专题13 解直角三角形之实际应用模型（解析版）

专题13解直角三角形之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。【重要模型】模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。例1．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考期中）如图，在建筑物上，挂着米长的宣传条幅，从另一建筑物的顶端处看条幅顶端，仰角为，看条幅底端处，俯角为．求两建筑物间的距离（参考数值：，）

【答案】两建筑物间的距离是米【分析】如图，设，根据题意可得是等腰直角三角形，则，，在中，根据特殊角的三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图，设，

∵仰角为，，∴，即是等腰直角三角形，∴，，在中，，∴，即，∴，∴，∴两建筑物间的距离是米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，记忆相关特殊角的三角函数值是解题的关键．例2、（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为米．（结果精确到米）（参考数据：，，）

【答案】【分析】过作于点，可得，根据题意可知米，米，由作图知，米，在中利用三角函数可求出的长，即可求得的长【详解】过作于点，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教学楼的高度约为米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，在中，，．∴．∵，∴在中，（米）．答：斜坡的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．例4．（2023•睢阳区中考模拟）数学兴趣小组准备测量学校外的一座古塔AB的高度，小明在地面C处观测到塔尖A的仰角为58°，塔的另一侧有一斜坡DE（D，B，C在同一直线上），坡度i＝1：，小亮在E处测得塔尖A的仰角为45°，已知斜坡DE＝15米，CD＝20米，求古塔AB的高度．（精确到0.1米．参考数据：sin58°≈0.8480，cos58°≈0.5299，tan58°≈1.600）【解答】解：过E作EF⊥BC于F，在Rt△EDF中，∵山坡AB的坡度i＝1：，∴tan∠EDF＝＝1：＝，设EF＝3k，DF＝4k，∴DE＝5k＝15，∴k＝3，∴EF＝9米，DF＝12米，过E作EG⊥AB于G，则EG＝BF，BG＝EF，∵∠AEG＝45°，∴AG＝EG，设EG＝AG＝BF＝x米，∴AB＝AG+BG＝（x+9）米，在Rt△ABC中，∠C＝58°，∴tan58°＝＝≈1.6，∴BC＝，∵CD＝20米，∴EG+BC＝DF+CD，∴x+＝12+20，解得：x≈16.23，∴AB＝x+9＝25.23≈25.2（米），答：古塔AB的高度约为25.2米．模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC-BC=DB；如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF=BE。图5图6图7图8图9如图5，BE+EC=BC；如图6，EC-BC=BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF=BG；如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+BC=EG；如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF=BF，AC+BD+DF=AG。例1.（2023年江苏省徐州市中考数学真题）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）

【答案】【分析】先证四边形是矩形，四边形是平行四边形，得，然后在和中，解直角三角形以及由构造方程求解即可得解．【详解】解：∵，，，，∴四边形是矩形，，∴，，，∴四边形是平行四边形，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∴，解得，∴电视塔的高度．【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是熟练解直角三角形，属于中考常考题型．例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．

(1)求步道的长度．(2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：）【答案】(1)200米(2)这条路较近，理由见解析【分析】（1）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案．（2）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出和的长度，比较和即可求出答案．【详解】（1）解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示，

点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，，，，，为矩形..米，米.在中，米.故答案为：200米.（2）解：这条路较近，理由如下：，，.米，，在中，米.米.为矩形，米，米.在中，米.米.结果精确到个位，米.米..从这条路较近.故答案为：这条路较近.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.例3．（2022·四川遂宁·中考真题）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：，，，）【答案】塔顶到地面的高度EF约为47米【分析】延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，设，则，根据解直角三角形建立方程求解即可．【详解】如图，延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，∴，．由，可设，则，由可得，解得或（舍去），∴，，设米，米，在中，即，则①在中，，即②由①②得，．答：塔顶到地面的高度EF约为47米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．例4．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？（结果精确到）（参考数据：）

【答案】【分析】过点作，垂足为，在中，根据求出，过点作，垂足为，在中，根据求出，进而求解即可．【详解】过点作，垂足为．在中，，∴．过点作，垂足为．

在中，，∴．∵，∴．答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键．模型3、拥抱模型图1图2图3图4【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+FC+CE=BE；如图3，BC+CE=BE；如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG,DG+AB=DE。例1．（2023•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示）（1）求楼房与电视塔底部距离AD的长；（2）求电视塔的高度．【解答】解：（1）∵顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ABD中，AB＝24m，∵tan∠ADB＝＝tan30°＝，∴AD＝AB＝24（m），答：楼房与电视塔底部距离AD的长为24m；（2）∵在一楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，∴∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan60°＝，∴CD＝AD＝×24＝72（m）．答：电视塔的高度为72m．例2．（2023•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，∴DC＝HC•tan60°＝16≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．例3．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）

【答案】(1)(2)【分析】（）在中，已知，，利用角的正切可得出结果（）在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．【详解】（1）由题意知，，，（2），，∴，，，，，，，在中，．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．

【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．【详解】（1）解：在中，，∴．即的长为．（2）解：①在中，，∴．在中，由，，，则.∴．即的长为．②如图，过点作，垂足为．根据题意，，∴四边形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度约为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．课后专项训练1．（2023年江苏省南通市中考数学真题）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，根据题意可得，在中，，，在中，，，．故则这栋楼的高度为．故选：B．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．2．（2023年江苏省盐城市中考数学真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段表示“铁军”雕塑的高，点，，在同一条直线上，且，，，则线段的长约为m.（计算结果保留整数，参考数据：）

【答案】【分析】由，可得，可推得，由三角函数求出即可．【详解】∵，，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴解得，故答案为：．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出的长是解题关键．3．（2023.江苏中考模拟）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）

【答案】2.7．【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．∴CE=BD=2cm．在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵，∴OE≈2.7cm．∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．4．（2022•南京一模）如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37°，再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4m到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为26.7°．求大树BC的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73．）【解答】解：如图，过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∵sin30°＝，cos30°＝，∴DG＝AD•sin30°＝2m，AG＝AD•cos30°＝2m，在Rt△ABC中，tan37°＝，∴BC＝tan37°•AC，在Rt△BDH中，tan26.7°＝，∴BC﹣2＝tan26.7°（AC+2），∴tan37°•AC﹣2＝tan26.7°（AC+2），即0.75AC﹣2≈0.5（AC+2），∴AC＝4+8．∴BC＝0.75×（4+8）＝3+6≈11.2m．答：大树BC的高度约为11.2m．5．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．【答案】（20＋20）m．【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，∵tan∠DAE＝，∴m，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴m，∴CD＝CE＋DE＝（20＋20）m，∴信号塔的高度为（20＋20）m．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．6．（2022·江苏泰州·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，∴四边形AMCB为矩形，∴MC=AB=8，AB∥CM，∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，，代入数据：，∴，即水平地面上最远处D到小强的距离CD是．【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．7．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，斜坡的坡角，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点，过其另一端安装支架，所在的直线垂直于水平线，垂足为点为与的交点．已知，前排光伏板的坡角．（1）求的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点的太阳光线与所成的角．后排光伏板的前端在上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：三角函数锐角13°28°32°0.220.470.530.970.880.850.230.530.62【答案】（1）；（2）【分析】（1）解Rt△ADF求出AF，再解Rt△AEF求出AE即可；（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，解Rt△ADF求出DF，Rt△DFG求出FG，得到AG，解Rt△AMN求出AM，根据AM-AE可求出结论．【详解】解：（1）在Rt△ADF中，∴===88cm在Rt△AEF中，∴（2）设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，则∴在Rt△ADF中，在Rt△DFG中，∴∴AG=AF+FG=88+75.8=∵AN⊥GD∴∠ANG=90°∴在Rt△ANM中，∴∴∴的最小值为【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．8．（2021·江苏盐城市·中考真题）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可；（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD．【详解】解：（1）过点作交于，∵，∴，∴，答：点距离地面113厘米；（2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，∴四边形ABGN为矩形，∴AB=GN=84(cm)，∵，将支杆绕点顺时针旋转，∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，∴，，，∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，∴，∵，∴，∵，∴，，，答：长为58厘米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键．9．（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，）【答案】（1）8.1m；（2）4.58m【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用;（2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．【详解】（1）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．由，∴，∴，即，∴，由，∴，∴，即，∴．又，∴，∴，即，∴，即到岸边的距离为．（2）过点作，垂足为，延长交于点，则，垂足为．由，∴，∴，即，∴．由，∴，∴，即，∴．∴，∴，即点到岸边的距离为．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．10．（2022·江苏连云港·中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点处测得阿育王塔最高点的仰角，再沿正对阿育王塔方向前进至处测得最高点的仰角，；小亮在点处竖立标杆，小亮的所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，，．（注：结果精确到，参考数据：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮与阿育王塔之间的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由，解方程即可求解．（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解．(1)在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．经检验是方程的解答：阿育王塔的高度约为．(2)由题意知，∴，即，∴．经检验是方程的解答：小亮与阿育王塔之间的距离约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．11．（2022·江苏南京·统考二模）如图①，某儿童医院门诊大厅收费处正上方的“蜘蛛侠”雕塑有效缓解了就医小朋友的紧张情绪．为了测量图②中“蜘蛛侠”BE的长度，小莉在地面上F处测得B处、E处的仰角分别为37°、56.31°．已知，F到收费处OA的水平距离FC约为16m，且F与BE确定的平面与地面垂直．求“蜘蛛侠”BE的长度．（参考数据：，，，）【答案】m【分析】过点E作EG⊥CF于点G，EH⊥AC于点H，在Rt△BCF中，由tan∠BFC=tan37°=可得BC的长．设BH=EH=CG=xm，在Rt△EFG中，由tan∠EFG=tan56.31°=可得x的值，进而在Rt△BEH中由sin∠HBE=sin45°=，即可求得答案．【详解】解：过点E作EG⊥CF于点G，EH⊥AC于点H，在Rt△BCF中，∠BFC=37°，CF=16m，tan∠BFC=tan37°=，∴BC=12．∵∠ABE=45°，∴BH=EH，设BH=EH=CG=xm，在Rt△EFG中，EG=HC=（12+x）m，FG=（16-x）m，∠EFG=56.31°，tan∠EFG=tan56.31°=，解得x=4.8，经检验，x=4.8为原方程的解，且符合题意，∴BH=4.8m，在Rt△BEH中，sin∠HBE=sin45°=，解得BE=．则“蜘蛛侠”BE的长度为m．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．12．（2022·江苏泰州·统考一模）某区街道沿线，新添了一排排“智慧路灯”如图所示，是路灯主杆，、是支灯杆，、、在同一平面内，，，垂足分别为、，小明同学站在离灯杆米的处．抬头仰望，发现、、三点共线，同时、、三点也共线，在处观测到点的仰角为，点的仰角为．（参考数据：，，，，，）(1)求的长；(2)求比长多少米？【答案】(1)m(2)AB比CD长m【分析】（1）由即可求得AE的长．（2）由求得ED的长，进而求得AD的长，再通过所对角的正切值求得AB、CD的表达式，进而得到答案．(1)解：由已知可知四边形NMEF为矩形，则有FE∥NM且m∴∴m(2)解：∵∴m∴m又∵∴∴∴∴∴m【点睛】本题考查已知正切值求边长，熟练掌握正切的定义是解题的关键．13．（2022·江苏泰州·统考二模）中国建筑师以潜望镜为灵感设计了一个在私密空间内也能享受到窗外美景的未来公共卫生间（如图1）．该建筑总高BE=6.2m，剖面设计如图2，BE⊥ED，CD⊥ED，ABCGED，点F为CG与BE的交点，FE=4.2m，其中HI为平面镜，在墙面BC上也全部安装与之贴合的镜面，HIBC，HI=0.6m，HE=1.2m，记BC与CG的夹角为α，AB与GF之间为外界光线入射的区域．（提示：法线垂直于平面镜，入射角等于反射角，外界射入的均为与地面平行的水平光线）(1)如图3，当α=60°时（其中JK为入射光线，HK为反射光线，LK为法线）：①求∠BKH的度数；②若入射光线JK经平面镜BC反射后，刚好到达平面镜HI的最顶端H处成像，求该入射光线与地面的距离；(2)当α=45°时，利用图2分析，要在不影响观景体验的同时尽可能地节约建筑成本，可以在BC边上安装镜面时减少米耗材．（直接在横线上填写答案，参考数据：≈1.41）【答案】(1)①120°；②3.7米(2)1.62米【分析】（1）①根据题意可知法线LK垂直于平面镜BC，可知，再借助平行线的性质可推导，然后计算，根据光的反射定律可知，再由计算∠BKH的度数即可；②由①可知，，由直角三角形的性质可知，再借助三角形内角和定理推导，即可证明为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质，可知，由已知条件计算，，由即可计算入射光线与地面的距离；（2）假设入射光MP经镜面反射正好到达I处，先证明四边形BPIH为平行四边形，借助平行四边形的性质可知，当入射光线到达镜面在P点之下时，反射后也无法到达HL，故只需要在BP处安装镜面，借助三角函数可求得，由即可确定减少耗材的数量．【详解】（1）解：①∵法线LK垂直于平面镜BC，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②由①可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴N为BH中点，∴，∵，，∴，∴，，∴入射光线与地面的距离为3.7米；（2）当时，，∵，∴，假设入射光MP经镜面反射正好到达I处，如下图，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形BPIH为平行四边形，∴，当入射光线到达镜面在P点之下时，反射后也无法到达HL，∴只需要在BP处安装镜面，∵，∴，∴，即可减少1.62米耗材．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、利用三角函数解直角三角形等知识，综合性较强，解题关键是读懂题意，结合光的反射定律分析问题．14．（2022·江苏连云港·校考三模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．(1)求点A位于最高点时到地面的距离；(2)当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．（考数据：）【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为米；(2)水桶上升的高度为米．【分析】（1）作出如图的辅助线，在中，利用正弦函数求解即可；（2）作出如图的辅助线，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可．【详解】（1）解：过O作，过A作于G，∵米，，∴米，米，∵，，∴，在中，（米），点A位于最高点时到地面的距离为（米），答：点A位于最高点时到地面的距离为米；（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，∵，∴，，∵（米），在中，（米），在中，（米），∴（米），∴此时水桶B上升的高度为1.6米．．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键．15．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果；（2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置；（3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为．【详解】（1）解：在中，，∴．∴．（2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，在不断变化，∴当最大时，的值最大．由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，∴的最大值为．故答案为：【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．16．（2023年江苏省淮安市中考数学真题）根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量

说明：点为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在处分别测得古塔顶端的仰角为，测角仪所在位置与古塔底部边缘距离．点在同一条直线上．参考数据项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．【答案】（1）古塔的高度为；（2）古塔底面圆的半径为．【分析】（1）延长交于点，则四边形是矩形，设，则，根据，解方程，即可求古塔的高度；（2）根据，，即可求得古塔底面圆的半径．【详解】解：（1）如图所示，延长交于点，则四边形是矩形，∴，

依题意，，，设，则，在中，，解得：，∴古塔的高度为．（2），，∴．答：古塔的高度为，古塔底面圆的半径为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．17．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）

【答案】堤坝高为8米，山高为20米．【分析】过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作于H，

∵坡度i为，∴设，，∴，∴，∴，过B作于F，则，设，∵．∴，∴，∵坡度i为，∴，∴，∴（米），∴（米），答：堤坝高为8米，山高为20米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．18．（2023年江苏省苏州市中考数学真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

【答案】点离地面的高度升高了，升高了．【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，∴，

∵，，∴四边形是平行四边形，∴，当时，则，此时，，∴，当时，则，∴，而，，∴点离地面的高度升高了，升高了．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩