山东省桓台第一中学拓展部2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测数学试题（解析）

第页，共页桓台一中拓展部2025级数学学科阶段性检测2025.3一、单选题1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解分式不等式求解集合A，解对数函数不等式得集合B，然后利用补集运算和交集运算求解即可.【详解】由得，解得.又，所以.由，得，所以，所以，所以.故选：.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，对数函数的性质结合充分不必要的定义即可判断.【详解】由，得，则，从而.取，满足，不满足.故“”是“”的充分不必要条件.故选：.3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的判断来排除两个错误选项，再利用余弦值的正负来判断一个错误选项即可.【详解】由，由于该函数定义域为，所以可得是奇函数，故函数的图象关于原点对称，所以C、D是错误的；当时，所以此时有，故B是错误的；所以A是正确的；故选：A.4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则，，AB围成的阴影部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．【详解】由题意知，线段的长度都等于半径，所以，为正三角形，则，故的面积为，扇形的面积为，由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，所以阴影部分的面积.故选：A.5.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式结合二倍角余弦公式即可求得答案.【详解】由已知，得.故选：B.6.函数的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据和可立即得到，再验证当时有，即可得到函数的最小值是.【详解】①一方面，显然，，故.②另一方面，当时，有.综合①②两方面，可知的最小值是.故选：C.7.设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】的对称轴为，分类讨论当时和当时，分别作出函数的图象，借助图象判断根的个数，或列出恰有三个根的条件即可求解.【详解】由题意知，的对称轴为，当即时，的图象如图1，此时令，可得，观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；当即时，的图象如图2，此时令，可得或，因为和均为的根，所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，．当时，的对称轴为，则，解得，故．综上，的取值范围为．故选：A.8.若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意先求出在上由小到大的第5与第6个零点，列不等式组可解得的范围.【详解】由，，得，，所以函数在上由小到大的第5个零点为，第6个零点为，由题知，，解得，故选：D二、多选题9.已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜.对于，，下列不等式正确的有：A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可.【详解】由题意可知，可以得到不等式，若，，则有，因此选项A是正确的；由该不等式反应的性质可得：，因此选项C是正确的；对于选项B：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项B不是正确的；对于选项D：假设成立，例如：当时，显然不成立，故选项D不是正确的.故选：AC点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数学知识迁移能力，属于中档题.10.已知函数．则下列说法不正确的是（）A.若的最小正周期为，则B.当时，的一个对称中心是C.当时，若对任意的有成立，则的最小值是D.当，时，在上单调，则【答案】AB【解析】【分析】对于A，由即可判断；对于B，直接由代入检验法即可判断；对于C，当时，由题意，结合即可判断；对于D，由正弦函数、复合函数单调性可得，由此即可判断.【详解】对于A，若，解得，故A错误，符合题意；对于B，当时，，，故B错误，符合题意；对于C，当时，，若对任意的x有成立，则，即，解得，因为，所以当时，，故C正确，符合题意；对于D，显然，否则在不单调，所以时，函数，时，，而关于在上单调递增，若在单调，由复合函数单调性可知，解得，结合可知，故D正确，故选：AB.11.已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上单调递增C.D.满足不等式的的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】A选项，令得；B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性；C选项，赋值得到；D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集.【详解】A选项，令得，∴，A正确；B选项，任选，且，中，令，得，因为当时，，又，所以，故，所以定义域上单调递增，B正确；C选项，中，令得，故，故，C错误；D选项，因为，所以，中，令得，∵，∴，由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确.故选：ABD三、填空题12.用二分法研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间（8，12）存在零点，那么经过下一次计算可知___________（填区间）.【答案】【解析】【分析】分别计算出的值，并判断正负，再计算中点处的函数值，即可得答案.【详解】，而，则，故答案为：.13.若，且，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】由对数的运算可得出，条件利用基本不等式即得.【详解】因为，则，又因为，所以，即，解得或(舍去)，所以，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故答案为：.14.已知定义在上的函数为偶函数，且在上单调递增，，则的大小关系为______．（用“”连接）【答案】.【解析】【分析】先根据条件得出的对称轴，利用指数函数、对数函数的性质结合的单调性比较大小即可.【详解】由题意可知的图象关于轴对称，则在上单调递减，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，即，所以，而，故，则.故答案为：四、解答题15.求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质求解；（2）利用三角函数的诱导公式求解.【小问1详解】原式===.【小问2详解】原式=====.16.（1）已知是第四象限角.若，求的值；（2）已知是关于的方程的两个实根，且求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由平方和关系求出，再由诱导公式即可计算求解；（2）先由韦达定理结合题设求出k，进而求出，接着由平方和关系齐次化再弦化切即可计算求解.【详解】（1）因为是第四象限角，，所以，所以.（2）由题可得由②可得：解得，因，所以则，故，代入①，可得：，即，解得，所以.故

的值为.17.某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0.（1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式；（2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）.【答案】（1）第一个函数模型满足要求，理由见解析，（2）该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上【解析】【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢求解；（2）根据题意，由求解.【小问1详解】解：两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢，在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，第一个函数模型满足要求，由题意知，，解得，所以；【小问2详解】由，解得，又故，该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上.18.已知函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是．（1）求函数的解析式并求在上的单调递增区间；（2）若，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由正弦的二倍角公式及辅助角公式化简结合周期可求解析式，再由整体代入可求单调增区间；（2）由辅助角公式及余弦二倍角公式即可求解.【小问1详解】，由相邻的两条对称轴之间的距离是，可知周期为，所以，所以，所以，由，可得：，取得：，取得：，所以在上的单调递增区间是；【小问2详解】由（1）：，可化为：，即，即，.19.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值．【答案】（1），.（2）（3）68【解析】【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性得解；（2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算，求对勾