2020-2024年中考数学复习分项汇编：圆（河南专用）

专题15圆（解析版）

五年中考真题

解答题

1.（2020•河南•统考中考真题）如图，在扇形BOC中，/30。=60。,0。平分/5。。交弧5。于点

。.点E为半径上一动点若06=2,则阴影部分周长的最小值为.

【答案】272+-.

3

【解析】

【分析】如图，先作扇形。CB关于对称的扇形OAB,连接A。交于E,再分别求解AO,CD的长

即可得到答案.

【详解】解：C阴影=CE+DE+CD,

。阴影最短，则CE+D石最短，

如图，作扇形0cB关于对称的扇形。4瓦连接A。交。B于E,

则CE=AE,

CE+DE=AE+DE=AD,

此时E点满足CE+DE最短，

/COB=ZAOB=60°,OD平分CB,

/.ZDOB=30°,ZDOA=90°,

•,-OB=OA=OD=2.

:.AD=1*+*=2叵

30乃x27V

而CD的长为:

180y

'''C阴影最短为2A/^+§.

故答案为：2A/2+—.

3

【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的

应用，掌握以上知识是解题的关键.

2.（2020•河南•统考中考真题）我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一

个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的，人们根据实际需要，发明了一种简

易操作工具三分角器.图1是它的示意图，其中A5与半圆。的直径在同一直线上，且A5的

长度与半圆的半径相等；03与AC重直于点民足够长.

使用方法如图2所示，若要把NMEN三等分，只需适当放置三分角器，使。3经过NMEN的顶点E,点

A落在边上，半圆。与另一边EN恰好相切，切点为尸，则EB,E。就把/MEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写

出“证明”过程.

图1

已知：如图2,点在AB,同一直线上，E3LAC,垂足为点3,

求证：__________

【答案】E在里MEMA^AB=OB=OC,_EN为半圆0的切线，切点为F；EB,EO为NMEN

的三等分线.证明见解析.

【解析】

【分析】如图，连接OF.则/OFE=90。，只要证明AELB名AEOB,AOBEWOFE,即可解决问题；

【详解】已知：如图2,点在A8,0,C同一直线上，E3_LAC,垂足为点3,E在BD上,近过点A,

AB=OB=OC,EN为半圆。切线，切点为F.

求证：EB,EO为NMEN的三等分线.

证明：如图，连接OF.则/OFE=90。，

VEB1AC,EB与半圆相切于点B,

/.ZABE=ZOBE=90°,

VBA=BO.EB=EB,

:.AEAB%AEOB

：.ZAEB=ZBEO,

VEO=EO.OB=OF,ZOBE=ZOFE=90°,

AOBE为OFE,

/.ZOEB=ZOEF,

ZAEB=ZBEO=ZOEF,

AEB,EO为/MEN的三等分线.

故答案为：E在BD上,ME过点A,AB=OB=OC,EN为半圆。的切线，切点为土.

EB,EO为NMEN的三等分线.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，

构造全等三角形解决问题.

3.（2021・河南•统考中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,。均在小

正方形的顶点上，且点3，。在AO上，ZBAC=22.5°,则5。的长为.

【答案】彳

【解新】如图，作48的垂直平分线交4。的垂直平分线于

点。，则点。即为前所在圆的圆心.易知。8=5.连接0C,

4.(2021•河南•统考中考真题)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连

接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄

连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1,两个固定长度的“连杆”"，的连

接点尸在。。上，当点P在。。上转动时，带动点A,5分别在射线31,ON上滑动，OM±ON.当

"与0。相切时，点3恰好落在。。上，如图2.

请仅就图2的情形解答下列问题.

(1)求证：ZPAO=2ZPBO；

(2)若。。的半径为5,AP=y,求的的长.

【答案】(1)见解析；(2)3M

I(1)证明：如图，连接OP.

巧作辅助我：遇工"4q半径，得垂■直

•••4。是。。的切线，

/.OPLAP,:.Z_OPA=90°,

/.LPAO+乙尸04=90°.

1.•0A10B,

LP0A+Z1=90°,

乙PAO=乙1.

OP=OB,

乙OPB=乙OBP,

乙1=2乙PBO,

乙PAO=2乙PBO.

(2)如图，过点P作PC_L0N,垂足为C.

c3

/.tanZ_PAO=—.

4

•「乙1=Z_PAO,

八PC3

-'an41=瓦=不

设PC=3x,OC=4%贝ij0尸=vOC2+PC2=5x,

/.%=1,

PC=3,OC=4,

/.BC=5+4=9.

在RtAPBC中=/PC2+BC2=万守=3/10.

5.（2022・河南•统考中考真题）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点。移到OB的中点0'处，得到

扇形若/0=90。，。4=2,则阴影部分的面积为.

【答案】工+走

32

【解析】

【分析】设AO与扇形AOB交于点C,连接OC,解Rt^OCO',求得0'。=6,/。03=60。，根据

阴影部分的面积为S扇形A，OB—（S扇形OCB—S^oco，）,即可求解・

【详解】如图，设A'O与扇形A03交于点C,连接OC,如图

A

OorBBf

*/Or是。3的中点

OO'=-OB=-OA^1,OA=2,

22

•••ZAOB=90°,将扇形AOB沿08方向平移,

.-.ZA'OV=90°

.-.ZCOB=60°

..O'C=OCsin60o=百

阴影部分的面积为S扇形A,。®—（S扇形OCB-SAOCO）

=S扇形A08'-S扇形0C5+SAOCO,

二包-%x2?--^-^x22+—xlx^/3

3603602

，+3

32

故答案为：工+走

32

6.（2022•河南•统考中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的

比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环

。。与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AO的夹角为NA4D,点。，A,B,C,。在同一平面内.当

推杆AB与铁环。。相切于点B时，手上的力量通过切点8传递到铁环上，会有较好的启动效果.

（1）求证：ZBOC+ZBAD=90°.

（2）实践中发现，切点8只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动.图中点8是该区域内最低

3

位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cosN54D=g.已知铁环。。的半径为25cm,推杆AB的

长为75cm,求此时A。的长.

【答案】（1）见解析（2）50cm

【解析】

【分析】（1）根据切线的性质可得OCLCD,AB±OB,根据ADLCD,可得AO〃OC,过点3作

BE//AD，根据平行线的性质可得NR4D=NXB4,ZCOB=ZOBE,进而即可得证；

（2）过点3作CD的平行线，交AD于点G,交OC于点口，由（1）得到=在RtZVLBG,

中，求得AG,6尸,进而求得Of尸C,根据AD=AG+GD即可求解.

【小问1详解】

证明：；。。与水平地面相切于点c,

:.OCLCD,

\ADLCD,

:.AD^OC,

•.•AB与。。相切于点瓦

:.ABLOB,

.-.ZOBA=90°,

过点3作BE〃A。，

:.ZBAD=ZEBA，BEHOC

：.ZCOB=ZOBE,

ZCOB+ZBAD=ZOBE+ZABE=ZOBA=90°,

即NBOC+N8AQ=90°.

【小问2详解】

如图，过点5作CD的平行线，交A。于点G,交0c于点

:.FG±AD,FG±OC,则四边形CFGD是矩形,

vZBOC-^-ZBAD=90°,ZABO=90°,

.•.Z.OBF=90°-/FOB=ZA,

3

在Rt^ABG中，vcosZBAD=-,AB=75cm,

3

/.AG=ABxcosABAD=75x—=45(cm),

3

在中，cosAOBF-cosA=—,OB=25cm,

33

BF=OBx-=25x-=15(cm),

55

OF=y]OB2-BF2=V252-152=20(cm),

FC=OC-OF=25-20=5(cm),

DG=FC=5cm,

.­.AD=AG+GD=45+5=50(cm).

【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键.

7.(2023•河南•统考中考真题)如图，点48,C在。。上，若NC=55。，则/AOfi的度数为()

B

A.95°B.100°C.105°D.110°

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据圆周角定理即可得.

【详解】解：；NC=55°,

由圆周角定理得：ZAOB=2ZC=110°,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键.

8.(2023•河南•统考中考真题)如图，Q4与。。相切于点A,PO交。0于点B,点C在Q4上，且

CB=CA.若。4=5,PA=12,则C4的长为

【解析】

【分析】连接。C,证明AQAC也Aoec,设CB=C4=x,则PC=K4—C4=12—X,再证明

△PAOs/BC,列出比例式计算即可.

【详解】如图，连接。C,

:与。。相切于点A,

NQ4c=90°；

OA=OB

■：＜CA=CB,

OC=OC

：.AOAC^AOBC,

ZOAC=ZOBC^90°,

：.ZPAO^ZPBC^90°,

VZP=ZP，

APAOS^PBC,

.POAO

"PC-BC'

•••0A=5,PA=12,

PO={52+12?=13,

设CB=C4=x,则PC=B4—G4=12—x,

,135

12-xx'

解得X=W,

3

故C4的长为W,

3

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练

掌握性质是解题的关键.

9.（2024•河南•统考中考真题）如图，OO是边长为4月的等边三角形ABC的外接圆，点。是的

中点，连接50,CD.以点。为圆心，5。的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

8兀“1071

A.—B.4兀C.-----D.16兀

33

【答案】C

【解析】

【分析】过。作于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出N5DC=120。，利用

弧、弦的关系证明比＞=8,利用三线合一性质求出BE=^3C=2百，ZBDE=-ZBDC=6Q0,在

22

中，利用正弦定义求出3。，最后利用扇形面积公式求解即可.

【详解】解：过。作。ELBC于E,

A

D

V。。是边长为4出的等边三角形ABC的外接圆,

/.BC=4A/3>ZA=60°,ZB£>C+ZA=180°,

/.ZB£>C=120°,

:点。是BC的中点，

BD=CD，

BD-CD，

：.BE=-BC=2^3,ZBDE=-ZBDC=6Q0,

22

：.BD=BE=咨=4,

sinNBDEsin60°

,_120^-42_167r

・△c阴影=』-=亍’

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直

角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键.

一年模拟新期

一、单选题

1.（2024•河南洛阳•一模）如图，四边形ABC。内接于连接。4,OC.若/8=110。，则/AOC的

度数为（）

C.110°D.140°

【答案】D

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角与圆周角的关系，解题的关键熟知相关性质.

根据圆内接四边形对角互补可求得然后再根据同弧上的圆心角等于圆周角的2倍即可得到结论.

【详解】：四边形ABCD内接于。0,

，/。+/3=180°,

ZB=110°,

二ND=70°,

1/ZAOC与一。所对的弧都是ABC，

ZAOC=2ZD=140°.

故选：D.

2.（2024・河南周口•一模）如图，。。是AASC的外接圆，半径ODLAC于点E,连接8,若NABC=72。,

则NEZJC的度数是（）

【答案】B

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，

连接AD,由圆内接四边形的性质得出加心=108。，由垂径定理得出AE=CE,ZAED=ZCED=90°,由

线段垂直平分线的性质得出AD=CD,最后由等腰三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，连接AD,

/.ZADC=180。—ZABC=108°,

・・・OD_LAC,

:.AE=CE,ZAED=NCED=90。,

AD=CD,

ZEDC=ZEDA=-ZADC=54°,

2

故选：B.

3.(2024・河南信阳•一模)如图，已知C是。。上任一点，且NC=120。，则NA0B=()

A.110°B.120°C.130°D.100°

【答案】B

【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可.

【详解】解：：/C=120。，

优弧AB所对的圆心角的度数为240。，

ZAOB=360°-240°=120°；

故选B.

4.（2024•河南关B州•二模）如图，的直径4B与弦DE交于点C,DC=OC.若/OCO=100。，则的

度数为（）

D,

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理，连接OD,OE,利用等腰三角形

性质，三角形内角和定理，得到N49E=60。，再利用圆周角定理得到=即可解题.

ZDCO=100°,

ZOCE=8Q°,

'：OD=OE,

:.NOEC=/D=40。,

/.ZAOE=180°-ZOCE-ZOEC=60°,

AE=AE，

ZB=-ZAOE=30°.

2

故选：B.

5.（2024.河南安阳•二模）如图，圆。的弦AB的长度为虚，点A,B,C为圆周上三点，若/C=45。,

则圆。半径为（）

O.

AB

A.1B.2c.72D.73

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理，以及勾股定理.熟练掌握定理是解题的关键.先利用圆周角定理求出所

对应的圆心角的角度，再利用勾股定理求出半径的长度.

【详解】解：,.•"=45。,

:.ZO=90°,

OA=OB=r,

ZOAB=ZOBA=45°,

在RtAOAB中,

解得：r=l或厂=-1（舍）

故选：A.

6.（2024•河南平顶山•二模）如图，8切。。于点。，0c交。。于点A,垂直平分QD.若AB=2g,

则线段OC的长为（）

B.4C.4A/3D.8

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，含有30。角的直角三角形的边长关系，连接A。，

根据垂直平分线的性质得到△AOD为等边三角形，可得/48=60。，再利用垂径定理得到==6,

求得OD的长，即可求得OC,作出辅助线，熟练得到各线段的边长关系是解题的关键.

【详解】解：•.,9垂直平分OD,

AO=AD,AE=—AB=^3,

2

OA=OD,

.•.△AOD为等边三角形,

AAOD=60°f

:.OE=AE^1,

tan60°

OD=2OE=2,

/.OC=2OD=4,

故选：D.

7.（2024•河南南阳三模）如图，A,B,C为。。上的三个点.，ZAOC=6NBOC,若N54C=10。，则ZAO3

的度数为（）

A.120°B.100°C.110°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，求得/BOC,再利用题中信息得到/AOC,即可解

答，熟练运用圆周角定理进行角度转换是解题的关键.

【详解】解：由题意NBOC=2N54C=20。，

ZAOC=6ZBOC,

ZAOC=120°,

ZAOB=ZAOC-ABOC=100°,

故选：B.

8.（2024.河南•三模）如图，PA.PB是。。的切线，切点分别为A、B,尸。的延长线交。O于点C,连接

OA,OB,BC.若49=5,OP=10,则NC等于（）

A

A.60°B.20°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】根据切线性质得出NPBO=90。，根据AO=5,OP=10得出BO=OD=OB=；P。，证明即是

等边三角形，得出/。。3=60。，根据圆周角定理即可得答案.

【详解】解：设尸。交。。于。，连接BO,

,：PA.尸3是。。的切线，

OBLPB,

：.NPBO=90。,

*.*OA=OB=OD=5,OP=10,

・・・OD=PD=5,

：.BD=OD=OB=-PO,

2

・•・是等边三角形，

JZDOB=60°,

ZC=-ZDOB=30°.

2

故选：c.

【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定与性质及圆周角定理，熟

练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

二、填空题

9.（2024.河南郑州.三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点43均在小正方形的顶点上,

以点B为圆心，2为半径画弧，与网格线交于点C,则经过点B的弧AC的长为.

【答案】磋兀

6

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，弧长公式，

如图，设点。为AC所在圆的圆心，连接3C、AB、OA,OB、OC,

BF1

由sin===彳可得/ACB=30。，进而由圆周角定理得NAC®=60。，即得“103是等边三角形，得

BC2

至"2=49=20=应，再得至U3O=OC=0，由勾股定理逆定理得到ABOC为直角三角形，N3OC=90。，

即得NAOC=150。，再利用弧长公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，设点。为AC所在圆的圆心，连接BC、AB.OA,OB、OC,

,:BC=2,BF=1,

：.sinZACB=—=-,

BC2

ZACB=30°,

ZAOB=60°,

OA=OB,

AAOB是等边三角形，

AB=AO=BO=叵,

20=OC=0,

•/OB2+OC2^BC2=4,

；•ABOC为直角三角形，ZBOC=90°,

ZAOC=600+90°=150P,

：.^AC的长="°无义应=迫兀，

1806

10.（2023•河南南阳•一模）如图，正六边形ABCDEF内接于。。，若DE=2,则阴影部分的面积为

【分析】本题考查正多边形的性质和不规则图象的面积，阴影部分的面积等于菱形的面积的一半加上一个

扇形的面积再减去一个三角形的面积，根据图形的性质分别求出相应边的长即可解答.学会用割补法求面

积是解题关键.

【详解】解：连接OB、OF、OC,OD,如图，作ONLCD,

:正六边形ASCDE尸内接于。O,DE=2,

则△(!",AOAB,AOBC,AOCD均是等边三角形，

ACD=DE=OD=OA=AB=AF=2,四边形AFOB是菱形，

则AM=OM=；OA=1,BM7AB2-AM?=垂>，FM=yjAF2-AM2=73>

DN=CN=；CD=1,ON=>JOD2-DN2=A/3»

/.BF=2g,

SAAFB=—x—X2X2A/3=5/3,

22

_60%x4_2"

扇形"0―360一5'

S

AOCD=1X2XA/3=A/3,

s阴影=6+g-石=g•

故答案为：：兀.

H.（23-24九年级上•河南南阳•期末）如图，C4、CB分别切。。于点A、B,AC与02的延长线相交于点

P.若AC=3,CP=5,则。。的半径长为

°

ACP

【答案】6

【分析】本题主要考查了切线长定理，相似三角形的判定和性质.连接。4,根据切线长定理，可得

BC=AC=3,再证明△5CPS&4OP,即可求解.

VG4,CB分别切于点A、B,

：.OA±AP,OB±BCfBC=AC=3f

：.ZOAP=ZCBP=90°f

：•BP=NPC?-BC?=4,

,:ZP=NP,

ABCP,

.OAOP

••一，

BCCP

・・OA4+OA

•―--5-'

解得：0A=6,

即。。的半径长为6.

故答案为：6.

12.（2024・河南周口•一模）如图，是。O的直径，CB是O。的切线，B是切点，OCJ_BD,点E为垂

足，若BD=4下,EC=5,则。。的直径为.

A

【答案】12

【分析】本题主要考查了垂径定理，用切线的性质和相似三角形的判定，解题关键是熟记相关性质，综合

运用.由垂径定理可求出超，根据勾股定理在求出利用切线的性质和相似三角形的判定方法可证明

NADB^NBEC,再利用相似的性质即可求出直径A5的长.

【详解】解：垂足为点

・・・BE=DE=-BD=245,

2

,:EC=5,

BC=-jBE2+CE2=3A/5，

・・・CB是。。的切线，3是切点，

ZABC=90°,

ZABD^ZDBC=90°,ZDBC+ZC=90°,

・・・ZABD=/C,

TAB是OO的直径，

：.?D90?,

C.NADB^NBEC,

.ABBD

••一，

BCCE

.AB_4>/5

%

/.AB=12,

故答案为：12.

13.（2024.河南南阳•一模）如图，A3是。。的直径，点C在。。上（点C不与48重合），过点C作。。的

切线交A3的延长线于点。，连接AC,若/。=45。，AS=2,则图中阴影部分的周长是.

【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，弧长公式，连接0C,由切线的性质

可得NOCD=90。，进而得NCOQ=45。，OB=OC=CD=\,利用弧长公式求出的长=二，再根据阴影

4

部分的周长的长+5Q+CD计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：连接0C,

・・・。。为。0的切线，

OCVCD,

：.NOCD=90。，

*.*ND=45。，

；・/COD=45。,OC=CD,

AB=2,

：.OB=OC=CD=1,

•••。。=4+12=啦,BC的长==

1oU4

•*-BD=OD-OB=42-l，

，阴影部分的周长=2€?的长+2。+8=殳+&-1+1=巴+0,

44

故答案为：—+V2.

4

14.（2024•河南洛阳•一模）如图，在RCABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心，边AC的

长为半径作CE交边于点5以边BC为直径作半圆交边A3于点。，则图中阴影部分的面积为.

A

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形与扇形的面积计算，解题的关键是分清半圆、三角形、

扇形三者之间的面积关系.

先用直角三角形的面积减去扇形的面积得出空白区域的面积，然后再用半圆的面积减去空白区域BCE

的面积，即可得到阴影部分的面积.

【详解】•/AC=BC,ZACB=90°,

,ZA=45°,

145,

S空白BCE=SAABC-S扇形ACE=7XACX2C---XTTXAC-

2JoU

2

=1X2X2--XTTX2=2--,

282

,i（iy

,"S阴影=S半圆BCD_S空白BCE=-X^-XI—BCI-S空白BCE

故答案为：n-2.

15.（2024•河南周口•一模）如图，矩形A3CD内接于分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆,

若43=3,3。=4,则阴影部分的面积为.

【分析】本题考查求不规则图形的面积，连接AC,勾股定理求出AC的长，利用四个半圆的面积加上矩形

的面积减去。。的面积，求解即可.

【详解】解：连接AC,

:矩形ABCD内接于。O,

AZABC=9Q°,AB=CD,BC=AD,

•••AC为。。的直径，4?=疗彳=5,

阴影部分的面积=2xgx；rx（|）'+2心电

+3x4-万=12；

故答案为：12.

16.（2024.河南周口•一模）如图，点C在半圆。。上，延长直径A3至。点，使8是。。的切线，若4。=2后,

CD=6,则图中阴影部分的面积是.（结果保留兀）

【答案】673-271

【分析】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形的面积公式，连接OC,由切线的性质定理得出

NOCD=90°,解直角三角形得出ZCOD=60°,再根据S阴影=SA0CD-S扇形.计算即可得解.

,是。。的切线,

../OCD=90°,

mA

tanZCOD=——=—==^3,

OC273

：.ZCOD=60°,

60XKXi60x71x(2/3)

s阴影S&OCD-S扇形BOC=-OCCD-=-x2V3x6------------——L=66—2兀，

23602360

故答案为：66-27t.

17.（2024・河南安阳•一模）如图，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,以A3为直径的。。交BC于点D,

oo的切线DE交AC于点E,则DE的长为.

【分析】根据AB为直径，得出NADB=90。，根据AB=AC,得出NB=NC,BD=CD=^BC=6,根据

勾股定理求出A9=JACZ-S2=8,得出证明NQ04=N。应，得出NO/M=NOAD,证明

OE/AC,根据等积法求出结果即可.

【详解】解：如图，连接AD,

•/AB为直径，

,ZADB^9Q0,

：.ADJ.BD,

,：AB=AC,

：.ZB=ZC,BD=CD=-BC=6,

2

AD=yjAC2-CD2=8>

•/DE1是切线，

ODIDE,

，ZODA+ZADE=90°,

'：ZADE+NCDE=90°,

AODA=/CDE,

9

：OA=ODf

：.ZODA=ZOAD,

ZCDE+NC=ZOAD+/B=90°,

・・・DE1AC,

S△Anr=-2ADxCD=ACxDEf

ADxCD8x624

：.DE=

AC105

24

故答案是：y

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等，勾股定理，作出辅助线，构造直角

三角形，是求解的关键.

18.（2024•河南濮阳•一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、O在这些小正方

形的顶点上，以。为圆心，Q4为半径画弧.点。为弧与网格线的交点.则图中阴影部分的面积是

【分析】此题考查了扇形面积的计算，勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟记扇形面积公式是解题的

关键.

根据S阴影=S扇形-Sgoc求解即可.

【详解】解：连接AD,O。，

根据题意得，ZAOB=90°,(9B=OA=(9D=4,

•；NDCO=ZDCA=90°,OC=CA^2,CD^CD,

:.AODC^^ADC(SAS),

OD=AD=OA，

.•.△OAD是等边三角形,

.-.ZDOA=60°,

DC=4OEr-OC2=A/42-22=2百，

S阴影=S扇形AOD-S-DOC，

故答案为：］兀s.

19.（2024・河南开封•一模）如图①是清明上河园中供人们游玩的古代的马车.如图②是马车的侧面示意图，

车轮。。的直径为车架AC经过圆心0,地面水平线C。与车轮相切于点。，连接AD,BD.小

明测出车轮的直径AB=1米，3C=2米，则AD的长为米

①②

【答案】姮

5

【分析】本题考查了圆的基础知识，掌握切线的性质，直接所对圆周角等于90。，相似三角形的判定和性质，

勾股定理的知识是解题的关键.

连接OD,作AELCD延长线于点E,可证ACODSA。石，可得AE的长，根据勾股定理可得CD,CE,DE

的值，在直角44DE中，运用勾股定理即可求解.

【详解】解：如图所示，连接0D,延长CD,作/归，CD延长线于点E,

②

：CD与。。切与点。，

：.OD.LCD,且AE_LCE,

：.AE\\OD,

：.△COD^AC4E,

,COOP

••一,

CAAE

"：AB=Im是直径，

/.OA=OB=OD=~,贝l|OC=OB+BC」+2=9,AC=AB+BC=1+2=3,

222

2

在及ACOD中，CD=《OC2—OD2=一[g]=#，

D£=C£-C£)=—,

5

在用AAED中,

/.AO的长为姮,

5

故答案为：姮.

5

20.（2024・河南周口•一模）如图，在矩形ABCD中，以点8为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E,交BC

于点若AB=2,AD=2陋,则阴影部分的面积为

【答案】V3+1

【分析】本题考查扇形面积的计算及矩形的性质，熟知矩形的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键.

本题中连接8E,将阴影部分面积分割成AME和扇形分别求面积，再相加即可.

【详解】解：连接8E,

:矩形A5CD,AB=CD,AD=BC,

,/AD=JiAB,BC=拒AB,

.•.在RtA4BC中，tanZBAC=—=A/3,

AB

：.ZBAC=^)°,VBA=BE,

・・・△年为等边三角形，

ZEB尸=90。—60。=30。，

所以S阴影=SAABE+S晶彩BEF=（X2。+五0><%X22=A/3+—.

故答案为："s/3+—.

21.（2024•河南商丘•二模）如图，手工课上，小明从大半圆形纸片上剪下一个小半圆（两个半圆的直径在

一条直线上），然后用铅笔画了一条弦MN,满足弦与直径平行，且与小半圆相切，若测得弦MN的长

度为8,则剩余纸片（阴影部分）的面积为.

【答案】87t

【分析】本题考查了切线的性质、勾股定理、扇形面积公式、垂径定理，记大半圆的圆心为。，小半圆的

圆心为尸，将小半圆向右平移至点尸与点。重合，此时与小半圆相切，切点记为。，连接QD,OM,

则ODLMN,旦ME>=NE>=4.再根据S阴影=］义。必一］xO£P,结合勾股定理计算即可得出答案.

【详解】解：记大半圆的圆心为。，小半圆的圆心为尸，将小半圆向右平移至点尸与点。重合，如解图所示.

O(P)

此时MN与小半圆相切，切点记为O,连接O。，OM,则。DLMN,口地>=NE>=4.

S阴影=^nxOM2-^nxOD2=^nx(0M2-OD2)=^nxMD2=8TI,

故答案为：87t.

22.（2024・河南开封•二模）如图，在AABC中A8=AC=46，ZC=3O°,以AB为直径作交BC于点。,

过点。作。。的切线交AC于点E.则DE的长为

【答案】3

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等，作出辅助线，构造

直角三角形,是求解的关键.连接。。，4），根据等腰三角形可求出N3=30。，可证AD上m，求出9=26,

△CMD为等边三角形，根据切线的性质，可证NADE=3O。，再证Z）E_LAE,在直角三角形ADE中，利用

勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，连接

VAB=AC,ZC=30°,

ZB=ZC=30°,

:AB为直径，

/.AD,LBD,

在RtZkMQ中，ZB=30°,AB=4

••AD=2^/^,

OA=OD=AD=2s/3

：.△OAD是等边三角形,

NAT>0=60。，

•/DE1是切线，

ODJ.DE,

：.ZODA+ZADE=90°,

：.ZADE=30°,

XVAB^AC,ADJ.BD,

：.ZDAE=-ABAC60°,

2

二ZAED=90°

在RtAAZJE中，ZADE=30°,AD=2y/3,

AE=5

DE=VAD2-AE2=3

故答案为：3.

23.（2024•河南安阳•二模）如图，QA的直径为10,的直径为13,QA的圆心恰好在。3的圆周上,

连接两圆交点所得弦CD的长为

.1203

【答案】——/9—

1313

【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是利用两个直角三角形表达出同一条边列出方程解

答即可.连接AC,8C,C£>,A3相交于点E,在RGACE和RtZ^CEB中，表示出CE的长度，列方程求解即可.

【详解】解：连接ACBCCRAB相交于点E,

,.•CD为的共同弦,

:.ABLCD,

：.CD=2CE

13

设AE=x,则班=一—尤，

2

在及AACE中，

AC2=AE2+CE2,

.•.。£2=3_毋=52-尤2,

在MACEB中,

222

CE=CB-EB=尤）2

解得：尤=!25|

，…一千鬻

.•.CE=||或原=-1|（舍去）

…603120

CD=—x2=——

1313

故答案为：骨120

24.（2024•河南开封二模）如图，AC是。。的一条弦，AB是。。的直径，。是AC上一点，连接AD，DC.已

知N54c=20。，则ZADC=

【答案】110。/110度

【分析】连接BC,根据圆周角定理，直角三角形的特征量，圆的内接四边形性质计算即可.

本题考查了圆周角定理，直角三角形的特征量，圆的内接四边形性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键.

【详解】连接BC,

是。。的直径，

/.ZACB=90°；

乙BAC=2。。,

：.NABC=70。；

:四边形ABCD是。。的内接四边形，

ZADC+ZABC=180°；

ZADC=110°.

故答案为：110°.

C

25.（2024•河南关B州•二模）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,点。在边48上，OA=2,以。为

圆心，Q4长为半径作半圆，恰好与BC相切于点。，交A8于点E,则阴影部分的面积为.

【分析】连接OD，过。"LAC于H点，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到/C4B=45。，则

OH=^OA=y/2,再根据切线的性质得到OD_L3C,于是可判断8〃AC,所以ZEOD=ZBAC=45。，然

2

后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=凡皿＞+%切诚进行计算.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰直角三角形的性质和扇形的面积

计算.

【详解】解：连接O。，过AC于打点，如图，

B

O/Jo；NC=90。，AC=BC,

AHC

/.ZG4B=45°,

■.OH=—OA=—x2=y/2,

22

・・・。0与5c相切于点。，

:.OD^BC,

:.OD//AC,

:.ZEOD=ZBAC=45°f

.二阴影部分的面积=5“”+5扇形0oE=gx2x拒+竺言=友+g».

故答案为：亚+]%.

26.（2024・河南洛阳・二模）如图，在。。中，是直径，点C是圆上一点.过点。作。。的切线交A5的

延长线于点。，若/48=120。,。。=2有，则图中阴影部分的面积为一.（结果用含兀的式子表示）

【分析】本题主要考查切线的性质以及扇形的面积计算，连接OC,根据切线的性质得出

/OCD=90°,ZOCD=30°,由OC=Q4得ZOAC=ZOC4,由三角形外角的性质得/BOC=60°,根据勾股定

理得OC=2,再根据S阴影=S.OCD-S扇形BOC求解即可

【详解】解：连接OG如图，

OCLCD,

：.NOCD=90。，

・.,ZACD=120°,

・•・ZACO=ZACD-ZOCD=120°-90°=30°,

,.・OC=OA,

：.ZACO=ZOAC=30°,

/.ZCOD=ZOCA+ZOAC=30°+30°=60°,

.・・ZCDO=30°,

DO=ICO,

222

：.CD+CO=DO,即（2石『+CO2=4c。2,

：.CO=2,

6071x22

••S阴影—S扇形BQ。=2y/3——7i,

3603

故答案为：2^3-■—

27.（2024・河南许昌•二模）如图，在扇形A05中，半径。4=2,AB的长为《，点尸在以上，连结依，将

6

△O3P沿PB折叠得至IJAO'BP,若08与AB所在的圆相切于点B,则OP的长为

【分析】连接。。'，交PB于点、D,求得OD=OBsin45。=0，利用苧=空乎求得圆心角，利用三角函

olol）

数，解答即可.

本题考查了切线性质，折叠的性质，弧长，三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数，弧长公式是解题的

关键.

【详解】连接00',交尸3于点

,/AOBP沿PB折叠得到AO'BP.

：.PBLOD,Z.OBD=ZO'BD,

V与A8所在的圆相切于点B,

ZO'BO=90°,

/.ZOBD=ZO'BD=45°,

•・•OA=OB=2,

・•・OZ)=O5sin45o=行，

•.•半径Q4=2,AB的长为噂,

O

.5TT_nx7rx2

•・——-----，

6180

解得九=75。，

/.Z.OPB=180O-ZOBP-ZAOB=60°,

•••/CDC_,乙co_OD_6

•sin2-DPO—sin60—---——，

OP2

OD_2j6

近一3，

~2

故答案为：巫.

3

28.（2023•河南信阳•三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4C,。均在小正方形的

顶点上，点C,