2024-2025学年北师大版高二数学下学期同步训练之数学归纳法

2024-2025学年下学期高中数学北师大高二同步经典题精练之

数学归纳法

一.选择题（共5小题）

111111

1.（2。23秋•虹口区校级期末）用数学归纳法证明QQ+正…+-2直”N*）时‘由n=k

到〃=人+1时，不等式左边应添加的项是（）

111

A.-------B.--------------

2/c+l2/c+lk+1

1111

C.+D.一

2/c+l2/C+22/c+l2k+2

1111

2.（2。24•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式示+忘+…+茄>/22）的过程中，由〃

=左递推到〃=%+1时不等式左边（）

1

A.增加了

2(Zc+l)

11

B.增加了2/c+l+2/c+2

111

C.增加了2/c+l+2/C+2’但减少F

111

D-增加了瓦+m,但减少了%

3.（2024•鼓楼区校级模拟）用数学归纳法证明：f（n）=l+j+j+-+p>^<»£N*）的过程中，从

〃=上至!J〃=%+1时，f（Hl）比/（无）共增加了（）

A.1项B.2%-1项C.2叶1项D.2%项

4.（2024春•宛城区校级月考）用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）•（〃+〃）=2〃X1X3X5X…义⑵-1）

（九EN*）,从〃=%到〃=奸1,等式的左边需要增乘的代数式是（）

2/c+l2/C+3

A.2H1B.-------C.-------D.2⑵+1)

k+1k+1

5.（2024春•青浦区校级期末）用数学归纳法证明“对任意偶数及，6f-济能被〃-匕整除”时，其第二步

论证应该是（）

A.假设〃=无（女为正整数）时命题成立，再证〃=无+1时命题也成立

B.假设〃=2左（%为正整数）时命题成立，再证〃=24+1时命题也成立

C.假设〃=女（左为正整数）时命题成立，再证〃=2k+1时命题也成立

D.假设（女为正整数）时命题成立，再证几=2（Z+1）时命题也成立

二.多选题（共4小题）

（多选）6.（2024春•东昌府区期中）对于不等式Vnfn<Vi+2（neN*）,某同学用数学归纳法证明的

过程如下：

①当a=l时，V12+2<1+2,不等式成立；

②假设当w=Z（"6N*）时，不等式成立，即VH+2kVk+2,

则当n=k+l时，V（fc+1）2+2（fc+1）=Vfc2+4/c+3<V（fc2+4/c+3）+（2fc+6）=V（/c+3）2=

（fc+1）+2.

故当n=k+l时，不等式成立.

则下列说法错误的是（）

A.过程全部正确

B.”=1的验证不正确

C.〃=%的归纳假设不正确

D.从“=%到"=左+1的推理不正确

（多选）7.（2023春•斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n=k（髭N*,左》碗）时命题

成立，则当〃=%+1时命题也成立"，但不满足"当"=砌（处是题中给定的n的初始值）时命题成立”

的是（）

A.2">2”+1（心2）

B.2+4+6+,,•+2n=n2+n+2（”21）

C.凸"边形的内角和为/（w）=（n-2）it（w23）

D.凸w边形的对角线条数g（71）=弘导0（riN4）

（多选）8.（2021春•滨湖区校级期中）对于不等式后转〈〃+1（“6N*）,某学生用数学归纳法的证明

过程如下：

①当"=1时，Vl2+K1+1,不等式成立

②假设n=k（住N*）时，不等式成立，即k2+k<k+l,则n^k+1时，+1尸+（k+1）=

JJ2+3k+2）+（k+2）=J（k+2?=鼠+1）+1,.•.当w=A+l时；不等式成立.

关于上述证明过程的说法正确的是（）

A.证明过程全都正确

B.当〃=1时的验证正确

C.归纳假设正确

D.从〃=%到〃=左+1的推理不正确

（多选）9.一个与正整数〃有关的命题，当〃=2时命题成立，且由〃=%时命题成立可以推得〃=左+2时

命题也成立，则下列说法正确的是（）

A.该命题对于〃=6时命题成立

B.该命题对于所有的正偶数都成立

C.该命题何时成立与左取值无关

D.以上答案都不对

三.填空题（共3小题）

10.（2024秋•长沙县校级期末）用数学归纳法证明1+）上+…+占V”（“CN*,且心2）,第一步要

证的不等式是.

H.（2024秋•西峰区校级月考）若/（〃）=l+2+2?+23+…+25”-1用数学归纳法证明l+2+22+23+-+25n-1

是31的倍数（“6N+）,在验证"=1成立时，原式为.

12.（2024秋•船山区校级月考）如图，正方形的边长为14C7M,A2,Bi,Ci,£>2依次将481,

BiCi,CiDi,DiAi分为3：4的两部分，得到正方形A282c2。2,依照相同的规律，得到正方形A383c3。3、

A484c4。4、…、AnBnCnDn.一只蚂蚁从4出发，沿着路径44乂3…4爬行，设其爬行的长度为X,K

为正整数，且X与K恒满足不等式xWK,则K的最小值是.

四.解答题（共3小题）

13.（2024秋•上海校级期中）已知等差数列｛即｝的首项为m=2,公差为d,前〃项和为曲.若m=d=l,

用数学归纳法证明：Eili碎=S氯n&N,n>l）.

14.（2024春•西城区校级期中）已知数列｛如｝满足：m=l,且对任意w€N*,都有与+i=一里力.

（Jan+1）

（1）直接写出。2,。3,。4的值；

（2）猜想｛斯｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

15.（2024秋•泰安期中）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者

局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当（no£N）时命题成立；2.假设〃

=k(蛇N,且kNno)时命题成立，推导出在n=k+l时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断

定命题对从处开始的所有自然数〃都成立.已知有穷递增数列｛劭｝,41=7,。2>0,吒N*且〃23.定

义：集合/=｛(%/y)|x=Qj,y=a『1<i,j<n,i,jEN*｝,若对V(xi,yi)GA,3(%2,>2)eA,

使得xix2+yi”=0,则称｛斯｝具有性质T.

(1)若数列-1,1,2,机(m>2)具有性质T,求实数机的值；

(2)若｛斯｝具有性质T,且42=1,g=2,

(i)猜想当〃22时｛斯｝的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；

-325n+1

(ii)求+---+-----+…+-----;—(〃22).

2a23a312a4n(n-l)an

2024-2025学年下学期高中数学北师大版（2019）高二同步经典题精练之

数学归纳法

参考答案与试题解析

题号12345

答案DCDDD

选择题（共5小题）

111111

1.（2023秋•虹口区校级期末）用数学归纳法证明---+----+-----F------＞一（?1WN*）时，由〃=女

n+1n+2n+3n+n24

到〃=斤+1时，不等式左边应添加的项是（）

111

L-------

2/c+l2/c+lk+1

1111

--------+

2/c+l----2/C+22/c+l2/c+2

【考点】数学归纳法.

【专题】规律型.

【答案】D

【分析】只须求出当〃=女时，左边的代数式，当〃=4+1时，左边的代数式，相减可得结果.

1111

【解答】解:当时，左边的代数式为而+肃+而+…+能’

1111

当几=%+1时，左边的代数式为++…++-~

/c+1+1Zc+1+2k+l+/cZc+l+(Zc+i)

故用〃=4+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为:

11Ill

/c+l+/c/c+l+(/c+i)Zc+1―2/c+l2/C+2

故选：D.

【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设尸（〃）是关于自然数

〃的命题，若1）（奠基）尸（"）在〃=1时成立；2）（归纳）在尸（上）（左为任意自然数）成立的假

设下可以推出尸（左+1）成立，则尸（几）对一切自然数九都成立.

1111

2.（2024•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式——+——+…+一＞二（八22）的过程中，由〃

n+1n+22n2

=左递推到n=k+\时不等式左边（）

1

A.增加了

2(/c+l)

11

B.增加了+

2k+l2k+2

111

c.增加了而I+而5但减少F

增力口了等+11

D.'但减少了看

2/c+l

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解.

【答案】c

【分析】分别求出当〃=比时，不等式左边的表达式，通过比较，即可求解.

【解答】解：当〃=左时,

1111

不等式左边为於+示+百+…+不’

111111

当〃=4+1时，不等式的左边为++…++=----+----+…+

Zc+1+1--Zc+2+1-------/c+l+/c--/c+l+/c+l/c+2/c+3

111

—+----+-----

2k2/c+l2/c+2

111

故不等式左边增加了m+皿,但减少了";~~

故选：C.

【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.

3.(2024•鼓楼区校级模拟)用数学归纳法证明：/⑺=1+打升…+支2唠(吒N*)的过程中，从

”=人到〃=正1时，f(K1)比/*)共增加了()

A.1项B.2&-1项C.2tH项D.2后项

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】计算题；方程思想；综合法；推理和证明；运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，分析/*+1)、/1)的项数，进而计算可得答案.

【解答】解：根据题意，证明f(n)=l+升”••+十2竽时，

f(^+1)中有2-1项，f(^)中有/项，

则/(K1)比/(左)增加了2吩1-2斤=24项.

故选：D.

【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意归纳分析了(")的项数，属于基础题.

4.(2024春•宛城区校级月考)用数学归纳法证明：(M+1)(n+2)•(”+〃)=2"X1X3X5X…X(2n-1)

（a6N*）,从"=左到”=>1,等式的左边需要增乘的代数式是（）

2/c+l2/c+3

A.2k+1B.C.D.2⑵+1)

/c+1/c+1

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列.

【答案】D

(/c+l+Zc)(/c+1+Zc+l)

【分析】从到〃=%+1时左边需增乘的代数式是，化简即可得出.

k+1

【解答】解：用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(M+3)•••(〃+〃)=2»X1X3X5X-X(2n-1)(ziGN*)

时,

〃=左时，左侧=(Z+l)+2)…Qk+k),

〃=4+1时，左侧=(4+1+1)(4+1+2)…(4+1+k-l)(左+1+左)(K1+K1),

(/c+l+/c)(Zc+l+Zc+l)(2/c+l)(2Zc+2)

从〃=/到n=k+\时左边需增乘的代数式是1-----------------=-——#----------=2(2Z+1).

故选：D.

【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.（2024春•青浦区校级期末）用数学归纳法证明“对任意偶数〃，〃能被a-b整除”时，其第二步

论证应该是（）

A.假设”=左枭为正整数）时命题成立，再证”=4+1时命题也成立

B.假设w=2Z（%为正整数）时命题成立，再证〃=2%+1时命题也成立

C.假设〃=左（改为正整数）时命题成立，再证w=2A+l时命题也成立

D.假设"=2/（%为正整数）时命题成立，再证w=2（H1）时命题也成立

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解.

【答案】D

【分析】根据“为正偶数，故第二步的假设应写成：假设”=2左+2,在N*时命题正确，再推〃=24+2时

正确.

【解答】解：根据证明的结论，〃为正偶数，

故第二步的假设应写成：假设〃=2比依N*时命题正确，

即当"=24，keN*时，/A-射上能被。-b整除，再推〃=24+2时正确.

故选：D.

【点评】本题考查数学归纳法，考查数学归纳法的证题步骤，属于基础题.

二.多选题（共4小题）

（多选）6.（2024春•东昌府区期中）对于不等式VW+2nVn+2（neN*）,某同学用数学归纳法证明的

过程如下：

①当w=l时，V12+2<1+2,不等式成立；

②假设当"=A;"eN*）时，不等式成立，即MH+2kVk+2,

则当n=k+1时，4也+1尸+2（k+1）=+4k+3V也2+4〃+3）+（23+6）=J（k+3。=

（k+1）+2.

故当"=上+1时，不等式成立.

则下列说法错误的是（）

A.过程全部正确

B.n=\的验证不正确

C.〃=上的归纳假设不正确

D.从"=左到〃=左+1的推理不正确

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】对应思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维.

【答案】ABC

【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.

【解答】解：适合命题的第一个自然数〃=1,验证〃=1时过程正确；

假设当”=笈（"6N*）时，不等式成立，即:k2+2>9+2,该假设正确；

在〃=/+1时，没有应用〃=4时的假设，即从〃=%到w=%+l的推理不正确，

故。错误，ABC正确.

故选：ABC.

【点评】本题考查利用数学归纳法证题的步骤，是基础题.

（多选）7.（2023春•斗门区校级期中）以下四个命题，其中满足“假设当n=k（髭N*,左2砒）时命题

成立，则当n=k+l时命题也成立"，但不满足“当〃=硕（项是题中给定的n的初始值）时命题成立”

的是（）

A.2">2/1（心2）

B.2+4+6+…+2〃="2+〃+2（〃三1）

C.凸"边形的内角和为了（"）=-2）IT（〃23）

D.凸n边形的对角线条数g(n)=2)(n>4)

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑；运算求解.

【答案】ABC

【分析】对于命题A,可以验证当〃等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；

对于命题8,容易验证假设〃=左时命题成立，则当〃=%+1时命题也成立.对于初始值”=1时，不成

立，所以满足条件；

对于命题C,容易验证假设〃=上时命题成立，则当〃=4+1时命题也成立.对于初始值九=3内角和为

m不成立.故满足条件；

对于命题凸“边形对角线条数/(")=%2，假设〃=左时命题成立，当"=%+1时多了一条边，

即多了一个顶点，故多了上个对角线，则可以验证当"=%+1时不成立，不满足要求.

【解答】解：对于命题A,2">2”+1(”22),当〃=2的时有4<5,故当九等于给定的初始值时不成立，

所以满足条件；

对于命题8,2+4+6+…+2"=/+”+2

假设"=上时命题成立，即2+4+6+…+2左=您+k+2,

当n—k+l时有2+4+6+…+2A+2(k+1)=您+/+2+2(改+1)=+2k+1+k+3=(k+\)'+(Z+l)+2,

故对”=4+1时命题也成立，对于初始值"=1时有4N4+2+2,不成立.所以满足条件；

对于命题C,凸〃边形内角和为f(n)=(«-1)JT(〃23),

假设〃=%时命题成立，即/(左)=(攵-1)TT,

当〃=k+1时有/(4+1)=于(k)+n=Ki,故对〃=4+1时命题也成立，

对于初始值几=3内角和为e不成立.故满足条件；

对于命题凸〃边形对角线条数/(〃)=吟2,

假设〃=上时命题成立，即/(%)=如尹，

当〃=4+1时，有/(z+i)=f(k)+k-1=+k-1=^2^*(fc+W-1),故不满足条件.

故选：ABC.

【点评】本题考查了数学归纳法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(多选)8.(2021春•滨湖区校级期中)对于不等式Si2+几<〃+1(尤N*),某学生用数学归纳法的证明

过程如下：

①当"=1时，V12+1<1+1,不等式成立

②假设n=k(依N*)时，不等式成立，即k1+k<k+l,贝|Jn=k+\时，+(k+1)=

J®+3k+2)+(k+2)=J(k+2?=鼠+1)+1,.•.当w=A+l时；不等式成立.

关于上述证明过程的说法正确的是()

A.证明过程全都正确

B.当〃=1时的验证正确

C.归纳假设正确

D.从“=%到〃=左+1的推理不正确

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维.

【答案】BD

【分析】利用数学归纳法的证明步骤，写出正确的证明过程，即可判断选项中的命题是否正确.

【解答】解：用数学归纳法证明也落钺<”+1(”6N*)的过程如下：

①当〃=1时，Vl2+1<1+1,即&<2,不等式成立；

②假设"=左(蛇N*)时，不等式成立，即皿2+)<左+1,两边平方得，必+%<严+2左+1,即0<4+1,显

然成立；

则”=左+1时，J(k+1)2+(k+1)=皿2+3k+2<7(炉+3k+2)+(k+2)=J(k+2尸=1+l)

+1,

所以当w=A+l时，不等式也成立.

由此知，原证明过程的说法中，正确的是BD.

故选：BD.

【点评】本题考查了数学归纳法的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题.

(多选)9.一个与正整数九有关的命题，当〃=2时命题成立，且由〃=左时命题成立可以推得〃=4+2时

命题也成立，则下列说法正确的是()

A.该命题对于〃=6时命题成立

B.该命题对于所有的正偶数都成立

C.该命题何时成立与人取值无关

D.以上答案都不对

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】转化思想；归纳法；推理和证明；运算求解.

【答案】AB

【分析】根据已知条件，结合数学归纳法的原理，即可依次求解.

【解答】解：：当"=2时命题成立，且由〃=上时命题成立可以推得"=左+2时命题也成立，

...当"=2+2=4时，命题成立，从而对九=6时，命题成立，故A正确，

假设当”=2旭时，命题成立，则当〃=2«1+2时，命题也成立，

故命题对于所有的正偶数都成立，故8正确，

由命题与正整数w有关，故命题何时成立与人取值有关，故C错误.

故选：AB.

【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.

三.填空题（共3小题）

10.（2024秋•长沙县校级期末）用数学归纳法证明1+*+/+…+mgV”（”6N*,且〃、2）,第一步要

证的不等式是1+1+]<2.

【考点】数学归纳法.

【专题】计算题；规律型；分析法；推理和证明.

【答案】见试题解答内容

【分析】观察不等式的特点，然后写出结果即可.

【解答】解：1+.+打…+（“WN*,且心2）,

左侧的表达式的分母可知第％项是由1,2,3,到沙-1,结束；

第一步要证的不等式是：1+：+/<2.

11

故答案为：1+^+可<2.

【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意观察表达式的特征是解题的关键.

11.（2024秋•西峰区校级月考）若/（a）=l+2+2?+23+…+25”-1用数学归纳法证明1+2+2?+23+…+25”7

是31的倍数（“CN+）,在验证"=1成立时，原式为1+2+2?+23+24.

【考点】数学归纳法的适用条件与步骤.

【专题】对应思想；数学模型法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解.

【答案】1+2+22+23+24.

【分析】由题意直接在1+2+22+23+…+251中取〃=1得答案.

【解答】解：用数学归纳法证明1+2+2?+23+…+25”-1是31的倍数（“6N+）,

在验证”=1成立时，原式为1+2+22+23+24.

故答案为：1+2+22+23+24.

【点评】本题考查数学归纳法证题的步骤，是基础题.

12.(2024秋•船山区校级月考)如图，正方形A18C1O1的边长为14cm,A2,Bi,Ci,功依次将A181,

BiCi,CiDi,DiAi分为3：4的两部分，得到正方形A282c2。2,依照相同的规律，得到正方形A383c3。3、

A484c4〃4、…、AnBnQnDn.一只蚂蚁从Al出发，沿着路径A1A*3…4爬行，设其爬行的长度为X,K

为正整数，且尤与K恒满足不等式xWK,则K的最小值是21.

【考点】数学归纳法证明命题.

【专题】整体思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解.

【答案】21.

【分析】由题结合图形，通过数学归纳得出数列{|4公"+1|}以6为首项，,为公比的等比数列，求和分析

即可.

【解答】解：由正方形AIBCLDI的边长为14c",A2,BI,Ci,依次将ALBI,BICI,C1D1,D1A1

分为3：4的两部分，

QQ______QH

22

得力遇2=7x14=6cm,i42i43=yxV6+8=7.

可得空空=同理可得强竺=Z,汕=Z,...,生&±1=9.

^2^35人3人45幺4生5An^1An7

设数歹U{|AnA计1|},则该数列以6为首项，；为公比的等比数列，

••.|43n+ll=6*6尸-1，

则X=田仁=21-21x(1)n<21,

又当“一+8时，x-21,

...若x与正整数K恒满足不等式xWK,则K的最小值是21.

故答案为：21.

【点评】本题考查归纳法的应用，考查等比数列的前〃项和，考查运算求解能力，是中档题.

四.解答题（共3小题）

13.（2024秋•上海校级期中）已知等差数列｛斯｝的首项为m=2,公差为d,前w项和为若m=d=l,

用数学归纳法证明：£震1a：=GN,n>1）.

【考点】数学归纳法证明命题；求等差数列的前n项和.

【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解.

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，求出等差数列｛斯｝的通项前〃项和为S,再利用数学归纳法证明.

【解答】证明：等差数列｛丽｝的首项为m=2,公差为d,前”项和为8.若m=d=l,

XT/|^〃〃=1+〃-1—H-9Sn=21^（九一1）—21（〃？+〃）,

下面运用数学归纳法证明：

当〃=1时，埼=1,S/=1,原等式成立；

假设当〃=左（屈N*）时，原等式成立，即£3即奈=iA=［牛马2,

则当〃=%+1时，2^=1碇+i=£3碇+碇+i=（%+1）3

77

=空•上+4（fc+1）］=中.（k+2产=.+1y+2）『=sk，

即当〃=k+1时，原等式成立，

所以对一切成N*,等式1X1碎=S/成立.

【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数学归纳法，考查转化思想和运算能力、推理

能力，属于中档题.

14.（2024春•西城区校级期中）已知数列｛而｝满足：ai=l,且对任意wCN*,都有与+i=—晅二.

G/an+1）

（1）直接写出<72,a3,。4的值；

（2）猜想｛珈｝的通项公式，并用数学归纳法证明.

【考点】数学归纳法证明命题.

【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解.

［答案］⑴。3=舌，04=白.

1

（2）猜想：册=专，证明详见解析.

【分析】（1）直接结合数列递推式，即可求解;

(2)结合数学归纳法的法则，即可证明.

111

【解答】解：(1)。2=4，。3=3，。4=正

(2)猜想：an=今.(*)

下用数学归纳法证明：

①当〃=1时，(*)成立.

②假设〃=左(左21)时(*)成立，即以=/.

1

？1

则当n=k+l时,=

(k+1/(fc+1)2

k2

故(*)对〃=4+1也成立.

由①②，对任意“CN*,(*)成立，即加=，.

【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题.

15.(2024秋•泰安期中)数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个(或者

局部)自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当〃=wo(MOGN)时命题成立；2.假设“

=k(%N,且k》no)时命题成立，推导出在w=Z+l时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断

定命题对从硕开始的所有自然数〃都成立.已知有穷递增数列｛珈｝,ai=-1,破>0,wCN*且w23.定

义：集合力={(x,y)\x=%,y=ay1<i,j<n,i,jEN*},若对V(xi,yi)eA,3(尤2,”)

使得xix2+yiy2=0,则称｛外｝具有性质T.

(1)若数列-1,1,2,m(m>2)具有性质T,求实数机的值；

(2)若｛斯｝具有性质T,且3=1,。3=2,

(i)猜想当时｛加｝的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想；

..、」、325n+1

(ii)求---+----+-----+…+----------(〃22).

2a23a312a4n(n-l)an

【考点】数学归纳法.

【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类.

【答案】⑴4；

1

(2)(i)厮=2n-2(n>2)；(ii)2——

n-2

【分析】(1)讨论(XI,VI)的不同取法，根据性质T的定义，结合数列的单调性，即可求得参数值;

(2)(i)猜想即=2叱25n2),再利用数学归纳法，结合性质T的定义，分类讨论，即可证明；

(ii)利用(i)中所求通项公式，利用裂项求和法，即可求得结果.

【解答】解：有穷递增数列｛劭｝,ai=-1,及>0,吒N*且〃23.定义：集合4=｛(%,y｝\x=aify=

%,1<i,j<nfi,jCN*h

若对V(xi,yi)EA,3(%2,”)GA,使得了ix2+yiy2=0,则称｛斯｝具有性质T.

(1)若数列-1,1,2,根(m>2)具有性质T,

当(xi,yi)=(-1,m)时，取(X2,”)=(m,1),满足题意；

当(xi,yi)=(1,m)时，取(及，”)=(m,-1),满足题意；

当(xi,yi)=(2,m)时，2x2+my2=0,此时12,y2中有且仅有一个数为-1,

若X2=-l,则租=丁6(0,2],不满足题意；

若丁2=-1,则机=2X2=2或4或2加，

又因为m>2,故m=4；

综上所述，m=4.

(2)(i)若｛丽｝具有性质T,且。2=1,。3=2,

猜想%i=2n-2(n>2).

运用数学归纳法证明如下：

当n=2时，an=2"一2满足题意；

假设〃=%时，以=2九一2成立，则当〃=%+1时，

若(xi,yi)=(-1,ak+1),则取(%2,>2)=(以+1,1)满足题意；

若(xi,yi)=Cai,以+i),i=2,3,…，％+1,贝！JX2,”中有且仅有一个数为-1,

当％2=-1时，设”=勾，j=2,3,•••,攵+1,贝！J-〃叶公+1/=0,

故以+1=*<七<%+i，当且仅当，=女+1，，=2时，取得等号；

aj

当”=-1时，设12=勾，，=2,3,左+1,则。吗=皿+1=2，+/-4,

记i+j-4=p,则j=p-z+4；

因为对任意的力=2,3,…，Z+1,都有j=p-i+4=p-Z+3,p-H4,…，p+2在2,3,4,…，k+1中取

到，

则^p=k-1;

(p+2<fc+1卜

故i+j=k+3,故以+i=2(上+1)—2成立；

n2

综上，an=2~(n>2).

71+1n+111

（五）因为时,n-3

n2九一

n(n-l)an(n-iyn-2~(n-l)-2m22'

325n+1111111

故—+—+----+■,•+----------=(2——)+(———)+(———)+,•,+r------------

yLn3

2a23a312a4n(n-l)an'2，6，%16(n-l)-2-

1

n-2n~2^

1

=2-E"

【点评】本题考查数列的新定义和数列的性质，以及数学归纳法的应用，考查转化思想和运算能力、推

理能力，属于中档题.

考点卡片

1.求等差数列的前n项和

【知识点的认识】

等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个

数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示.其求和公式为

(»-1)d或者际=幽产

【解题方法点拨】

-代入计算：将具体问题中的n值代入前〃项和公式，计算数列的前n项和.

-推导公式：根据实际问题推导出数列的前"项和公式.

-综合应用：将前w项和公式与其他数列性质结合，解决复杂问题.

【命题方向】

常见题型包括利用等差数列的前〃项和公式计算具体项，推导数列和公式，解决实际问题.

已知等差数列｛珈｝的前几项和为断，若S3=〃3,04=5,则S=.

解：设等差数列｛劭｝的公差为由

”i+〃2=m+ai+d=0,

又「〃4=5,/.ai+3d=5,

解得，a\=-1,d=2,

故1)・2=层-2〃，

故答案为：n2-2n.

2.数学归纳法

【知识点的认识】

1.数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数次的所有正整数〃都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)证明当〃=加时命题成立；

(2)假设当〃=%(笈N+,且左2〃o)时命题成立，证明〃=%+1时命题也成立.

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于w的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳

法.

2.用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可.

(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.

在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立.

(2)证明了第二步，就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第

一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断

命题对no+l,no+2,是否正确.

在第二步中，命题成立，可以作为条件加以运用，而〃=%+1时的情况则有待利用命题的已知条件，

公理，定理，定义加以证明.

完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论.

3.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：

①明确初始值m并验证真假.(必不可少)

②“假设〃=%时命题正确”并写出命题形式.

③分析。=4+1时”命题是什么，并找出与时命题形式的差别.弄清左端应增加的项.

④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上

假设.

3.数学归纳法的适用条件与步骤

【知识点的认识】

1.数学归纳法

一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数"0的所有正整数〃都成立时，可以用以下两个步骤：

(1)