2023-2024学年北师大版七年级数学上册期末考点复习：一元一次方程（7个考点）解析版

专题04一元一次方程（考点清单）

⑤考点归纳

【考点11一元一次方程的定义【考点2］方程的解/一元一次方程的解

【考点3】等式的性质【考点4］解一元一次方程

【考点5］同解方程【考点6】求含参数的一元一次方程

【考点7］一元一次方程的应用

立真题精练

【考点1］一元一次方程的定义

1.（2023春•衡阳期末）下列各式是一元一次方程的是（）

2

A.2x=5+3yB.j=y+4C.3x+2=l-尤D.x+.k=2

x

【答案】C

【解答】解：A.方程2x=5+3y是二元一次方程，选项A不符合题意；

B.方程/=y+4是一元二次方程，选项2不符合题意；

C.方程3x+2=l-尤是一元一次方程，选项C符合题意；

D.方程x+工=2是分式方程，选项。不符合题意.

x

故选：C.

2.（2022秋•永兴县期末）若（m-2）尤囚-3|=6是一元一次方程，则机等于（）

A.1B.2C.1或2D.任何数

【答案】A

【解答】解：根据一元一次方程的特点可得111r2卉°,

12m-3=±l

解得m=l.

故选：A.

3.（2023春•秦安县期末）已知方程（a-2）卅"+6=0是关于尤的一元一次方程，则a

的值为（）

A.±2B.-2C.1D.2

【答案】B

【解答】解：由题意，得

-1=1且〃-2W0,

解得a=-2,

故选：B.

4.（2023春•鹤壁期末）如果方程?«-5-2=0是关于尤的一元一次方程,则n的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解答】解：・・•方程龙2展5一2=0是关于1的一元一次方程，

・・・2〃-5=1,

・"=3.

故选：B.

5.（2020秋•沂水县期末）若关于x的一元一次方程2k-x-4=0的解是％=-3,那么k

的值是（）

A.AB.工C.6D.10

22

【答案】A

【解答】解：二•关于x的一元一次方程2人尤-4=0的解是尤=-3,

：.2k+3-4=0,

解得：左=_1,

2

故选：A.

【考点2］方程的解/一元一次方程的解

6.（2022秋•东西湖区期末）已知x=2是关于尤的一元一次方程依-6=0的解，则。的

值为（）

A.0B.3C.-3D.A

3

【答案】B

【解答】解：,."=2是一元一次方程ax-6=0的解，

2a-6=0,

解得〃=3.

故选：B.

7.（2023春•德宏州期末）若％=2是关于％的一元一次方程加x+九=3的解，则代数式6m+3几

-2的值是（)

A.2B.3C.7D.9

【答案】C

【解答】解：把尤=2代入方程可得2m+"=3,

6m+3n-2

=3（2m+«）-2

=3X3-2

=7.

故选：C.

8.（2022秋•佛山期末）小明同学在做作业时，发现自己不小心将方程％+3=-2（x-3）

-★的一个常数涂黑看不清了，询问王老师后，王老师告诉他，这个方程的解是天=-3,

则这个被涂黑的常数★是（）

A.-12B.12C.3D.-3

【答案】B

【解答】解：将x=-3代入原方程得：-3+3=-2X（-3-3）-

解得：★=12.

故选：B.

【考点3】等式的性质

9.（2022秋•惠城区校级期末）下列运用等式的性质变形正确的是（）

A.若天=»贝!Jx+5=y-5B.若/=必，贝ij°=6

C.若包上•，则D.若贝ijx=y

cc

【答案】C

【解答】解：A：若尤=y,则x+5=y+5,故A不正确，不合题意；

B-.若/=廿，则“=±6,故2不正确，不合题意；

C：若9则故C正确，符合题意；

CC

D：若则时x=y,故。不正确，不合题意；

故选：C.

10.（2022秋•雅安期末）下列等式变形错误的是（）

A.若lx-l=x，则x-l=2x

B.若x-1=3,则x=4

C.若尤-3=y-3,则x-y=O

D.若3x+4=2x,贝（］3x-2x=-4

【答案】A

【解答】解：等式的两边同时乘以2,尤-2=2无，故A错误；

故选：A.

11.（2022秋•永定区期末）下列变形中，不正确的是（）

A.若x=y,则x+3=y+3B.若-2尤=-2»则x=y

C.若贝Ux=yD.若x=y,则三=工

mmmm

【答案】D

【解答】解：（。）当机=0时，

三与工无意义，故。选项错误，

mm

故选：D.

12.（2022秋•沙依巴克区校级期末）已知等式。=匕，则下列等式中不一定成立的是（

A.a+i~b+iB.2a-2b—0C.包D.ac—bc

cc

【答案】C

【解答】解；4两边都加1,故A正确，不符合题意；

B、两边都乘以2,故8正确，不符合题意；

C、当c=0时，无意义故C错误，符合题意；

。、两边都乘以c时，故。正确，不符合题意；

故选：C

【考点4］解一元一次方程

13.（2022秋•利川市期末）下列解一元一次方程的过程正确的是（）

A.方程x-2（3-x）=1去括号得x-6+2尤=1

B.方程3无+2=2%-2移项得3x-2x=-2+2

C.方程空旦~-1=*去分母得2%+1T=3尤

3

D方程0.lx-2_0.2x+0.1=1分母化为整数得x-22x+l

0.20.525

【答案】A

【解答】解：A、方程x-2(3-x)=1去括号得尤-6+2x=l,正确，该选项符合题意;

B、方程3x+2=2无-2移项得3尤-2x=-2-2,原过程错误，该选项不符合题意；

C、方程型L_i=x去分母得2x+l-3=3》，原过程错误，该选项不符合题意；

3

D、方程♦lx-20.2x+0.1=i分母化为整数得x-202x+l原过程错误，该选项

0.20.525

不符合题意；

故选：A.

14.(2022秋•武昌区期末)解方程”工-在里=1,去分母正确的是()

23

A.3(x-1)-2(2+3%)=1B.3(x-1)-2(2尤+3)=6

C.3x-1-4%+3=1D.3%-1-4x+3—6

【答案】B

【解答】解：去分母得：3(x-1)-2(2x+3)=6,

故选：B.

15.(2022秋•西山区期末)解下列方程：

⑴3(x-2)=2(x-1)；

【答案】⑴x=4；

(2)x=-1.

【解答】解：(1)3(x-2)=2(x-1),

3x-6—2x-2,

3x-2x=-2+6,

x=4；

(2)Jx；7..

46

3(3x-1)-12=2(5x-7),

9x-3-12=10x-14,

9x-10x=-14+3+12,

-x=l,

X=-1.

16.(2022秋•如皋市校级期末)解方程:

(1)3-2(x+2)=3(x-1)；

【答案】(1)x上；

5

(2)%=-13.

【解答】解：(1)3-2(x+2)=3(x-1)

去括号得：3-2x-4=3x-3,

移项得：~2x-3x—-3-3+4,

合并同类项得：-5%=-2,

系数化为1得：X上；

5

去分母得：3(x-1)-6=2(2x+2),

去括号得：3x-3-6—4.r+4,

移项得：3x-4x=4+3+6,

合并同类项得：-x=13,

系数化为1得：x=-13.

17.(2022秋•仪征市期末)解方程：

(1)5(%-1)+3=3%-3；(2)*-1+3=].

52

【答案】⑴x=」；

2

(2)

7

【解答】解：(1)5(x-1)+3=3x-3,

5x-5+3=3x-3,

5x-3x=-3-3+5,

2x=-1,

2

(2)二1+三=1,

52

2(x-1)+5x=10,

2x-2+5x=10,

2x+5x=10+2,

7x=12,

L12

7

18.(2022秋•南昌期末)用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能.下面是

小凯错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务，

2x_4-3x_5x+8

T63

解：2X2x-(4-3x)=2(5x+8)第一步

4x-4+3x=10x+16第二步

4x+3尤-10x=16-4第三步

-3x=12第四步

x--4第五步

任务一：填空：

①以上解题过程中，第一步是依据等式的基本性质进行变形的;第二步去括号时用

到的运算律是乘法分配律；

②第三步开始出错,这一步错误的原因是移项没有变号；

③请直接写出该方程的正确解：％=-空；

3—

任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意

的事项给同学们提一条建议.

【答案】任务一：

①等式的基本性质，乘法分配律；

②三，移项没有变号；

③尸-20;

3

任务二：

答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“-”号，去掉括号时括号里面

各项都要变号等.

【解答】解：任务一：

①以上解题过程中，第一步的依据等式的基本性质进行变形得；第二步去括号时用到的

运算律是乘法分配律；

②第三步开始出错，这一步错误的原因是移项没有变号；

③该方程的正确解是尤=-型；

3

故答案为：①等式的基本性质，乘法分配律；②三，移项没有变号；③氏二-圆；

3

任务二：

答案不唯一，如：去分母时要防止漏乘；或括号前面是“-”号，去掉括号时括号里面

各项都要变号等.

【考点5］同解方程

19.（2022秋•徐闻县期末）若方程2x-5=x-2与3a上巨=a三红的解相同，求。的

25

值.（解方程要有详细步骤）.

【答案】。的值为1.

【解答】解：2x-5=x-2,

2x-x—-2+5,

x=3,

由题意得：

把尤=3代入32/|2=2卓^中可得：

3a-—二a-立，

25

30a-5（3-。）=10。-2（a-6）,

30a-15+5a=10a-2。+12,

30〃+5〃-10〃+2a=12+15,

27〃=27,

4=1,

.'.a的值为1.

20.（2022秋•岳麓区校级期末）已知方程6x-9=10x-5与方程3a-1=3（无+a）-2a的

解相同；

（1）求这个相同的解；

(2)求a的值.

【答案】(l)x=-L

(2)a=-1.

【解答】解：(1)6%-9=10%-5

移项，得：

6x-10x=-5+9,

合并同类项，得：

-4x—4,

系数化为1,得：

x=-1.

(2)由方程6x-9=10x-5与方程3a-1=3(尤+a)-2a的解相同，得

3a-1=3(-1+a)-2a,

解得a=-1.

21.(2022秋•沧州期末)小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不

„11"，：L+I.

2

⑴小明猜想“”部分是2.请你算-算x的值；

(2)小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程1-空检的解相同，请你

510

算一算被污染的常数应是多少？

【答案】(1)2；(2)1.

2

【解答】解：(1)•.,2X-2=L+1,

2

.'.2x-工=1+2,

2

•.•—3X-3Q,

2

•・x=2；

(2)VI-2X+1,=X+3；

510

A10-2(2x+l)=x+3,

10-4x-2=x+3,

・\-4x-x=3-10+2,

••-5x=-5,

•«X—19

设污染的常数为m

把尤=1代入方程得：2-a=」+l,

2

解得：a=—,

2

答：污染的常数应是

2

22.(2022秋•晋州市期末)已知：关于尤的方程正三工=乂和3(2-%)=2尤+1的解相

23

同.求代数式(2-M2022-(5-2m)2023-1的值.

【答案】1.

【解答】解：解方程3(2-x)=2%+1,

得x=l,

将X=1代入

23x

3(m-1)+2(m-3)=6,

3m-3+2根-6=6,

5根=15,

根=3,

将m=3代入(2-m)2022-(5-2m)2023-1,

则(2-m)2022-(5-2m)2023-1

=(-1)2022-(-1)2023-1

=1+1-1

=1.

【考点6］求含参数的一元一次方程

23.(2022秋•莱芜区期末)定义一种新运算“㊉"：m@n^3n-2m+l,比如：4©(-5)

=3X(-5)-2X4+1=-22.

(1)求(-3)©2的值；

(2)已知(3x-1)®(x+3)=6,请根据上述运算，求x值.

【答案】(1)13；(2)2.

【解答】解:(1),.加㊉〃=3”2加+1,

(-3)㊉2

=3X2-2X(-3)+1

=6-(-6)+1

=13.

(2)m®n—3n-2m+l,(3x-1)㊉(x+3)—6,

.\3(x+3)-2(3x-1)+1=6,

去括号，可得：3x+9-6x+2+l=6,

移项，可得：3x-6x—6-9-2-1,

合并同类项，可得：-3x=-6,

系数化为1,可得：x=2

【考点7]一元一次方程的应用

24.(2022秋•西山区期末)一份数学竞赛题，有25道选择题，做对一道题得4分，做错

一道题倒扣1分，某同学做了全部试题，得了85分，他共做对了()

A.19道B.20道C.21道D.22道

【答案】C

【解答】解：设他做对的题数为无道，则做错的题数为(25-x)道，

根据题意得：

4x-(25-x)=80,

解得：尤=21,

即他共做对了21道题，

故选：C.

25.(2022秋•莱芜区期末)有这样-道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多三尺；若

将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果

将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳三尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井

外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？假设井深为无尺，则符合题意的方程应为()

A.—x-3=—X-JB.3x+3=4x+l

C.—x+3=—x+|D.3(x+3)=4(x+1)

34

【答案】D

【解答】解：设井深为x尺，

依题意，得：3(x+3)=4(x+1).

故选：D.

26.(2022秋•汇川区期末)如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“凹”型框中的5

个数(如阴影部分所示).请你运用所学的数学知识来研究，这5个数的和不可能是()

日—■二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.31B.56C.67D.126

【答案】C

【解答】解：设“凹”型框中左上角的数字为无，则其他5个数字为x+2,x+7,x+8,x+9,

则这5个数的和为x+(x+2)+(x+7)+(x+8)+(x+9)=5无+26,

令5x+26=31,得无=1,符合实际，故选项A不符合题意；

令5x+26=56,得尤=6,符合实际，故选项2不符合题意；

令5x+26=67,得》=生，不符合实际，故选项C符合题意；

5

令5x+26=126,得尤=20,符合实际，故选项。不符合题意；

故选：C.

27.(2022秋•市南区期末)古书中有一道题，原文是：今有四人共车，三车空；三人共车,

九人步，问人与车共几何？译文是：今有若干人乘车，每4人共乘一辆车，剩下三辆车;

若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有无人,

可列方程()

A.空B.C.A-3x+9D.2Z3*+9

43434J34

【答案】B

【解答】解：依题意，得：三+3=工±.

43

故选：B.

28.（2022秋•西山区期末）某商品的售价为200元，若以9折出售，仍可获利20%,则该

商品进价是150元.

【答案】150.

【解答】解：设该商品的进价为x元.根据题意得

200X0.9-x=20%・x.

解得x=150.

故答案为：150.

29.（2022秋•建湖县期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市自来水公司

采取价格调控的手段达到节水的目的，市自来水收费的价目表如下（水费按月结算）：

每月用水量价格

不超过6m3的部分3元加

超过6m3不超过10m3的部分4.5元/根3

超过10m3的部分7元加

根据如表的内容解答下列问题：

（1）若小锦家5月份用水5s3,则应交水费15元;

（2）若小锦家6月份用水am3（其中6<aW10）,求小锦家6月份应交水费多少元;

（用含a的式子表示）

（3）若小锦家7月份交水费78元，求小锦家7月份的用水量是多少立方米.

【答案】⑴15；

（2）（4.5a-9）X;

（3）16m3.

【解答】解：（1）根据题意得：5X3=15（元）.

答：应交水费15元；

故答案为：15.

（2）根据题意得：6X3+（a-6）X4.5=18+4.5。-27=（4.5a-9）元.

张鸣家5月份应交水费（4.5a-9）元；

（3）设张鸣家6月份的用水量是X77?,

当用水量为10必3时，应交水费4.5X10-9=36（元），

V78>36,

.\x>10.

根据题意得6X3+(10-6)X4.5+(x-10)X7=78,

解得尤=16.

答：张鸣家36份的用水量是16/.

30.(2022秋•如皋市期末)某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销

活动，其中每个篮球的价格比每个足球的价格多5元，购进5个篮球和4个足球共需700

元.

(1)篮球和足球的进价分别是多少元？

(2)该店购进了篮球和足球共120个，篮球在进价的基础上加价25%进行标价，足球在

进价的基础上加价25元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利2600元，求

该店购进的篮球和足球分别是多少个？

(3)在(2)的条件下，“双H"一”期间，若篮球按标价95%出售，足球按标价先卖出

14个，余下的部分按标价降价10%出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少

元？

【答案】(1)篮球的进价为80元，足球的进价为75元；

(2)购进的篮球80个，足球40个；

(3)该店可获得利润1940元.

【解答】解：(1)设足球的价格为尤元，则篮球的价格为G+5)元，

根据题意得：5(x+5)+4x=700,

解得：尤=75,x+5=80,

篮球的进价为80元，足球的进价为75元；

(2)设购进篮球y个，则足球购进(120-y)个，

篮球的标价为：80X(1+25%)=100元，足球的标价为：75+25=100(元)，

单个篮球的利润为100-80=20元，足球的利润为100-75=25(元)，

根据题意得20y+25(120-y)=2600,

解得：y=80,120-80=40,

购进的篮球80个，足球40个；

(3)篮球售价为100X95%=95元，禾润为：95-80=15(元)；

足球剩下部分售价为100X(1-10%)=90(元)，利润为：90-75=15(元)；

利润为：15X80+25X14+15X（40-14）=1940（元）,

...该店可获得利润1940元.

31.（2022秋•青云谱区期末）某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车

单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天.甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作

运完剩下的垃圾.

（1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？

（2）已知甲车每天的租金比乙车多100元,运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元.则

甲、乙车每天的租金分别为多少元？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，

依题意，得：2至+2=1,

1530

解得：尤=8.

答：甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾.

（2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元，

依题意，得：（8+3）（y+100）+8y=3950,

解得：y=150,

A100=250.

答：甲车每天的租金为250元，乙车每天的租金为150元.

32.（2022秋•榆阳区校级期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新

调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人.

（1）求调入多少名工人；

（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要

2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少

名？

【答案】（1）调入6名工人；

（2）10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套.

【解答】解：（1）设调入x名工人，

根据题意得：16+x=3尤+4,

解得x=6,

，调入6名工人；

（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6=22（名）,

设y名工人生产螺栓，则（22-y）名工人生产螺母，

•••每天生产的螺栓和螺母刚好配套，

.\240yX2=400（22-y）,

解得y=l。，

；.22-y=22-10=12,

答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套.

33.（2022秋•中山市校级期末）整理一批图书，如果由一个人单独做要花40小时.现先

由一部分人用1小时整理，随后增加5人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作.假

设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

【答案】ioA.

【解答】解：设先安排整理的人员有x人，

依题意得：工+2（X+5）=L

4040

解得：x=10.

答：先安排整理的人员有10人.

34.（2022秋•香洲区期末）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名师傅去粉刷8个房

间，结果其中有50〃/墙面还未来得及刷：同样的时间内5名徒弟粉刷了10个房间的墙

面之外，还多粉刷了另外的40加2墙面，每名师傅比徒弟一天多刷io层的墙面.

（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；

（2）已知每名徒弟每天的工钱为180元，现有28间房需要1名徒弟单独完成粉刷，需

支付工钱多少元？

【答案】（1）52；

（2）2340.

【解答】解：（1）设每个房间需要粉刷的墙面面积为mA

根据题意得，丝包__io=l°x+4O“

3u5

解得：x=52,

答：每个房间需要粉刷的墙面面积为52小；

（2）1名徒弟1天可粉刷墙面面积：102£52+40=112（小），28X52x18Q=2340

5112

（元），

答：需支付工钱2340元.

35.（2022秋•罗庄区期末）下表中有两种移动电话计费方式：

月使用费/元主叫限定时间/加几主叫超时费/元/加”

方式一58200X

方式二88400x+0.05

其中，月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费.已

知当方式一主叫超时20分钟，方式二主叫超时40分钟时，两种方式共收费160元.

（1）求x的值.

（2）若每月主叫时间不超过400分钟，当主叫时间为多少分钟时，两种方式收费相同？

（3）若某月主叫时间为700分钟，选择哪种方式计费更省钱？

【答案】⑴尤=02

（2）当主叫时间为350分钟时，两种方式收费相同.

（3）某月主叫时间为700分钟时，选择方式一收费更省钱.

【解答】解：（1）依题意列方程得：58+20x+88+40（x+0.05）=160,

解得，x=0.2；

（2）设主叫时间为f分钟时，两种方式收费相同.

.•.58+（f-200）X0.2=88,

解得，f=350,

.♦•当主叫时间为350分钟时，两种方式收费相同.

（3）若某月主叫时间为700分钟，

则方式一收费为：58+（700-200）X0.2=158（元），

方式二收费为：88+（700-400）X0.25=163（元），

.••某月主叫时间为700分钟时，选择方式一收费更省钱.

36.（2022秋•汇川区期末）如图，己知数轴上有A,B两点，它们分别表示数。，凶且（。+6）

2+|6-12|=0.

AOB

(1)填空：a=-6,b=12；

(2)点C以2个单位长度/秒的速度从点A向点2运动，到达点8后停止运动.若点。

为AC中点，点E为中点，在点C运动过程中，线段QE的长度是否发生改变？若不

变，求线段。E的长度，若变化，请说明原因；

(3)在(2)的条件下，点P以1个单位长度/秒的速度同时从原点。向点8