夹角为60°，求在上的投影向量【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接进行向量的线性运算；（2）利用数量积运算律计算；（3）根据投影向量定义求解.【详解】（1）；（2）；（3）根据投影向量定义,在上的投影向量为：.16.已知向量.（1）若，求的值.（2）设，向量与的夹角为，求的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由两向量共线的充要条件坐标表示式计算即得；（2）利用数量积运算律化简等式求出的值，再利用向量夹角的坐标表示式即可求得.【小问1详解】由可得，解得，；【小问2详解】由可得，，即，解得，此时，，，，则，因，故.17.已知中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c；（1）若，，，求的面积；（2）若，求角A的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求出，结合三角形内角和定理可得，利用三角形面积公式求解；（2）由已知条件结合余弦定理求解.【小问1详解】由正弦定理，可得，又，所以，则，.【小问2详解】由，可得，由余弦定理得，又，所以18.如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足；.（1）当时，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算可得答案；（2）利用向量的线性运算、数量积的运算可得答案.【小问1详解】，当时，，且，即，所以.【小问2详解】，，且，即，所以，又因为，所以.19.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边.（1）若，求；（2）若，，的面积为，求的周长；（3）若为锐角三角形，，，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；（2）由三角形面积公式求出，代入余弦定理可求出