预测与决策教程（第2版）课件：多目标决策

主要内容：多目标决策层次分析法预测与决策多目标决策分析

10.1基本概念10.2多目标决策问题的一般分析方法10.3多目标风险型决策问题10.4多目标确定型决策问题10.5层次分析法10.5网络分析法多目标决策分析10.1基本概念例10.1

房屋设计某单位计划建造一栋家属楼，在已经确定选址及总规定总建筑面积的前提下，作出了三个设计方案，现要求从以下5个目标综合选出最佳的设计方案：低造价（每平方米造价不低于3000元，不高于5000元）；抗震性能（抗震能力不低于里氏5级不高于7级）；建造时间（越快越好）；结构合理（单元划分、生活设施及使用面积比例等）；造型美观（评价越高越好)问题的提出具体目标方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造价（元/平方米）350050004500抗震性能（里氏级）6.55.56.5建造时间（年）21.51结构合理（定性）中优良造型美观（定性）良优中多目标决策问题的基本特点目标不至一个目标间的不可公度性目标间的矛盾性

多目标问题的三个基本要素目标体系―决策者选择方案所考虑的目标组及其结构；备选方案―决策者根据实际问题设计出的解决问题的方案；决策准则―用于选择的方案的标准。通常有两类：最优准则，满意准则。10.2多目标决策问题的一般分析方法

1、化多目标为单目标2、分层序列法1）

主目标优化法

2)线性加权和法

3)标杆法

4)乘除法

一、化多目标为单目标1.主目标优化法

设有m个目标f1(x)，f2(x)，…，fm(x)；均要求为最优，但在这m个目标中有一个是主要目标，例如为f1(x)，并要求其为最大。在这种情况下，只要使其它目标值处于一定的数值范围内，即就可把多目标决策问题转化为下列单目标决策问题：2.线性加权和法设有一多目标决策问题，共有f1(x)，f2(x)，…,fm(x)等m个目标，则可以对目标fi(x)分别给以权重系数（i=1，2，…,m），然后构成一个新的目标函数如下：计算所有方案的F(x)值，从中找出最大值的方案，即为最优方案。在多目标决策问题中，需要处理各个目标的量纲问题。并要求minF(x)。其中是第i(i=1,2,…,m)个目标的权重系数。3.标杆法

设有m个目标的决策问题，现要求各方案的目标值f1(x)，f2(x)，…,fm(x)与规定的m个满意值f1*，f2*，…,fm*的差距尽可能小，这时可以重新设计一个总的目标函数：4.乘除法

并要求max

F(x)。

当有m个目标f1(x)，f2(x)，…，fm(x)时，其中目标f1(x)，f2(x)，…，fk(x)的值要求越大越好，目标fk+1(x)，…，fm(x)的值要求越小越好，并假定fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x)都大于0。于是可以采用如下目标函数，分层序列法是把目标按照重要程度重新排序，将重要的目标排在前面，例如已知排成f1(x)，f2(x)，…，fm(x)。然后对第一个目标求最优，找出所有最优解集合，用R1表示，接着在集合R1范围内求第二个目标的最优解，并将这时的最优解集合用R2表示，依此类推，直到求出第m个目标的最优解为止。将上述过程用数学语言描述，即二、分层序列法…这种方法有解的前提是R1，R2，…，Rm-1等集合非空，并且不至一个元素。但这在解决实际问题中很难做到。于是又提出了一种允许宽容的方法。所谓“宽容”是指，当求解后一目标最优时，不必要求前一目标也达到严格最优，而是在一个对最优解有宽容的集合中寻找。这样就变成了求一系列带宽容的条件极值问题，也就是

…

i=1,2,…,m-1,

设有方案A，自然状态有l个，目标有n个，该方案在第一个自然状态下各目标的后果值为θ11,θ12

，…,θ1n，第二个自然状态下各目标的后果值分别为θ21,θ22

，…,θ2n，等等。第l

个自然状态下各目标的后果值分别为θl1,θl2

，…,θln10.3多目标风险型决策问题该方案第一个目标的期望收益值为p1p2plθl1,θl2

，…,θlnθ21,θ22

，…,θ2nθ11,θ12

，…,θ1nA一般地，假设有m个备选方案，n个目标，第i个备选方案面临li个自然状态。该模型可表述为下图。第二个目标的期望收益值为第n个目标的期望收益值为各方案中各目标的期望收益值分别为…

…这样，便把有限个方案的多目标风险型决策问题转化成为有限方案的多目标确定型决策问题：10.4多目标确定性决策问题1.基本结构问题：从现有的m个备选方案中选取最优方案（或最满意方案），决策者决策时要考虑的目标有n个：。决策者通过调查评估得到的信息可用下表表示这一表式结构可用矩阵表示为称为决策矩阵，是决策分析方法进行决策的基础。决策准则：其中为第j个目标的权重。第一，在决策矩阵中，各目标采用的单位不同，数值及其量级可能有很大的差异。如果使用原来目标的值，往往不便于比较各目标。第二，权重如何确定？存在两个问题：1）效用值法2）向量规范化2.决策矩阵的规范化xy(1,2)xy

把造价向量（500，700，600）规范化

一般地，bij无量纲，在区间(0,1)内。但变换后各属性的最大值和最小值并不是统一的，其最大者不一定是1，最小者不一定是0，有时仍不便比较。还有一个问题，上面例子中的造价是越小越好，而抗震性能是震级越高越好，这样二者不统一，还需作处理。3）线性变换如目标为效益（目标值愈大愈好），可令如目标为成本（目标值愈小愈好），令

3.确定权的方法设第j位老手所提供的权重方案为：满足则汇集这些方案可列出如表所示。1)老手法首先，选聘L个老手（即专家或有丰富经验的实际工作者），请他们各自独立地对n个目标给出相应的权重。目标权重老手如果检验不通过，则需要和那些对应于方差估值大的老手进行协商，充分交换意见，再让他们重新调整权重，更新权重方案表。重复上述过程，最后得到一组满意的权重均值作为目标的权重。给定允许，若…则取各目标的权重为2）环比法这种方法先随意把各目标排成一定顺序，接着按顺序比较两个目标的重要性，得出两目标重要性的相对比率——环比比率，然后再通过连乘把此环比比率换算为都以最后一个目标基数的定基比率，最后在归一化为权重。设某决策有五个目标，下面按顺序来求其权重，见下表。目标按环比计算的重要性比率换算为以E为基数的重要性比率权重A2.04.50.327B0.52.250.164C3.04.500.327D1.51.500.109E—1.000.073合计13.751.000比较各目标的相对重要度，—第i个目标对第j个目标的相对重要性的估计值；

—这两个目标权重的比；如果决策人对（）的估计一致，则否则，,即。选择一组权，使3）权的最小平方法

如用拉格朗日乘子法解此有约束的优化问题，则拉格朗日函数为：为最小，其中满足4.强制决定法

此法要求把各个目标进行两两对比，两个目标比较，重要者记1分，次要者记0分。举例说明。考虑一个机械设备设计方案决策，设其目标有：灵敏度、可靠性、耐冲击性、体积、外观和成本共6项，首先画一个棋盘表格如下,其中打分所用列数为15（如目标数为n，则打分数为n(n-1)/2）。目标重要性得分总分修正总分权重灵敏度00111340.129可靠性11111560.286耐冲击性10111450.048体积00010120.143外观00000010.095成本00011230.238合计15211.000

在每个列内只打两个分，即在重要的那个目标行内打1分，在次要的那个目标行内打0分。该列的其余各行任其空着。表中总分列为各行得分之和，修正总分列是为了避免使权系数为0而设计的，其数值由总分列各数分别加上1得到，权重为各行修正总分归一化的结果。10.5.层次分析法（AHP）

背景案例-案例1第四轮学科评估指标体系前瞻分析（2017）一级指标二级指标三级指标师资队伍与资源专家团队千人计划、长江学者、国家杰青、百千万人才工程国家级人选、国家教学名师，全国十大杰出青年法学家获得者等教育部创新团队生师比主要强调导向，比例在一定区间内均为满分（学生包括全日制专业学位学生）专职教师总数人事关系在本单位的本学科专职教师和研究人员总数（设置上限）重点学科数①国家重点学科；②省重点学科重点实验室数教育部人文社科基地；省级哲学人文社科基地科学研究代表性学术论文质量近五年被SSCI、A&HCI收录的代表性论文的他引次数和（属“ESI高被引论文”加分）；近五年被CSSCI、CSCD收录的代表性论文的他引次数和近三年在“Science、Nature”上发表论文数人均发表学术论文数本学科三年内在SSCI、A&HCI及CSSCI、CSCD源期刊上人均发表的学术论文数出版学术专著数专著仅统计“著”的情况（若著作被国外知名出版社翻译为外文则加分）代表性科研项目情况①国家级项目（国家社科基金、国家自科基金、全国教育科学规划课题），境外合作科研项目；②教育部社科基金、国家清史纂修工程项目、全国高校古委会项目；③部委级项目、省级项目（省高校人文社科研究项目，省（哲学）社科基金，省自科基金）；④30项其他重要科研项目情况。科学研究获奖教育部高校科研优秀成果奖（人文社科）；省级哲学人文社科奖。人才培养学位论文质量全国优秀博士学位论文入选论文、提名论文数综合考虑全国博士学位论文抽检情况学生国际交流情况学生赴境外交流或联合培养的人数授予境外学生学位数授予博士/硕士学位数设置上限（含全日制专业学位学生）教学成果奖数国家级和省级优秀教学成果奖数教材质量“十二五”国家级规划教材（含“国家精品教材”）数学科声誉学科声誉（含学术声誉、社会贡献、优秀毕业学生情况、学术道德等）由学科声誉调查专家根据学术声誉、社会贡献、优秀毕业生情况、学术道德等印象，参考《学科简介》，做出“学科声誉”的评价。《学科简介》包括：学科基本情况、特色；客观指标未能统计的重要学术贡献、成果应用等的社会贡献，以及毕业生在政府部门、大型企事业、国内外大学等作出重要贡献等人才培养方面的情况。案例2某军工企业计划开发一种民用支柱产品，可选方案有n种。主要从以下三个方面分析：经济效益：投资省、利润高、见效快、适销对路、潜在市场广阔社会效益：充分利用资源、振兴地区经济、促进科技进步、扩大外贸出口、增加就业机会、有效环境保护技术可行性：军工优势发挥、军民兼容能力例题扩大外贸出口…支柱产品经济效益社会效益技术可行性促进科技进步投资省利润高见效快适销对路潜在市场广阔充分利用资源振兴地区经济增加就业机会有效环境保护军工优势发挥军民兼容能力民品i（Pi）民品n（Pn）民品1（P1）…选择支柱产品的层次结构引子层次分析法(AnalyticalHierarchyProcess,AHP)是美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty20世纪70年代提出的一种定性与定量分析相结合的系统分析方法，可以综合定性和定量分析、模拟人的决策思维过程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统。我国于1982年开始引进，现已在发展战略规划、产业结构调整、质量与风险评估、人才考核评价等方面得到广泛应用。10.5层次分析法（AHP）10.5.1建立层次结构模型将所包含的因素分组设层，并标明各层因素之间的关系，如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。目标层A准则层C方案层P目标A准则C1准则C2准则C3方案P1方案P2方案P3方案P4方案P510.5.2构造判断矩阵目标层A设计方案功能可靠性预期效益方案P1方案P2方案P3方案P4方案P5准则层C方案层P……对于复杂的社会、经济等问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。10.5.2构造判断矩阵判断矩阵是针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性的数量表示。这是将定性判断转变为定量表示的一个过程。设准则层中因素Ck与下一层P中的因素P1,P2,…,Pn有关，则构造的判断矩阵如下表：CkP1P2…PnP1P2...Pnb11b12...b1nb21b22...b2n.........bn1bn2...bnn矩阵B10.5.2构造判断矩阵其中bij通常取为1,3,5,7,9及它们的倒数，其含义是：bij=1,表示Pi与Pj一样重要；bij=3,表示Pi比Pj重要一点（稍微重要）；bij=5,表示Pi比Pj重要（明显重要）；bij=7,表示Pi比Pj重要得多（强烈重要）；bij=9,表示Pi比Pj极端重要（绝对重要）。其间的数2,4,6,8及各数的倒数具有相应的类似意义。10.5.3层次单排序根据判断矩阵，计算对于上一层次某因素而言，本层次与之有关的因素的重要性次序的权值。层次单排序可归结为计算判断矩阵特征根和特征向量问题。即对判断矩阵B，计算满足BW=

maxW的特征根与特征向量，W的各个分量wi即是相应因素单排序的权值。使用AHP，判断矩阵A的一致性很重要，但要求所有判断都有完全的一致性不大可能。因此，一般只要求A具有满意的一致性，此时λmax稍大于矩阵阶数n，其余特征根接近零。这时，基于AHP得出的结论才基本合理。为使所有判断保持一定程度上的一致，AHP步骤中需要进行一致性检验。10.5.4一致性检验为了检验判断矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标

max－nn－1CI=将CI与平均随机一致性指标RI比较，RI可从下表查得：阶数RI1234567890.000.000.580.901.121.241.321.411.45

只有当随机一致性比例CR=0.10时，判断矩阵才具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。CIRI10.5.5层次总排序利用单排序结果，可综合计算最底层(方案层)相对最高层(目标层)重要性顺序的组合权值。层次总排序从上到下进行。

C层因素C1、C2、C3对A层目标的单排序结果为c1、c2、c3假设已知

P层因素P1、P2、P3对C1、C2、C3的单排序结果为b11

、b21、b31b12、b22、b32b13、b23、b33目标A准则C1准则C2准则C3方案P1方案P2方案P310.5.5层次总排序则综合计算P1、P2、P3相对A的总排序结果可用下表表示：C对AP对CC1C2...Cmc1c2...cmP1P2...Pnb11b12...b1mb21b22...b2m.........bn1bn2...bnmP层次的总排序

i=1mcib1im

i=1cib2i...m

i=1cibniAHP计算的根本问题是计算判断矩阵的最大特征根

max及其对应的特征向量W.判断矩阵的特征值和特征向量的计算方法三种常用的计算方法：幂法、和积法、方根法幂法：计算机进行，可得到任意精确度的最大特征根

max及其相应的特征向量W。和积法：近似算法。方根法：近似算法。1.和积法[例1]用和积法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。BC1C2C3C1C2C31531/5111/31/33解：（1）将判断矩阵每一列正规化本例得到按列正规化后的判断矩阵为：（2）列正规化后的判断矩阵按行相加本例有：1.和积法

（3）将向量正规化

则所求特征向量：

W=[0.106，0.634，0.261]T1.和积法本例有：（4）计算判断矩阵的最大特征根

max1.和积法本例有：11/51/351331/310.1060.6340.261BW=(BW)1=10.106+1/50.634+1/30.261=0.320(BW)2=50.106+10.634+30.261=1.941(BW)3=30.106+1/30.634+10.261=0.785=(BW)1(BW)2(BW)3则一致性检验（检验该矩阵是否具有满意的一致性）一致性指标

CI=—————=—————=0.018；

max－nn-1

3.036－3

2查表，三阶矩阵的平均随机一致性指标RI=0.58；由于该矩阵的随机一致性比例CR=——=———=0.030.1CIRI0.0180.58所以该矩阵具有满意的一致性。C1，C2，C3相对B的排序为：W=[0.106，0.634，0.261]T

[例2]用方根法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。BC1C2C3C1C2C31531/5111/31/332.方根法解：（1）将判断矩阵B的元素按行相乘。本例有：（2）所得的乘积分别开n次方。本例有：（3）将方根向量正规化，即得所求特征向量W本例有：W=[0.105，0.637，0.258]T（4）计算判断矩阵最大特征根此处与和积法相同，略。本例有：

max=3.037例题[例3]决定某厂一笔企业留成利润目标：合理使用留成利润，促进企业进一步发展可选方案：5个目标层A合理使用企业留成利润准则层CC1:调动职工生产积极性C2:提高企业的技术水平C3:改善职工物质文化生活状况方案层P

P1:发奖金P2:扩建集体福利设施P3:办业余学校P4:建图书馆、俱乐部P5:引进新设备（1）判断矩阵A—C如该厂认为根据总目标有：目标层A合理使用企业留成利润准则层CC1:调动职工生产积极性C2:提高企业的技术水平C3:改善职工物质文化生活状况AC1C2C3C1C2C311/51/351331/31正规化C1AC2C3C3C1C20.11110.13040.07690.55560.65220.69230.33330.21740.2308W0.10420.63720.2583

AW=

=

可见，判断矩阵A－C具有满意的一致性。故有：(1)着眼于提高企业的技术水平(C2)(2)改善职工的物质文化生活(C3)(3)调动职工的生产积极性(C1)0.10420.63720.2583（2）判断矩阵C1－PC1P1P2P3P1P2P3135471/313251/51/311/23P4P5P4P51/41/22131/71/5