2025版高考数学一轮复习课后限时集训24平面向量的概念及线性运算文含解析北师大版

PAGE1-课后限时集训(二十四)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点共线；④假如a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0D[对于①，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段，故①错．对于②，当a与b中有一个是0时，a与b的方向不肯定相同或相反，故②错．对于③，直线AB与CD也可能平行，故③错．对于④，当b＝0时，a与c不肯定平行，故④错．]2．在△ABC中，已知M是BC中点，设eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)a－b B．eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)bA[eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，故选A．]3．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则下列肯定共线的三点是()A．A，B，C B．A，B，DC．B，C，D D．A，C，DB[因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．]4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)A[∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).]5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的一个充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|C[eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)⇔a＝eq\f(|a|b,|b|)⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]二、填空题6．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0；④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________．②[对于①，向量a与b的方向可以是随意的，故①错；对于②，由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→)).又A，B，C，D是不共线的四点，因此四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故②正确；对于③，当a＝0，λ＝1时，λa＝0，故③错；对于④，当两个向量有一个零向量时，两个向量的方向不肯定相同或相反，故④错．]7．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))满意等式eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形态为________．平行四边形[由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD为平行四边形．]8．(2024·郑州模拟)在△ABC中，eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(x,y)＝________.3[由eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(MB,\s\up6(→))得eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)，因此eq\f(x,y)＝3.]三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).[解]eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．[解](1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－8e1－2e2，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4e1＋e2＝－eq\f(1,2)(－8e1－2e2)＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线．又∵eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.∵A，C，D三点共线，∴eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，从而存在实数λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3).B组实力提升1．已知a，b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1D[因为A，B，C三点共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))(m≠0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,1＝mμ，))所以λμ＝1，故选D.]2．如图所示，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．eq\f(9,11) B．eq\f(5,11)C．eq\f(3,11) D．eq\f(2,11)B[留意到N，P，B三点共线，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，从而m＋eq\f(6,11)＝1⇒m＝eq\f(5,11).故选B.]3．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n(n∈N且n≥2)等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则x＝________(用含有n的代数式表示)．eq\f(1,n－1)[依题意与图形得eq\f(DF,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,n－1)(n∈N且n≥2)，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,n－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,n－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因为eq\o(AF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,n－1).]4．已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.[证明](1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(