2024-2025北师大版七年级数学下册期中模拟卷（解析版）

2025年北师大版（新版教材）数学七年级下册期中模拟卷（1）

一、选择题（每题3分，共24分）

1.下列成语描述的事件为随机事件的是（）

A.守株待兔B.种豆得豆C.水中捞月D.水涨船高

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能

事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不

发生的事件，据此即可判断求解，掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键.

【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故A符合题意；

B、种豆得豆是必然事件，故B不符合题意；

C、水中捞月是不可能事件，故C不符合题意；

D、水涨船高是必然事件，故D不符合题意；

故选：A.

2.古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为

0.0000052cm的小洞.数0.0000052用科学记数法表示为（）

A.5.2x105B.5.2xlO-6C.5.2xl0^7D.52xl07

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为oxl（T,其中1＜忖＜10,与较大数的科

学记数法不同的是其所使用的是负整数指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所

决定.

【详解】解：0.0000052用科学记数法表示为5.2x10-6.

故选：B.

（1\2023Z?X2025

3.计算卜《Jxljl的结果等于（）

94

A.1B.-1C.D.

49

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了塞乘方逆用与积的乘方的逆用.先利用乘方的意义化简符号，再逆用同底数幕乘法

唱飞吸飞J,再逆用积的乘方公式即可.

（1\2023z\2025

【详解】解:

（、2023zx2025

-图七）

T广「

20232

2023.

32

—X—

23Id

4

9

故选：D.

4.如图，下列结论中错误的是（）

A.N1与N2是同旁内角B.N1与N6是内错角

C.N2与N5是内错角D.N3与N5是同位角

【答案】C

【解析】

【分析】利用同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可.

【详解】解；A.N1与N2是同旁内角，所以此选项正确;

B.N1与N6是内错角，所以此选项正确;

C.N2、/5既不是同位角、不是内错角，也不是同旁内角，所以此选项错误;

D.N3与N5是同位角，所以此选项正确,

故选：C.

【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角，三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完

全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系

的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的

线.同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.

5.小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符

合这一结果的实验可能是（）

频率

40%------------------------------

30%

20%.........................................

10%-------------------------------

0200400600次数

A.从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球

的概率

B.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率

C.从一副去掉大小王扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率

D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率

【答案】A

【解析】

【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率PaO.33,计算四个选项的概率，约为0.33

者即为正确答案.

【详解】A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为工洸.33,故

3

此选项正确；

B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为故此选项错误；

C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率!；故此选项错误；

D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33,故此选项错误.

故选A.

【点睛】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度

不大.

6.两个长为。，宽为力的长方形，按如图方式放置，记阴影部分面积为S，空白部分面积为$2,若

$2=2Sj,则a,b满足（）

A.a=2bB.la=3bC.3a=4bD.3a=5b

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了求阴影部分面积和整式乘法，关键是正确列出阴影部分与空白部分的面积，先表

11111

2=2

不出S]=-谶b+]Z?2=ci]y-~b,S2—cib+—b—cib^~—b,再根据题意得到等式，进

行变形得出结论.

2

【详解】解：:S2==ab+g/,S、-lab-j-ab-^b,

QS2=2S],

\ab+—b2=2S/?--b2,

2獭2

/.2a-3b,

故选：B.

7.如图，下列条件：®ZDCA=ZCAF,②4C=/EDB,③N84C+NC=180。，@ZGDE+ZB=180°.其

中能判断A5〃CD的是（）

CE

XS

FAB

A.①④B.②③④C.①③④D.①②③

【答案】C

【解析】

【分析】利用平行线的判定方法分别判断即可得出答案.

【详解】解：①当NDCA=/CAF时，AB〃CD,符合题意；

②当/C=/EDB时，AC〃DB,不合题意；

③当/BAC+/C=180°时，AB〃CD,符合题意；

④当/GDE+/B=180。时，

XVZGDE+ZEDB=180°,

.\ZB=ZEDB,

；.AB〃CD,符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互

补，两直线平行，正确掌握平行线的判定是解题关键..

8.如图，直线AB〃C£),EF分别交48、CD于E、F两点，作NBEF、NOFE的平分线相交于点K；作

NBEK、NQFK的平分线相交于点Ki；依此类推，作NBEKi、/。正丘的平分线相交于点&,…，作

NBEKnl、/OFKnJ的平分线相交于点Kn,则NKn的与NK的关系为()

1111

A.ZKa=—ZKB.ZKa=——ZKC.ZKn=--ZKD.ZKn=---------ZK

2n2"2"+12(〃+1)

【答案】A

【解析】

【分析】过K作KG//AB,可得KG//CD,可得出两对内错角相等，由EK、PK分别为与NEED的平

分线，再由A8//C。，可以求出入BEK+NDPK的度数，即可求出NEKP的度数，由此类推即可得到N&的

度数.

【详解】解：如图，过K作KG//AB,可得KG//CD

CD

/BEK=ZEKG,ZGKF=ZKFD,

,/EK、FK分别为ZBEF与ZEFD的平分线，

/.ZBEK=ZFEK,ZEFK=ZDFK,

■:ABIICD,

：.ZBEK+ZFEK+ZEFK+ZDFK^180°,即2(NBEK+/DFK)=180°,

:./BEK+/DFK=9Q。,

则ZEKF=ZEKG+ZGKF=90°；

,//BEK、ZDFK的平分线相交于点Ki,

NBEKi=ZKEKi,ZKFKi=ZDFKi,

ZBEK+ZFEK+ZEFK+ZDFK=180°,即2(NBEK+/KFD)=180°,

ZBEK+ZKFD=90°,即NKEK+/KFKi=45°,

，/Ki=180°-(/KEF+/EFK)-(ZKEKi+ZKFKi)=gx90°=45°,

同理可得/K2=g/&,

归纳总结得：NK“=-x90°=—ZEKF.

TT

故选A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质和

角平分线的性质.

二、填空题(每题3分，共24)

9.观察下列各式规律：1x3=22—1；3x5=42—1；5x7=62-l;7x9=82-1…请将发现的规律用

含〃的式子表示为.

【答案】(2«-1)(2/Z+1)=(2«)2-1

【解析】

【分析】从数列1x3=2?-1；3x5=42-1；5x7=62—1；7x9=8?-1可以知道第一项中1=2-1,

3=2+1,2=2x1,第二项中3=4—1,5=4+1,4=2x2，由此可以知道第〃项，可以写为

(2〃-1)(2〃+1)=(2〃)2-1.

【详解】从1x3=2?-1；3x5=42-1；5x7=62-1；7x9=8?-1可以知道

第一项中1=2—1,3=2+1,2=2x1，

第二项中3=4—1,5=4+1,4=2x2，

第三项中5=6—1,7=6+1,6=2x3,

故第〃项中：等号左边乘数为2〃-1,被乘数2"+1,等号右边为（2〃）2-1

即:（2〃-1）（2〃+1）=（2九）一.

故答案为:（2n-l）（2n+l）=（2n）2-l.

【点睛】本题考查了数字的变化规律，关键是根据规律得出第〃项解答.

10.“头盔是生命之盔”.质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表:

抽查的头盔数W（个）10020030050080010003000

合格的头盔数机（个）951942894797699592880

合格头盔的频率一0.9500.9700.9630.9580.9610.9590.960

m

则该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为.（结果精确到0.01）

【答案】0.96

【解析】

【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键.大量重复

实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定

理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【详解】解：观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数〃2800时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，

所以该工厂每生产一个头盔，合格的概率约为0.96.

故答案为：0.96.

11.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同,

所以在水中的平行光线,在空气中也是平行的.如图，若N2-Nl=75°,则N3与N4的度数和是

【答案】105°

【分析】本题考查平行线的判定和性质.由平行线的性质推出Z4+Z2=180°,Nl=N3,而Z2-Z1=75°,

即可得到N4+N3=105°.

【详解】解：

Z4+Z2=180°,

:.AE//BF,

：.Zl=Z3,

Z2-Z1=75°,

/.Z2-Z3=75°,

AZ4+Z2-(Z2-Z3)=l80°-75°=105°,

AZ4+Z3=105°.

故答案为：105°.

12.若3x+y—3=。，贝心匕2V的结果是.

【答案】8

【解析】

【分析】本题考查了同底数幕相乘以及幕的乘方的逆用，由题意得3x+y=3,根据

8工•2'=(23.2〉=23X-2〉=23%+3,即可求解；

【详解】解：•••3x+y—3=。，

/.3x+y=3,

13.把一张长方形纸片ABC。沿防折叠后，ED与5C的交点为G,D、C分别在M、N的位置上,

若ZEFG=48°,则Z2-Z1=.

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，掌握这两个性质是关键.

根据折叠的性质及平行线的性质可分别求得N2与N1的度数，即可得到答案.

【详解】解：；ZEFG=48。,

：.ZDEF=ZEFG=48°,Z2=AGED=ZDEF+ZGEF.

由折叠的性质知：Z.GEF=ZDEF=48°,

则Z1=180°-ZDEF-ZGEF=84°,N2=48。+48°=96°,

Z2-Z1=96°-84°=12°.

故答案为：12°.

abx+13x

14.对于任意实数规定的意义是=ad-bc.贝|当3x+l=0时，

cax—2x—1

【答案】1

【解析】

【分析】由3%+1=0得——31=—1，根据题意得出算式(x+1)G-l)-3xG-2),化简后把的

值代入计算即可.

【详解】解:根据题意得：(%+1)(x-1)-3x(x-2)

=x2-l-3x2+6x

=-2x2+6x-l

=-2(x2-3x)-1,

Vx2-3x+l=0,

.*.x2-3x=-l,

原式二-2x(-1)-1=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算和求值的应用，解题的关键是掌握计算能力和对新定义的理

解能力.

15.如图，A是某公园的进口，尸是不同的出口，若小贤从A处进入公园，随机选择出口离开

公园，则恰好从北面的出口出来的概率为

【解析】

【分析】本题考查了概率公式的应用；

根据共有5个出口，北面有两个出口，直接利用概率公式得出答案.

【详解】解：：共有5个出口，其中北面有8和C两个出口，

...恰好从北面的出口出来的概率为I，

故答案为：一.

5

16.著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入

9

微”.如图所示，由四个长为。，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中a>Z?>0,若ab=

4

a+b=5,则阴影部分的面积为.

ba

【答案】16

【解析】

【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是结合图形找出(。+人丫-4ab=(a-进行求解.结合

图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即(a+Z?)2—4ab=(a-与2,

g9

将〃+人=5代入求出(。一与即可.

【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积,

即(a+b)2—4ab=(a-b)2,

9

•ab——，a+b=5,

4

99g

/.(a-Z?)-=(a+/?)-4-ab=52-4x—=16

故答案为：16.

三、计算题(共2题，共18分)

17.计算：

(1)(2x+y+l)(2x+y-l)；

(2)(x-2)(x+2)-(x+l)(x-3)；

(3)(aZ?+l)~—(aZ?—1)~；

(4)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y).

【答案】(1)4x2+y2+4xy-l

(2)2x-l

(3)4ab

(4)9y2-8孙

【解析】

分析】本题考查了乘法公式，多项式乘多项式.

(1)先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；

(2)先利用平方差公式和多项式乘多项式法则计算，再合并即可求解；

(3)利用平方差公式计算即可求解；

(4)先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再合并即可求解.

【小问1详解】

解：(2x+y+l)(2x+y-l)

=(2x+yJ-1

=4x2+y2+4xy-1；

【小问2详解】

解：(x-2)(x+2)-(x+l)(x-3)

-4-(^x2-2x-3)

—%?—4—%2+2x+3

—2x—1；

小问3详解】

解：(〃人+1)2—

二(ab+1+ab—1)(次?+1—ab+1)

=2abx2

=4ab；

【小问4详解】

解:(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)

=4x2+y1-4-xy-4-^x2+xy-2y^

=4x2+y2-4-xy-4x2-4xy+8y2

-9y2-8xy.

18.先化简，再求值：[(2x—y)2—(2x—y)(y+2x)—4q]+2y,其中x=l,y=2

【答案】y-4x；-2

【解析】

【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，原式括号中利用完全平方公式，平方差公式计算，合并后

利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与V的值代入计算即可求出值.

【详解】解：[(2x-y)2-(2x-y)(y+2x)-4xy]^2y

=(4*2+,2-4xy-2xy-4jc2+j2+2xy-4xy^4-2j

=y—4x；

当X=l,y=2时，原式=2—4=—2

四、作图题（共8分）

19.如图，△ABC中，点。在边上.

（1）在AC边上求作点£,使得/CZ）E=/A8C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若NA=65°,求的度数.

【答案】（1）见解析（2）115°

【解析】

【分析】（1）如图，在的上方作N£DC=NABC,DE交AC于点、E.

（2）利用平行线的性质求解即可.

【小问1详解】

..NAED=180。—NA=115°

【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直

线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键.

五、解答题（共6题，共46分）

20.我们知道，同底数塞的乘法法则为"（其中awO,机、〃为正整数），类似地我们规定关

于任意正整数办w的一种新运算：=若“2）=5,则

/（4）=/（2+2）=/（2）./（2）=5x5=25,请根据这种新运算解决以下问题:

2

(1)①若/(1)=一则/(2)=；

②若/(2)=4,则/⑴=；

(2)若"4)=81,求”3)的值.

4

【答案】(1)①一；②±2

9

(2)27或—27

【解析】

【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幕乘法，数字的变化规律，熟练应用新

运算的规定是解题的关键.

(1)①利用新运算的规定进行运算即可；②利用新运算的规定进行运算即可；

(2)将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出累的形式，再按照同底数累的运算性质解答即可.

【小问1详解】

2

解：①=

②・••/(2)=4,

/(2)=/(1+1)=/(1)./(1)=4,

.••/(1)=±2；

【小问2详解】

解："4)=81,

.•./(4)=/(2)./(2)=/(1)./(1)./(1)./(1)=81,

・••[9)丁=81=(±3)4,

・•.〃1)=±3，

当〃时,())()3

1)=3/3=/(1+2=/(1)./2=/(1)./(1+1)=/(1)./(1)./(1)=3=27;

当/⑴=—3时，/(3)=/(1)-/(1)-/(1)=(―3)3=—27；

/(3)的值为27或—27.

21.如图，已知直线小4被直线A5所截，&。，/2于点心若Nl=50。，Z2=40°,贝必与“平行吗?

【解析】

【分析】本题考查的是平行线的判定定理，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行.根据题意可得

Z3=90°,求得"4£=/1+/2=90。，根据同位角相等，两直线平行即可得出乙〃b

【详解】解：乙与4平行;

理由：如图,

AZ3=90°,

VZl=50°,Z2=40°,

ZDAE=Zl+Z2=50°+40°=90°,

ZDAE=Z3,

lx//l2.

22.如图1,在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究.图2是货车盲区

的部分分布图，盲区1,2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形.

(1)用含a,b的代数式表示图中盲区的总面积(结果需化简).

(2)若a+Z?=2,ab=l,求图中盲区的总面积.

【答案】(1)10八4"+10尸

(2)20

【解析】

【分析】(1)由梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积即可；

(2)由a+Z?=2,ab=\＞可得/+/=(°+6)2一？必=4—2=2,再整体代入法求解即可.

【小问1详解】

解：盲区的总面积为：

1,1

2x-x2bx(2a+3b)+(2by+-(2b+10a-6b)x2a

=4ab+6b2+4b~+10a2-4ab

=10/+1。必；

【小问2详解】

丁a+/?=2,ab=l

***a2+/=(a+b)2—2ab=4-2=2,

/.10fl2+10Z?2=10(/+/)=10x2=20.

【点睛】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，利用完全平方公式的变形求解图形面积，熟记完全平

方公式的变形是解本题的关键.

23.(1)一个袋中装有2个红球和3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率

是多少？

e

.小摸出的球不是红球就是白球，所以摸到红球和摸到白球的可能性相同，也就是，P（摸到

红球）=|.

屯

红球有2个，而白球有3个，将每一个球都编上号码，1号球（红色）、2号球（红色）、

3号球（白色）、4号球（白色）、5号球（白色），摸出每一个球的可能性相同，共有5种

■等可能的结果.摸到红球可能出现的结果为摸出1号球或2号球，共有2种等可能的结

果.所以，P（摸到红球）=|.

你认为小明和小颖谁说的有道理？

（2）小明和小颖一起做游戏.在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出

一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？在一个双人游戏中，你是怎样

理解游戏对双方公平的？与同伴进行交流.

【答案】（1）小颖，见解析，（2）不公平，见解析

【解析】

【分析】本题考查游戏公平性，游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就

公平，否则就不公平.

（1）根据等可能事件的概率结合题意即可求解；

23

（2）根据题意求出摸到红球的概率为：一；摸到白球的概率为：一，进而即可判断游戏的公平性.

55

【详解】解：（1）我认为小颖的说法有道理，因为如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相

同，其中事件A出现机种结果，那么事件A的概率尸（A）=—；

n

（2）不公平,

23

..•摸到红球的概率为：一；摸到白球的概率为：一，

55

23

游戏对双方不公平.

在一个双人游戏中，判断游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即双方取胜的概率是否

相等.

24.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如从图1可以得到

(«+Z?)2=a+2ab+b~.请解答下列问题:

图1图2图3

(1)写出图2中所表示的数学等式：.

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a+/?+c=9,ab+ac+bc=26,求的

值.

(3)如图3所示，将两个边长分别为a和6的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一直线上，连结

AG和EG,若两正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.

【答案】(1)(<a+b+cy=a2+Z?2+c2+2ab+2bc+2ac

(2)29；

⑶20.

【解析】

【分析】本题考查了整式的运算，乘法公式的应用，利用图形进行数形结合是解题的关键.

(1)根据图2的面积进行列式即可；

(2)化简(1)中的式子，代值运算即可；

(3)根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，列式运算即可.

【小问1详解】

解：(<7+ZJ+C)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

【小问2详解】

解：由(1)+b2+c2=(a+b+c)~-(2ab+2bc+2ac),

a+b+c=9,ab+ac+bc=26,

•••=8i—2x26=29；

【小问3详解】

解：阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积,

即+/---〃(a+b)--b1=—a2+—b2~—ab=—a+b^-3ab,

2v722222

*.*〃+Z?=10,"=20,

.•.g[(a+b)2—3.=1(100-60)=20.

25.如图1,PQ//MN,点A,B分别在MN,QP上，ZBAM=2ZBAN,射线AM绕A点顺时针旋转至AN

便立即逆时针回转，射线2尸绕B点顺时针旋转至8。便立即逆时针回转.射线AM转动的速度是每秒2

度，射线8尸转动的速度是每秒1度.

图1