浙教版八年级数学下册第5章专题十二-特殊四边形中的动点问题

特殊四边形中的动点问题浙教版八年级下第5章特殊平行四边形专题十二1母题

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC＝5，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，连结PO并延长，交BC于点Q，设点P的运动时间为t秒．【方法点拨】解特殊四边形中的动点问题时，关键是抓住运动过程中的不变量进行求解．(1)求BQ的长(用含t的代数式表示)；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC.∴∠PAO＝∠QCO.又∵∠AOP＝∠COQ，∴△APO≌△CQO，∴AP＝CQ.由题意知AP＝t，∴CQ＝t.∵BC＝5，∴BQ＝5－t.(2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值．变式1

【2022•青海】如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结BE.(1)求证：△DCE≌△BCE；(2)求证：∠AFD＝∠EBC.证明：∵△DCE≌△BCE，∴∠CDE＝∠EBC.∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB，∴∠CDE＝∠AFD，∴∠AFD＝∠EBC.变式2

如图，在△ABC中，O是边AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACH的平分线于点F，连结AE，AF.证明：∵MN∥BC，∴∠CEO＝∠ECB，∠CFO＝∠FCH.∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACH，∴∠ECO＝∠ECB，∠FCO＝∠FCH.∴∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO.∴EO＝OC，FO＝OC.∴EO＝FO.(1)求证：EO＝FO.解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：由(1)知OE＝OF.∵O为AC的中点，∴AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵OE＝OC，∴AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．变式3

如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O，连结AF，CE.(1)试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．∴AF＝CF.设AF＝CF＝xcm，则BF＝(8－x)cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.∴AF＝5cm.(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．解：易知当点P在AF上，点Q在CD上时，以A，C，P，Q四点为顶点不可能构成平行四边形；当点P在AB上，点Q在DE或CE上时，以A，C，P，Q四点为顶点也不可能构成平行四边形．∴只有当点P在BF上，点Q在ED上时，以A，C，P，Q四点为顶点才可能构成平行四边形，如图，连结AP，CQ.若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4cm，AD＝BC＝8cm.∵AF＝CF＝5cm，点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，变式4

如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°.(1)求证：矩形DEFG是正方形；∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠EMC＝∠ENC＝90°，∴∠NEC＝45°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN是正方形．∴EM＝EN，∠NEM＝90