浙教版数学八年级下册全册课件

浙教版八年级下册数学全册优质课件二次根式复习回顾1、什么叫平方根？2、什么叫算术平方根？

一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根

正数的正平方根和零的平方根统称算术平方根设一个数为x，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根设一个数为x，如果x2=a（x≥0），那么x就叫做a的算术平方根50米a米

塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米。塔座?米如图示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b-3正方形下球体

圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.①都表示算术平方根；②根号里都含有字母二次根式像,,这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如

是不是二次根式?思考：这3个代数式在形式上有什么共同特点吗？1、判断下列各式中那些是二次根式？2、思考：如

，（a＜0）是不是二次根式？为什么？

二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。③⑤②④x2+2x-5⑥？

求下列二次根式中字母a的取值范围(1)(2)(3)例1归纳:二次根式中字母的取值范围必须满足被开方数大于等于零.求下列二次根式中字母x的取值范围：②③④当x分别取下列值时，求二次根式的值：

(1)x=0(2)x=1(3)x=‐1变式练习:若二次根式的值为3，求x的值.例2当x＝－4时，求二次根式的值。练习魔幻水晶球你能用魔法师变出的这些代数式作为被开方数构造二次根式吗？3-2小试牛刀:一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t小时。船的航速是每时25千米。1、用关于t的代数式表示船离开出发地的距离。2、求当t=3时，船离开出发地多少千米。（精确到头0.01千米）东北轮船你想知道......我们的人体中含有多少脂肪才算适当吗?根据科学研究表明,可以利用身体的体重(W,单位:kg)和身高(h,单位:m)计算身体脂肪水平,也称身体质量指数(BMI:BodyMassIndex),计算公式是BMI＝W/

h2(注:男性的BMI指数正常范围是24~27

女性的BMI指数正常范围是18~24)能力小测验已知a.b为实数，且满足求a的值.硕果累累

一路下来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。能力小测验2、已知a.b为实数，且满足求a的值1、用长为3cm，宽为（a-3）cm邮票30枚摆成一个正方形，这个正方形的边长是多少？切入点：从字母的取值范围入手。1.已知，你能求出的值吗？3.已知，你能求出的取值范围吗？2.已知与互为相反数，求、的值.探索与交流——提升我们的数学思维能力切入点：从代数式的非负性入手。4.已知为一个非负整数，试求非负整数的值切入点：分类讨论思想。二次根式（1）3的算术平方根是（2）有意义吗？为什么？（3）一个非负数a的算术平方根应表示为根据下图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：2cmacm（b-3）cm²直角三角形的边长是：

。正方形的边长是：

。等腰直角三角形的的直角边长是：。你认为所得的各代数式的共同特点是什么？S各代数式的共同特点：1.表示的是算术平方根2.根号内含有字母的代数式

为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫二次根式。

像这样表示的是算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫二次根式。例如：也叫二次根式。，，，1、判断，下列各式中哪些是二次根式？二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零例1、求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于或等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？（1）x≥－3（2）x≤0.4（3）x>0（4）x为任何实数（5）x≤0试一试例2.当x=-4时，求二次根式的值。小试牛刀:一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向航行t小时。船的航速是每时25千米。1、用关于t的代数式表示船离开出发地的距离。2、求当t=3时，船离开出发地多少千米。（精确到头0.01千米）东北

轮船OAB从东方明珠塔顶上自由落下一个物体，其下落的距离h（米）可用公式来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间。（1）把这个公式变形成用h表示t的公式；（2）东方明珠塔高468米，则该物体落到塔底需几秒？（精确到0.01秒）你今天学到了什么？谈谈你的体会！∴x≥-3x＜02x+6≥0-2x＞0∵思维拓展2.已知a.b为实数，且满足

你能求出a及a+b

的值吗？若=0，则=_____。二由题意知a＜03、已知有意义,那A(a,)在

象限.思维拓展二次根式的性质

你能把一张三边分别为的三角形纸片放入方格内,使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?动动脑筋完成以下填空:面积27一般地,二次根式有下面的性质:大家抢答53填空:

请比较左右两边的式子,议一议:与有什么关系?当时,;当时,一般地,二次根式有下面的性质:225500例1计算：(1)(2)例2计算：例3计算：(7)

数在数轴上的位置如图,则0-2-11(8)如图,

是直角坐标系中一点,求点P到原点的距离.02做一做1.计算下列各题:(1)(2)2.若,则x的取值范围为()A.x≤1B.x≥1C.0≤x≤1D.一切有理数

与是一样的吗？你的理由是什么.2小结二次根式的性质及它们的应用:（1）（2）a0-a(a>0)(a=0)(a<0)例4化简：（1）（2）(3)(a＜0,b＞0)(a＞1)+(1＜x＜3)引申与提高=|4x|∵x<0,∴4x＜0,∴原式

=-4x二次根式的运算复习归纳二次根式的性质：（a≥0）（1）（2）a-a

当a≥0时，=； 当a≤0时，=。 |a|a（3）（4）（a≥0，b＞0）（a≥0，b≥0）二次根式有下面运算的性质（a≥0，

b≥0）（a≥0，

b＞0）你能用二次根式上面运算的性质来计算吗？想一想试一试：计算：例1计算：(1)(2)(3)例2：一个正三角形路标如图。若它的边长为个单位，求这个路标的面积。ABCD如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD：BD=1：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？引申与提高：ADEBC二次根式的运算（乘除运算）:（a≥0，

b≥0）（a≥0，

b＞0）一元二次方程交流合作列出下列问题中关于未知数x的方程：(1)、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。设正方形的边长为x，可列出方程

xxx3x2+3x=4交流合作（2）据国家统计局公布的数据，浙江省2001年全省实现生产总值6700亿元，2003年生产总值达9200亿元，求浙江省这两年实现生产总值的平均增长率。设年平均增长率为x，可列出方程25005000750010000200120022003年份生产总值（亿元）9200767067006700(1+x)2=9200

方程x2+3x=4和6700(1+x)2=9200的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程①方程两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的最高次数是2次你能找到使x2+3x=4两边相等的x的值吗？开启智慧

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）.

观察上面所列方程,说出这些方程与一元一次方程的相同与不同之处.相同之处：(1)两边都是整式;(2)只含有一个未知数;不同之处：一元一次方程未知数的最高次数是1次，一元二次方程未知数的最高次数是2次.x2+3x=46700(1+x)2=9200判断下列方程是否为一元二次方程：①10x2=9()②2(x-1)=3x()③2x2-3x-1=0()④()⑤2xy-7=0()⑥9x2=5-4x()⑦4x2=5x()⑧3y2+4=5y()

1x2-2x=0√√√√×××√下列方程中是一元二次方程的为()（A）x2+3x=（B）2(x-1)+3x=2（C）x2=2+3x（D）x2+x3-4=02x2C

一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为,的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.

其中xa2，bx,c分别称为二次项，一次项，常数项，a,b分别称为二次项系数,一次项系数.为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？想一想把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.小试牛刀

把一元二次方程（x-）（x+）+（2x-1）2=0化为一般形式，正确的是（）A、5x2-4x-4=0B、x2-5=0C、5x2-2x+1=0D、5x2-4x+6=0A例

一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积为750cm3.请写出关于x的方程.该方程是一元二次方程吗?如果是，把它化为一元二次方程的一般形式.单位：cm1530xx填空：方程一般式二次项系数一次项系数常数项x2-4x-3=00.5x2=y-4y2=0(2x)2=(x+1)2x2-4x-3=01

-4

-3

0.5

0

0.5x2-=0-4y2+y

=0-4

0

3x2-2x-1=03

-2

-1

-判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：（1）x2-3x+2=0(x1=1x1=2x3=3)(2)0.5(3x-1)2-8=0(x1=-1x1=1x3=)35

已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。一元二次方程复习回顾一元二次方程的一般式是怎样的？

（a≠0）请选择：若A·B=0则（）（A）A=0；（B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0D因式分解:

把一个多项式化成几个整式的积的形式主要方法:

(1)提取公因式法

(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2知识回顾在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解请利用因式分解解下列方程：（1）y2-3y＝0;(2)4x2=9像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。练一练填空：（1）方程x2+x=0的根是

；（2）x2-25=0的根是

。x1=0,x2=-1x1=5,x2=-5例

解下列一元二次方程：（1）（x-5)(3x-2)=10;(2)(3x-4)2=(4x-3)2.解(1)化简方程，得3x2-17x=0.将方程的左边分解因式，得x(3x-17)=0,∴x=0,或3x-17=0解得x1=0,x2=17／3(2)移项，得（3x-4)2-(4x-3)2=0.将方程的左边分解因式，得〔(3x-4)+(4x-3)〕〔(3x-4)-(4x-3)〕=0,

即(7x-7)(-x-1)=0.∴7x-7=0,或-x-1=0.∴x1=1,x2=-1能用因式分解法解一元二次方程遇到类似这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.小结做一做用因式分解法解下列方程：(1)4x2=12x;(2)(x-2)(2x-3)=6;(3)x2+9=-6x;(4)9x2=(x-1)2(5)例

解方程x2=2x-2

解移项，得x2-2x+2=0,

即x2-2x+()2=0.∴(x-

)2=0,∴x1=x2=1.解方程x2-2x=-32.若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?做一做辨一辨:下列解一元二次方程的方法对吗?解：

方程两边都除以x，得3x=1

解得

注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.

因式分解法解一元二次方程的基本步骤（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转

化为解两个一元一次方程；能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.一元二次方程的解法一元二次方程的一般式是怎样的？复习回顾（a≠0）请选择：若A×B=0则（）（A）A=0；（B）B=0；（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0D想一想：结论：若A×B=0，则A=0或B=0。请利用上面的结论解方程：结论：若A×B=0，则A=0或B=0。例：解下列方程：（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转

化为解两个一元一次方程；因式分解法的基本步骤：做一做：解下列一元二次方程

（1）（2）（3）

注意：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转

化为解两个一元一次方程；因式分解法的基本步骤：例

解下列一元二次方程（1）（2）（1）（2）解：（1）化简方程，得方程左边因式分解，得解得(2)移项，得方程左边因式分解，得即解得例

解下列一元二次方程能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转

化为解两个一元一次方程；因式分解法的基本步骤：例

解方程

解：移项，得即即解得做一做：（1）（2）（3）（4）收获与总结注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.因式分解法解一元二次方程的基本步骤（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转

化为解两个一元一次方程；辨一辨:下列解一元二次方程的方法对吗?收获与总结解：方程两边都除以x，得3x=1

解得一元二次方程的解法1、一元二次方程的一般形式：常数项二次项，二次项系数一次项，一次项系数

复习回顾（2）开平方法（3）配方法（1）因式分解法2、一元二次方程的解法：一般地，对于形如：其中a,b是非负数,

这样的一元二次方程，可用开平方法

直接得出它的两个解或者将它转化为两个一元一次方程进行求解.开平方法解一元二次方程：移项:把常数项移到方程的右边;求解:解一元一次方程;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;配方法解一元二次方程的基本步骤:配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;例用配方法解下列一元二次方程(1)2x2+4x-3=0(2)3x2-8x-3=0★一除、二移、三配、四开、五解.完善“配方法”解方程的基本步骤：4、利用开平方法将方程两边开平方.3、把方程的左边配成一个完全平方式;2、把常数项移到方程的右边;1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)5、求出原方程的两个解.练一练用配方法解时,配方结果正确的是()1.用配方法解下列方程:（1）2x2+6x+3=0（2）2x2-7x+5=0做一做2.用配方法解下列方程:做一做

例

已知是一个关于x的完全平方式，求常数n的值。已知是一个关于x的完全平方式，求常数n的值。小结说一说你今天学到了什么?再见！一元二次方程的解法复习回顾一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系.开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x+a）2=b（b≥0）。配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c.

x2+bx+=-c+

b2()2b2()2即：(x+)2=b2b2-4c4②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得③当b2-4c>0时，就可以通过开平方法求出方程的根.学.科.网做一做解下列一元二次方程:1.x2-6x=-82.x2=10x-303.-x2+5x+6=0试一试解方程5x2=10x+1遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解二次项系数是1的一元二次方法。

例

用配方法解下列一元二次方程

(1)2x2+4x-3=0(2)3x2-8x-3=0解：方程两边同除以2，得解：方程两边同除以3，得x2-8/3x-1=0x2+2x-3/2=0移项，得x2+2x=3/2移项，得x2-8/3x=1方程两边都加上1，得方程两边都加上16/9，得x2+2x+1=5/2x2-8/3x+16/9=25/9即：(x+1)2=5/2即：（x-4/3)2=25/9∴x-4/3=5/3或x-4/3=-5/3

∴x1=3或x2=-1/3∴x+1=或x+1=-55∴x1=-1+或x2=-1-55用配方法解一元二次方程的基本步骤：ax2+bx+c=04.用开平方法，解得答案。1.方程两边同时除以a,得x2+x+=0baca2.移项，得x2+x=-caba3.方程两边都加上()2

，得x2+x+()2=b2ab2abab2-4ac4a2练一练1.用配方法解下列方程:2x2+6x+3=02x2-7x+5=0练一练2.用配方法解下列方程:0.2x2+0.4x=1x2-x-=0-3n=0341218n(n-1)2用配方法解一元二次方程的基本步骤：ax2+bx+c=04.用开平方法，解得答案。1.方程两边同时除以a,得x2+x+=0baca2.移项，得x2+x=-caba3.方程两边都加上()2

，得x2+x+()2=b2ab2abab2-4ac4a2小结一元二次方程的解法★一除、二移、三配、四开、五解.“配方法”解方程的基本步骤：4、利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程；3、把方程的左边配成一个完全平方式;2、把常数项移到方程的右边;1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)温故知新5、解一元一次方程，求出方程的两个解。温故知新用配方法解下列一元二次方程

你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)吗？探索新知用配方法解一般形式的一元二次方程

把方程两边都除以解:移项，得配方，得即思考此类方程一定有实数根么？必须符合什么条件？即一元二次方程的求根公式(a≠0,

b2-4ac≥0)当b2-4ac≥0时，当b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0无实数根。概念

一般地,对于一元二次方程,如果,那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.解一解用公式法解下列一元二次方程:1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值.4、写出方程的解x1与x2.2、求出b2-4ac的值.3、代入求根公式:

用公式法解一元二次方程的步骤:1、用公式法解下列方程做一做议一议当时，方程没有实数根.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；

观察以上你所解的方程，方程根的情况与b2-4ac的值的关系如何？解方程:这种解法是不是解这两个方程的最好方法?你是否还有其它方法来解?思考动手试一试吧！谈谈你这节课的收获谈谈你这节课的收获1、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数根；合作探索2、关于x的一元二次方程x²-mx-5=0。当m满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？

思考：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？再见一元二次方程的应用问题情境：

要做一个高是8cm,底面长比宽多5cm,体积528cm3的长方体木箱，问底面的长和宽是多少？8cm长宽528cm3设宽为x，由题意得：8x（x+5）=528长方体的底面积×高=长方体体积(528cm3)找相等关系：解：设长方体的宽为x(cm),则长为

cm列方程：化简、整理后，得解得x1=-11,x2=6检验：x1=-11＜0不符合实际情况,舍去.

当x2=6时,符合题意∴x=6∴长方体的长为6+5=11答:长方体的宽为6cm,长为11cm.(x+5)x(x+5)×8=528x2+5x-66=0回顾与总结：列方程解应用题的基本步骤怎样？（1）审题：找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系；（2）设：设元，包括设直接未知数或间接未知数；用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量；（3）列：列方程(一元二次方程)；（4）解：解方程；（5）检验并作答：注意根的准确性及是否符合实际意义。例1、某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?分析:

本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数,平均单株盈利,每盆花苗的盈利.主要数量关系有:平均单株盈利×株数=每盆盈利;平均单株盈利=3-0.5×每盆增加的株数.

例1、某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量?解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有______株,平均单株盈利为__________元.由题意,得(x+3)(3-0.5x)=10解这个方程,得:x1=1,x2=2(x+3)(3-0.5x)如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？思考:这个问题设什么为x?有几种设法?化简，整理，得x2-3x+2=0经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意.答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.练一练

某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出20箱。如果要使每天销售饮料获利1400元，问每箱应降价多少元？解：设每箱应降价x元，得：（12-x）（100+20x）=1400解得：x1=2，x2=5经检验x1=2和x2=5都是原方程的解，且都符合实际情况答：每箱应降价2或5元（1）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么一年后的销售收入将达到______万元（用代数式表示）（2）某公司今年的销售收入是a万元，如果每年的增长率都是x，那么两年后的销售收入将达到__

____万元（用代数式表示）填一填1.某试验田去年亩产1000斤，今年比去年增产10%，则今年亩产为________斤,如果明年再增产10%，则明年的产量为

斤。2.某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都是x，则该厂三月分产钢______________吨.1100121050(1+x)2增长问题的数量关系是：一次增长:新数=基数×(1＋增长率)二次增长:新数=基数×(1＋增长率)2填一填二次增长后的值为依次类推n次增长后的值为设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为设基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为二次降低后的值为依次类推n次降低后的值为增长、降低率问题例2

根据如图的统计图，求从2008年到2010年，我国风电新增装机容量的平均年增长率（精确到0.1%）练一练:1、某单位为节省经费,在两个月内将开支从每月1600元降到900元,求这个单位平均每月降低的百分率是多少?1600（1-x）2=9002、某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是前年人数的75℅,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少(精确到1℅)?（1-x）2=0.75提示：增长率问题中若基数不明确，通常设为“1”,或设为a等设为“1”更常用.练一练:3、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.5（1+x）2=7.24、某种药剂原售价为4元,经过两次降价,现在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分之几?

4（1-x）2=2.56

某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加利润，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。（1）若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价多少元？为尽快减少库存，以便资金周转，则降价多少元？（2）能不能通过适当的降价，使商场的每天衬衫销售获利达到最大？若能，则降价多少元？最大获利是多少元？拓展提高

一元二次方程根与系数的关系韦达一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac≥0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1--2算一算：（3）3x2-4x+1=01方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3-4-4-1-21若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则

.

.

X1+x2=+==-X1x2=●===证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2

=-注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=-时，注意“-”不要漏写。如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2=,x1x2=.-pq

一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.说出下列各方程的两根之和与两根之积：(1)x2-2x-1=0(3)2x2-6x=0(4)3x2=4(2)2x2-3x+=0x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-说一说：例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值.解法一：设方程的另一个根为x2.由根与系数的关系，得2＋x2=k+12x2=3k解这方程组，得x2=-3k=-2答：方程的另一个根是-3,k的值是-2.例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值。解法二：设方程的另一个根为x2.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数的关系，得2x2＝3k即2x2＝-6∴x2＝-3答：方程的另一个根是-3,k的值是-2.例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：（1）;（2);;(4).另外几种常见的求值:1、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x-3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：设方程的另一个根为x2,则x2+1=,∴x2=,又x2●1=,∴m=3x2=16解：由根与系数的关系,得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=试一试：411412则：＝＝

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.4.已知方程的两个实数根是且

，求k的值.解：由根与系数的关系得x1+x2=-k，x1x2=k+2又x12+x2

2=4即(x1+x2)2-2x1x2=4

k2-2(k+2）=4

k2-2k-8=0

∵△=k2-4k-8当k=4时，△=-8＜0∴k=4(舍去）当k=-2时，△=4＞0∴k=-2解得：k=4或k=-2探究：2、熟练掌握根与系数的关系；3、灵活运用根与系数关系解决问题.1.一元二次方程根与系数的关系？小结：平均数在小学我们就知道平均数小明有12本书，小军有20本书，小明和小军平均每人有几本书？

二(3)班做好事36件，二(4)班做好事28件，二(5)班做好事29件，平均每个班做好事多少件？如何求平均数？日期对手篮板/个得分/分2月25日勇士21222月28日太阳18273月2日76人13223月6日开拓者13323月8日森林狼13363月9日步行者10383月14日网10363月16日小牛13363月24日黄蜂10223月27日骑士727看！姚明的出色表现！看谁算得快！姚明的十场比赛平均得分为＝29.8（分）)27223636383632222722(101+++++++++日期对手篮板/个得分/分2月25日勇士21222月28日太阳18273月2日76人13223月6日开拓者13323月8日森林狼13363月9日步行者10383月14日网10363月16日小牛13363月24日黄蜂10223月27日骑士727看谁算得快！姚明的十场比赛平均篮板为＝12.8（个）合作学习某果农种植的100棵苹果树即将收获.果品公司在付给果农定金前，需要对这些果树的苹果总产量进行估计.(1)果农任意摘下20个苹果，称得这20个苹果的总质量为4千克.这20个苹果的平均质量是多少千克?4÷20=0.2（千克）合作学习某果农种植的100棵苹果树即将收获.果品公司在付给果农定金前，需要对这些果树的苹果总产量进行估计.(2)果农从100棵苹果树中任意选出10棵，数出这10棵苹果树上的苹果数,得到以下数据(单位：个)：154，150，155，155，159，150，152，155，153，157.你能估计出平均每棵树的苹果个数吗?(3)根据上述两个问题，你能估计出这100棵苹果树的苹果总产量吗?合作学习某果农种植的100棵苹果树即将收获.果品公司在付给果农定金前，需要对这些果树的苹果总产量进行估计.0.2×154×100=3080（千克）我们可以这样了解：由（1）可知每个苹果为0.2千克（近似）由（2）可知每棵树上有154个苹果（近似）在实践中，常用样本的平均数来估计总体的平均数.你知道吗？算术平均数:(1)概念:一般地,如果有n个数我们把叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记作,读作x拔.(2)在实践中,常用样本的平均数来估计总体的平均数.1.为了让人们感受丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的十名同学记录了自己家中一周丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）29,28,29,32,28,28,32,31,32,31．

(1)平均每位同学家中一周丢弃的塑料袋是多少个？（2）如果该班有57名学生，那么根据提供的数据估计本周全班各家总共丢弃塑料袋的数量为多少个？做一做在实践中,常用样本的平均数来估计总体的平均数.1.某班10名学生为支援“希望工程”将平时积攒的零花钱捐献给贫困地区的失学儿童,每人捐款金额如下(单位:元):10,15,15,20,30,15,20,25,10,30这10名同学平均捐款多少元?答:这10名同学平均捐款19元你是否还有其它更简便的方法来求？提示：观察数据你发现几个10，几个15，几个20，几个25，几个30解:做一做从上题的第二种方法可知平均数另一求法这种形式的平均数叫做加权平均数，其中2，3，2，1，2表示各相同的个数，称为权。“权”越大，对平均数的影响越大公式：其中：表示权解法一.算术平均数(略)解法二.成绩为6环的数据有1个,7环的数据有3个,8环的数据有5个,9环的数据有4个,10环的数据有2个,所以该运动员各次设计的平均成绩为

答:这次训练中该运动员射击的平均成绩为8.2环.例1、统计一名射击员运动员在某次训练中15次射击的中靶环数,获得如下数据:6,7,8,7,7,8,10,9,8,8,9,9,8,10,9.求这次训练中该运动员射击的平均成绩.气温35度34度33度32度28度天数2322132试一试2.如果一组数据3,x,2,4的平均数是３，那么x=

＿3331.某市的7月下旬最高气温统计如下在这十个数据中，34的权是_____,32的权是______.该市7月中旬最高气温的平均数是_____,3、八年级期中考试数学成绩如下：一班55人的平均分81分，二班40人平均分90分，三班45人的平均分85分，四班60人的平均分84分，求年级的平均分．4、在一次射击训练中，朱启南射中10.8环2次，射中10.5环1次，射中10.2环2次，射中10环4次，射中9.5环1次，那么你能求出他平均射中的环数是多少吗？

广播操比赛各项成绩

服装统一

动作整齐

动作准确801班808487802班987880803班908283（2）如果学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予三个项目的权的比为15：35：50。以加权平均数来确定名次，那么三个班级的排名顺序又怎样？

（1）如果根据三项得分的平均成绩从高到底确定名次，那么三个班级的排名顺序怎样？例2、某校在一次广播操比赛中801班、802班、803如下表所示：（1）解：三个班得分的平均数分别为：答：三个班的排名顺序为802班，803班，801班

广播操比赛各项成绩

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动作整齐

动作准确801班808487802班987880803班908283（2）解：三个班得分的加权平均数分别为：答：三个班的排名顺序为801班，803班，802班

广播操比赛各项成绩

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动作整齐

动作准确801班808487802班987880803班908283应试者听说读写甲85837875乙73808582（2）如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2：2：3：3的权比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩看，应该录取谁？（1）如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3：3：2：2的权比确定，计算两名应试者的平均成绩（百分制）.从他们的成绩看，应该录取谁?数据的权对数据的平均数是有影响的1、一家公司打算招聘一名英文翻译,对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试。他们的各项成绩（百分制）如下：练一练：候选人测试成绩（百分制）面试笔试甲8690乙9283（1）如果公司认为，面试和笔试成绩同等重要，从他们的平均成绩来看，谁将被录取？（2）如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋于它们的权是6和4，计算甲、乙两人各自的平均成绩，看看谁将被录取？2、某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表所示：

平均数反映了一组数据的一般情况，具有直观、简明的优点。平均数还能用来进行不同组数据的比较，能看出组与组之间差别。它在日常生活和工农业生产中应用很广泛，如平均成绩、平均身高、平均速度、平均产量等。

畅所欲言本节课你学习了哪些新的知识?1、数据1，3，6，9，10，6的平均数是—————2、小明上学期末语文,数学,英语三科的平均分为92分,他记得语文得了88分,英语得了95分,但他的数学成绩忘了,你帮他求出数学成绩是_________;3、5个数的平均数是14,7个数平均数是20,4个数的平均数是18,那么这16个数的平均数是________(保留3个有效数字).强化训练4、某校规定学生的数学期末总评成绩由三部分组成。平时参与数学活动情况占25%，作业完成情况占35%，期末考试成绩占40%。小明平时参与数学活动、作业完成情况、期末考试成绩得分依次为84分、92分、88分。则小明数学期末总评成绩是多少分？解：X=25%×84+35%×92+40%×88=21+32.2+35.2=88.4(分）答：这两个班95名学生的平均分是88.4分。分数1009895908583807877人数11223610111111（1）通过计算，请你补充完整以上表格（要求分数为正整数），使得小明的成绩77分以上大于班级平均分，且是倒数第四名；（2）由（1）计算得到的平均分能否反映班级同学整体水平，针对本题请你提供一种较合理的计算平均数的方法。小明放学回家。爸爸问他数学考试成绩好吗？小明低头说：倒数第四。爸爸的脸变了颜色。妈妈连忙补充说：小明数学成绩77分，已经超过了班级平均分，属于中上等。成绩超过班级平均分却是倒数第四，这可能吗？告诉你，小明和妈妈讲的都是实话！小明所在班级一共40人，他们班这次数学考试成绩统计如下（一部分）：探究创新:再见！中位数和众数我们学校将要召开每年一次的体育运动会，根据学校的安排，决定从我们八年级1、2、3、4四个班中抽调40名男生组成一个彩旗队。下面是八年级1班的体检表中任意抽取的10名男生的身高（单位：米）：1.59，1.60，1.58，1.64，1.64，1.56，1.68，1.65，1.64，1.60。根据以上信息，结合你的经验，你应该如何确定参加彩旗队学生的身高？并说明理由。想一想：这个公司员工收入到底怎样？我这里报酬不错,月平均工资是2000元,你在这里好好干!赵经理应聘者小范第二天，小范上班了。职员C我的工资是1500元,在公司算中等收入职员D我们好几个人工资都是1200元小范在公司工作了一周后你欺骗了我,我已问过其他技术员,没有一个技术员的工资超过2000元.平均工资确实是每月2000元,你看看公司的工资报表.员工总工程师工程师技术元A技术元B技术元C技术元D技术元E技术元F见习技术元G工资50004000180017001500120012001200400下表是该公司月工资报表:请大家仔细观察表中的数据,讨论该公司员工的月平均工资是多少?经理是否欺骗了小范?平均月工资能否客观地反映员工的实际收入?(3)

你认为用什么数据反映一般技术员的实际收入比较合适，请说明理由。中位数定义：众数的定义：

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。如上表中的1200中位数众数员工总工程师工程师技术元A技术元B技术元C技术元D技术元E技术元F见习技术元G工资50004000180017001500120012001200400

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数。

职员C我的工资是1500元,在公司算中等收入职员D我们好几个人工资都是1200元当为偶数个数据时，为最中间两个数的平均数中位数？众数员工总工程师工程师技术元A技术元B技术元C技术元D技术元E技术元F见习技术元G工资50004000180017001500120012001200400

小范1200一个月后公司根据技术水平及表现，对其工资进行调整。15001500（1）此时的中位数是多少？5000，4000，1800，1500，1500，1500，1200，1200，1200，4001500（2）此时的众数是多少？众数当两个数据出现的次数并列最多，我就说这两个数都是众数。1200和1500所以一组数据的众数是不唯一的，可以有不止一个众数。求中位数要注意数据的大小排序做一做：1、有人对展览馆七天中每天进馆参观的人数做了记录，情况如下：180，176，176，173，176，181，182求这组数据的中位数和众数。2、下面数据的平均数、中位数和众数各是多少？8，10，10，13，13，13，14，15，17，18，议一议：通过这个练习你能说说中位数和众数的特性吗？202021320205找一找20和35

数

据中位数众数15，20，20，22，35

-100，20，20，22，1000

15，20，20，22，35，38

15，20，20，22，35，35

3，0，-1，5，5，-3，14

2120（1）中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据；

（2）求中位数时，先将数据按一定的顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数；

（3）中位数与众数的单位与数据的单位相同；

（4）众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据；（5）众数可能是一个或两个；

知识小结：1.一组数据的平均数一定只有一个x√

2.一组数据的中位数一定只有一个√

4.一组数据的众数一定只有一个5.一组数据的平均数，中位数，中位数可以是同一个数3.一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数。x√

1，2，3，4，51，2，3，4，5，6由上知中位数3.51，1，1，1，1辨一辨日期1日2日3日4日5日6日7日…

人数（万人）1.222.521.220.6课内练习：1、某风景区在“五一”黄金周期间，每天接待的旅游人数统计如下：表中表示人数这组数据中，众数和中位数分别是

，

。2、在一组数据1，0，4，5，8中插入一个数据X，使该组数据的中位数为3，则插入数据X=（）3、某厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学的八年级（1）班的20位男生的穿鞋号统计如下：

鞋号（cm）

23.5

2424.52525.526人数

344711那么这20名男生的鞋号组成的一组数据的平均数是

，中位数是

，众数是

，鞋厂最感兴趣的是

数。

课内练习：4、甲、乙两班同学举行电脑汉字输入速度比赛，各派10名选手参加，参赛选手每分输入汉字个数统计如下：输入汉字（个）132133134135136137众数中位数平均数甲班学生（人）

10

1

5

2

1乙班学生（人）

0

1

4

12

2（1）分别求出各班选手每分输入汉字个数的平均数、中位数和众数，并填入上表。（2）根据（1）中的结果，对两班选手的汉字输入速度作简短评论。课内练习：人员经理厨师会计服务员勤杂工甲乙甲乙工资数3000700500450360340320775450中位数445能解答下列问题（直接填在横线上）：（1）餐厅所有员工的平均工资是______元；（2）所有员工工资的中位数是

元；（3）用平均数还是用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当？答：

。（4）去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是

元，是否也能反映该餐厅员工工资的一般水平？答：

。5、某餐厅有7名员工，所有员工的工资情况如下表所示：课内练习：平均数、中位数和众数的异同点：（1）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量；（2）平均数、众数和中位数都有单位；（3）平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广；（4）中位数不受个别偏大或偏小数据的影响；（5）众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。

议一议:实际应用1、某校艺术节文艺会演，由参加演出的10个班各派一名代表担任评委，给演出评分，某班评分成绩如下：

编号

12345678910甲班得分

8774878888乙班得分

78810778777（1）若采用平均数进行计算，甲、乙两班谁获胜？你认为公平吗？为什么？（2）采用怎样的办法，对参赛班级更为公平，如果用你提供的方法，甲、乙两班谁获胜？

2、甲、乙、丙三家家电厂在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下（单位：年）甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，3，15；乙厂：6，6，8，8，12，9，10，8，14，15；丙厂