直线上向量的坐标及其运算课件-高一上学期数学人教B版

直线上向量的坐标及其运算

高一年级数学知识概要一.直线上向量的坐标二.直线上向量的运算与坐标的关系三.例题分析与讲解四.课堂小结向量相等：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.

零向量：把始点和终点相同的向量称为零向量，即=

0.单位向量：把模等于1的向量称为单位向量.复习向量的加法数乘向量交换律结合律分配律共线向量基本定理:

如果a

0且b//a，则存在唯一的实数λ，使得

b=λa.向量b实数λ一一对应任意确定共线向量基本定理:

如果a

0且b//a，则存在唯一的实数λ，使得

b=λa.确定实数λ的方法是:

(1)；(2)λ的正负由a和b的方向决定，

a和b的方向相同，则λ>0；

a和b的方向相反，则λ<0.特别说明:

本小节我们考察所有始点与终点都在同一条直线上的向量.我们约定，直线上的向量特指始点与终点都在这条直线上的向量.AODCB也就是说，给定一条直线l，记

=

a，=

b，=

c，则必有向量

a,b,c为共线向量.AODCBcabl由共线向量基本定理知，如果a

0且b//a，则存在唯一的实数λ，使得b=λa；cabc//a，则存在唯一的实数μ，使得

c=

μa.l其中，，且向量a

与向量b

方向相反，则λ<0；

，且向量a

与向量c

方向相同，则μ>0.cabl取|a|

=1，也就是a

为单位向量时，则|λ|=|b|

，|μ|=|c|.一.直线上向量的坐标给定一条直线l

以及这条直线上一个单位向量e

，由共线向量基本定理可知，对于直线l

上的任意一个向量

a，一定存在唯一的实数x，使得a

=xe，此时，x

称为向量a

的坐标.ael对直线上向量a的坐标为x的理解:

(1)|

a

|

=|

xe|=|

x||e|=|

x|

；(2)当

x>

0时，a

的方向与e

的方向相同；当

x=

0时，a

是零向量；当

x<

0时，a

的方向与e

的方向相反.对直线上向量a的坐标为x的理解:

(1)|

a

|

=|

xe|=|

x||e|=|

x|；(2)当

x>

0时，a

的方向与e

的方向相同；当

x=

0时，a

是零向量；当

x<

0时，a

的方向与e

的方向相反.也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.按照定义，如图可知，|

a

|=

4，向量a与单位向量e的方向相反，则向量a的坐标为–4.ael按照定义，如图可知，|

a

|=

4，向量a与单位向量e的方向在直线l

上指定一点O作为原点，e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，将向量a的始点平移到原点O，得到向量

=

a.这时，A点的坐标与向量a的坐标相同.1aOex相反，则向量a的坐标为–4

.Al直线上向量的坐标的直观理解:在直线l

上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴，对于

l

上的任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标.1aOexAl思考：定义中直线上单位向量e的坐标是多少？1Oex思考：定义中直线上单位向量e的坐标是多少？

分析：因为e是单位向量，所以|e|=1，

且以e的方向为正方向，则x>0，

所以x=1.

所以直线上单位向量e的坐标为1.1Oex思考：如何求出直线上零向量的坐标.1Oex思考：如何求出直线上零向量的坐标.

分析：因为零向量是始点和终点相同的向量，

将零向量的始点平移到原点O，那么零向量的终点也是原点O，原点O对应的数0就是零向量的坐标.

因此，直线上零向量的坐标为0.1Oex为了方便起见，以后谈到直线上向量的坐标时，总是默认已经按照上述方式指定了单位向量e，并建立了数轴；而且谈到数轴时，也默认为已经指定了与数轴正方向同向的单位向量e.

此时：如果数轴上一点A对应的数为x

(记为A(x)，也称点A的坐标为x)，那么向量对应的坐标为x；

反之，如果向量对应的坐标为x，那么数轴上一点A对应的数为x，也就是点A的坐标为x.

求直线上向量的坐标的两种方法：将向量用单位向量表示出来；将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.

例1.如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.1Oaxb例1.如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.

解：因为a

的始点在原点，

因此由a

的终点坐标可知a

的坐标为2.1Oaxb例1.如图所示，求出直线上向量a,b的坐标.

解：因为b=

–3e

，

所以

b

的坐标为–3.1Oaxb二.直线上向量的运算与坐标的关系思考：直线上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系？假设直线上两个向量a,b的坐标分别为即，.1.向量的相等与它们对应的坐标之间的关系：当a=

b时，有，则(

)e=

0，因为e是单位向量，所以.1.向量的相等与它们对应的坐标之间的关系：当a=

b时，有，则(

)e=

0，因为e是单位向量，所以.反之，当时，有=0，则(

)e=

0，即，所以a=

b.1.向量的相等与它们对应的坐标之间的关系：当a=

b时，有，则(

)e=

0，因为e是单位向量，所以.反之，当时，有=

0，则(

)e=

0，即，所以a=

b.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.2.向量的运算与它们对应的坐标之间的关系：2.向量的运算与它们对应的坐标之间的关系：

a+

b

=

=

(

)e，所以a+

b

的坐标是.2.向量的运算与它们对应的坐标之间的关系：

a+

b

=

=

(

)e，所以a+

b

的坐标是.直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.如果u,v是两个实数，那么ua+

vb=

=

=所以ua+

vb的坐标是.如果u,v是两个实数，那么ua–vb=

=

=所以ua–

vb的坐标是.例2.已知直线上向量a的坐标为–2，b的坐标为5，求下列向量的坐标：(1)a+

b

；

(2)；(3)–2a–3b.例2.已知直线上向量a的坐标为–2，b的坐标为5，求下列向量的坐标：(1)a+

b

；

(2)；(3)–2a–3b.解：(1)a+

b

的坐标为–2+5=3；

(2)的坐标为；

(3)–2a–3b的坐标为.3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式设是数轴上两点，3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式设是数轴上两点，3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式设是数轴上两点，3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式设是数轴上两点，3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式设是数轴上两点，O为坐标原点，3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式设是数轴上两点，O为坐标原点，3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式设是数轴上两点，O为坐标原点，则，，因此=

(

)e.3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两点间的距离公式所以，向量的坐标为.设是数轴上两点，O为坐标原点，则，，因此=

(

)e.3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，设M(x)是线段AB的中点3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，设M(x)是线段AB的中点3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，设M(x)是线段AB的中点3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，设M(x)是线段AB的中点3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，设M(x)是线段AB的中点M(x),3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，O为坐标原点，设M(x)是线段AB的中点，则，有，则，3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式又因为，设是数轴上两点，O为坐标原点，设M(x)是线段AB的中点，则，有，则，因此，.

3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，设M(x)是线段AB的中点3.利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的中点坐标公式设是数轴上两点，设M(x)是线段AB的中点M(x),例3.设数轴上两点A,B的坐标分别为3,

–7，求：(1)向量的坐标，以及A与B的距离；

(2)线段AB中点的坐标.例3.设数轴上两点A,B的坐标分别为3,

–7，求：(1)向量的坐标，以及A与B的距离；

(2)线段AB中点的坐标.解：(1)由题意得的坐标为3，的坐标为–7，

因为，所以的坐标为–7

–3=–10.

而且

.例3.设数轴上两点A,B的坐标分别为3,

–7，求：(1)向量的坐标，以及A与B的距离；

(2)线段AB中点的坐标.解：(2)设线段AB的中点