人教A版2019高一数学必修二第二学期861直线与直线垂直

第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直人教A版高一数学必修二第二学期8.6.1直线与直线垂直核心素养目标1.数学抽象：借助正方体，通过直观感知，类比相交直线所成角，归纳出异面直线所成角的概念2.直观想象：在具体几何情景下作出两条异面直线所成的角3.逻辑推理：会用异面直线所成角证明异面直线垂直。4.数学运算：利用异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成角，并在三角形中求出角。

教学目标教学重点：异面直线所成的角。教学难点：在具体几何情景下作出两条异面直线所成的角。

知识讲解空间

直线、平面平行知识讲解空间两直线的位置关系：(1)从公共点的数目来看可分为：①有且只有一个公共点——两直线相交记作：l1∩l2=A②没有公共点两直线平行l1//l2两直线为异面直线

(2)从平面的性质来讲，可分为：①在同一平面内②不同在任何一个平面内——两直线为异面直线。两直线平行l1//l2两直线平行6知识讲解证明直线平行的方法:①三角形、梯形的中位线(找中点:平行四边形对角线互相平分)②平行四边形的对边平行(先证平行四边形)③平行线分线段成比例定理④平行线的传递性知识讲解观察：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？不同，我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．图中的角θ即为直线a与直线b的夹角．类似地，可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系.知识讲解异面直线所成的角:在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.9知识讲解

如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).异面直线所成角的定义:（1）将空间图形转化为平面图形（2）异面直线夹角转化为相交直线的夹角10知识讲解异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。直线a与直线b垂直，记作a⊥b。当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为00。所以空间两条直线所成角α的取值范围是

而两条异面直线所成的角度的取值范围是知识讲解如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'.（1）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？解：(1)(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB,BC,CD,DA,A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.分别与AA'垂直。知识讲解如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'.(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.所成角解：知识讲解如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'.(3)求直线BA′与AC所成角的大小.1.构造（作）2.证明（证）3.计算（求：）解：连接A′C′∵ABCD-A′B′C′D′是正方体∴AA′CC′∴四边形AA1C1C是平行四边形∴AC∥A′C′∴∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角连接BC′,易知△A1BC1是等边三角形∴∠BA1C1=60°∴异面直线BA1与AC所成的角等于60°4.结论知识讲解如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心。求证：AO1⊥BD。证明：如图，连接B1D1。∵ABCD－A1B1C1D1是正方体。

∴BB1//C1D1，BB1=C1D1

∴四边形BB1DD1是平行四边形。∴B1D1//BD所以，直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角。连接AB1，AD1，易证AB1=AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，因为O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1∴AO1⊥BD

①作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），常用平移法作出异面直线所成的角(或其补角)；

②证：证明①中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）

③求：通过解三角形或其他方法，求出①中所构造的角的大小；④结论：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面

直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求．

求异面直线所成的角的一般步骤简记：一作、二证、三求、四结论归纳总结16知识讲解如图，在正三棱柱ABC－A'B'C'中，D为棱AC的中点，AB=BB'=2，求证：BD⊥AC'.找中点、中位线

1.构造（作）

证明：如图，连接B1D1

∵ABCD-A1B1C1D1是正方体

∴BB1

DD1∴四边形BB1D1D是平行四边形∴B1D1//BD

∴∠AO1D1(或其补角)为直线AO1与BD所成的角2.证明（证）连接AB1，AD1，易证AB1=AD1又O1为底面A1B1C1D1的中心∴O1是B1D1的中点∴AO1⊥B1D1∴AO1⊥BD3.计算4.结论∴AO1⊥BD知识讲解1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能【解析】当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．

D18知识讲解如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A．45° B．60°C．90° D．120°【解:】取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF//IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.B

知识讲解如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是

．【解:】连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.60°知识讲解如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是

．【解:】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠PAB是PA与CD所成的角．又∵PA⊥AB，

∴∠PAB＝90°.90°知识讲解如图所示，AB是圆O的直径，点C是