2024-2025学年广东省广州市三校高一（上）期中数学试卷+答案解析

2024-2025学年广东省广州市华侨中学等三校高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=｛剑一3W1<1｝，1=｛训剑<2｝,则4nB=（）

A.｛剑一2WW1｝B.｛引0W力<1｝C.｛剑一3W/W2｝D.｛剑1</<2｝

2.下列结论正确的是（）

A.若Q〉b，则QC〉beB.若Q〉b，则

ab

c.若加2〉儿2,则Q〉bD.若a〉b，则。2〉肥

3.设函数/⑵=[汇；]，则/（痔））=（）

I4JLy,eb14：

A.逛B.C.y/2D.-1

22V/

4.下列函数最小值为4的是（）

A.?；=x+1B.〃=/+!C.y=\x+4：\D.g=（i+4日

5.函数/（工）=/叫的图象大致为（）

+1

6.若关于x的不等式（加+2）/—（加+2）/+2〉0的解集为五，则实数机的取值范围为（）

A.[—2,6）B.（6,+oo）C.（—2,6]D,[—2,6]

7.已知a>0,b>0,且a+2b=2,若3t2—/+3恒成立，则实数f的取值范围是（）

ab

2244

A.[一牙1]B.C.[---,1]D.[-1,-]

OOuO

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为

世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设立e_R，用阳表示不超过的最大整数，则称?/=团

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为高斯函数.例如，[—2,6]=—3,[1,2]=1,已知函数/(c)=;rf(，20),则函数沙=[/(/)]的值域为

TC«Z/~|Z

()

17

A.{引0<沙<3}B.{y\-C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题正确的是()

A.已知集合”={0,1},则满足条件"UN=刊的集合N的个数为3

B.已知集合4={0,2a+l,a2+3a+l},若—leA,则实数a=—2

C.命题“五eA,的否定是“V/eA,或/⑶>2"

D.设a,b&R,贝|J"a#o”是“a屏0”的必要不充分条件

10.己知/(/)是定义在R上的奇函数，当时，/(2)=/一2，^+b+1.则下列说法正确的是()

A.b=—1

B.当/<0时，/(x)=—X2—2\/^x

C.若/(£)在[位,旬(0<m<n)上单调递减,则/⑺在[-%一河上有最大值一??+2y/n

D.若g(a;)=/(2)+2,g^-m)=-5,则g(m)=7

11.已知集合A={例〃2,…，aj是由〉3)个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素

出(1=1,2,…，㈤之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所

有元素之和相等，就称集合/为“可分集合”.()

A.{1,2,3,4}不是“可分集合”

B.{1,3,5,7,9,11,13}是“可分集合”

C.四个元素的集合4={旬〃2,(13,&4}可能是“可分集合”

D.五个元素的集合4={旬,。2,。3,04,(15}不是"可分集合"

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数"=正I的定义域是.

X

13.已知函数沙=(a2—a+l)/+2为幕函数，且其图象关于原点对称，则实数a=.

14.设/(乃是定义域为(一oo,0)U(0,+oo),满足/(/)+/(—c)=0,若对任意的①1,政e(-00,0),都有

不等式为“22)一灰/(为)<0成立，且/(—2)=0,则不等式/(工)<0解集是.

Xi-X2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.（本小题13分）

已知全集U=R>集合A={rc|x2-4a;+30},B={a;|2<a:<4},C={剑2a<i<a+2}且C非空

集合.

（1）分别求4nB,AU（C（/B）；

（2）若2e。是a；eB的充分不必要条件，求。的取值范围.

16.（本小题15分）

4

已知函数/Q）

X

（1）判断f⑸的奇偶性并加以证明；

（2）根据函数单调性的定义证明：/（立）在区间（0,+oo）上单调递增；

（3）解不等式：f（x-5）<3.

17.（本小题15分）

师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水

果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量卬（单位：千克）与投入的成本302（

3x2+—,0rr2,

§已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供

oZiX

----+力，2<力（5.

{力+1

不应求.水果树单株获得的利润为/（，）（单位：元）.

（1）求/（2）的函数关系式；

（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大？最大利润是多少？

18.（本小题17分）

已知二次函数f⑺=x2-2ax+5.

⑴若/⑶<0的解集为（1,6）,求a+6的值；

（2）若函数“乃的定义域和值域均为［1,a］（a〉1）,求实数a的值;

⑶若函数在区间（—00,2］上单调递减，且对任意的3,©e总有|/（叼）—/（班）|<3成立,

求实数。的取值范围.

19.（本小题17分）

已知函数/侬），对于任意的x,y&R,都有/（，+"）=/⑶+/（9），当c〉0时，/⑶<0,且/⑴=—；.

⑴求/（0），/（3）的值;

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(2)求函数/(2)在区间［一6,8］上的值域；

⑶设函数次为=/(/—*—2/(阳)，若方程9仅)=0有4个不同的解,求机的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:己知集合&={引-3W/W1},B={训同<2}={可―2</<2},

则4nB={1—24,41},

故选：A.

2为绝对值不等式的解集，根据绝对值的意义解出，再求交集即可.

本题考查绝对值不等式的解法和集合的交集，较简单.

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了不等式的基本性质，以及特殊值法，属于基础题.

根据已知条件，结合不等式的基本性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】

解：对于/选项，若a〉b，c=0时，ac=bc<故/选项错误；

对于3选项，当a〉0,b<0时，->故2选项错误；

a0

对于C选项，•.•砒2〉儿2,即（a-匕）。2>0且02>0，

：.a-b>0,即a〉b,故。选项正确；

22

对于。选项，当a=l,b=—2时，a<fc>故。选项错误.

故答案选C.

3.【答案】A

【解析】解：设函数/（/）=（严'。；，；1,，

I2（力一1）,力21

则痔）=2（》）=：

所以〃痔））=/（；）=占彳，.

故选：A.

根据分段函数解析式直接代入求值即可得答案.

本题主要考查函数的值，属于基础题.

4.【答案】B

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【解析】解：对于4当二>0时，y^-^2\X--=4>当且仅当c=2时，取等号.

=xx\x

4

当工<0时，函数沙=z+-的值为负数，因此函数不可能有最小值为4,故/项不正确；

x

对于3,由于小〉o,可得+22213=4，当且仅当立=±2时，取等号，故8项正确；

对于C,当立=一4时，函数g=|2+4］的最小值为0,故。项不正确；

对于。，当/=—4时，函数沙=(2+4)2的最小值为0,故。项不正确.

故选：B.

根据基本不等式以及取等号的条件，判断出“、3两项的正误；根据绝对值的性质，判断出。项的正误；根

据二次函数的性质，判断出。项的正误，即可得到本题的答案.

本题主要考查基本不等式及其应用、二次函数的性质与绝对值的性质等知识，属于中档题.

5.【答案】A

【解析】解：/(-乃=/>=毋\=/(,),则/(2)是偶函数，排除8,D,

当工〉0时,/(/)〉0,排除C,

故选：A.

判断函数的奇偶性和对称性，利用当，>0时，/(x)>0进行判断即可.

本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础

题.

6.【答案】A

【解析】解：m+2=0时，m=-2,不等式(6+2)/-(m+2)/+2〉0化为2>0,解集为R；

(m+2>0

机+2?0时，应满足</°,明,仆，解得一2<m<6；

IA=(m+2)2-4x2x((m+2)<0

综上，实数机的取值范围是{刈-2(机<6},即为［—2,6).

故选：A.

讨论m+2=0和机+2#0时，分别求出不等式的解集为R时实数m的取值范围即可.

本题考查了不等式恒成立的应用问题，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：因为。+?=2+空盘=。+:+224,当且仅当a=b=(时，等号成立，

ababab3

因为3/—力(色+，恒成立，所以3/—1W4,即网一4)(力+1)(0,

ab

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44

解得—即实数，的取值范围是［—1,/

OO

故选：D.

利用基本不等式求出9+3的最小值，从而将不等式恒成立问题转化为关于/的不等式，求解即可.

ab

本题主要考查不等式恒成立求参数范围问题，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解：因为/（乃=中=二+2=5+中（'2°）'

当时，软+222,则兰^e（0,3］,所以:+二

17

即/⑸e百/所以片［/（嘲的值域为{0J2,3}.

故选：D.

16

变换得到/（乃=9+二\侬》0）,确定/（2）的值域，计算得到答案.

本题考查了求函数的值域应用问题，是基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：因为集合“={0」},当MUN=M时，NCM,此时N=0,{1},{0}.{0,1}共4个,

/错误；

集合A={0,2a+1,a2+3a+1},若一1GA,则2a+1=—1或a2+3a+1=—1,

所以a=—1或a=—2,

当a=—1时，4={0,-1,-1}与集合元素互异性矛盾，

故a=—2,B正确；

BxeR,1</（乃<2的否定是veR，/Q）W1或/（，）〉2,c正确;

当a#0时，也可能为0,即充分性不成立，当质壬0时，a#0,即必要性成立，

所以a#0”是“ab#0”的必要不充分条件，。正确.

故选：BCD.

结合集合的并集运算检验选项N,结合元素与集合关系检验选项8,结合存在量词命题的否定检验选项C,

结合充分必要条件检验选项D即可求解.

本题主要考查了集合的基本运算，元素与集合关系，存在量词命题的否定，充分必要条件的判断，属于基

础题.

10.【答案】AC

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【解析】解：对于/选项，因为/(，)是定义在R上的奇函数，/(0)=0,

当时，/(re)=x2-+b+l,

所以/(O)=b+l=0,解得b=—1,所以/选项正确.

对于3选项，当/<0时，一立>0,

因为/(，)是奇函数,所以/3)=-/(—0,

当/?0时，f(x)=x2-1\/x，则/(—2)=(—X)2-2-/-^—x2—2y/^x，

所以当a?<0时，/(c)=—/(—2)=—(/—2，^)=—/+2，^,所以2选项错误.

对于C选项，因为/(2)在［/n,n|(0<wi<n)上单调递减，

根据奇函数的性质可得，/Q)在［-a-刈上单调递减，/(/)在［-%-加上有最大值/(一切，

当时，f(x)=x2-2y/x,当,<0时，/(①)=-/+2，^,

所以/(-n)=—f(n)=-(/-2Vn)=-n2+2诉，所以C选项正确.

对于。选项，因为g(2)=〃c)+2,g｛-m)=/(-m)+2=-5,

因为/(2)是奇函数,所以/(—加)=-f(m),

则—/(加)+2=—5,可得〃加)=7,

所以g(机)=/(6)+2=7+2=9,所以。选项错误.

故选：AC.

对于《选项，利用奇函数/(0)=0来确定6的值；对于3选项，根据奇函数定义求出z<0时〃①)的表达

式；对于C选项，利用奇函数的单调性性质；对于。选项，结合gQ)与/(/)的关系以及奇函数性质求解.

本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4去掉3后，｛1,2,4｝不满足定义，｛1,2,3,4｝不是“可分集合”，/正确;

对于B,集合｛1,3,5,7,9,11,13｝所有元素之和为49,

当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,集合｛3,5,7,9｝与｛11,13｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,集合｛1,9,13｝与｛5,7.11｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,集合｛1,3,7,11｝与｛9,13｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,集合｛1,9,11｝与｛3,5,13｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,集合｛1,3,5,11｝与｛7,13｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素11时，剩下的元素之和为38,集合｛3,7,9｝与｛1,5,13｝的元素和相等,符合题意;

当去掉元素13时，剩下的元素之和为36,集合口,3,5,9｝与｛7,11｝的元素和相等,符合题意;

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因此集合｛1,3,5,7,9,11,13｝是“可分集合”，8正确；

对于C,不妨设<&2<&3<（Z4,去掉即，则。2+。3=。4,去掉&2,则&1+。3=。4,

于是。1=。2,与。1<&2矛盾，

因此4=｛向,。2,。3,。4｝一定不是“可分集合”，。错误；

对于。，不妨设0<向<。2<。3<&4<05，

若去掉元素例，将集合｛a2,a3,a4,05｝分成两个交集为空集的子集，

且两个子集元素之和相等，则有。2+。5=&3+。4，或者。5=。2+。3+。4②，

若去掉元素02,将集合｛（21,a3,a4,。5｝分成两个交集为空集的子集，

且两个子集元素之和相等，则有©+。5=。3+③，或者q5=ai+a3+a4@,

由①③或②④得旬=。2,矛盾；

由①④或②③得电+&2=0,矛盾，

因此集合4=｛%。2"3,&4,05｝不是“可分集合”，。正确.

故选：ABD.

根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得.

本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题.

12.【答案】［—1,0）U（0,+00）

【解析】解：要使函数有意义，须1

I力刈

解得力》一1且I#0

二函数沙=①王工的定义域是［—1,0）U（0,+00）.

X

故答案为［—1,0）U（0,+00）.

根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即1,解此不等式组即可求得函数的

定义域.

此题是个基础题.考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的

被开方式非负，对数的真数大于零等.

13.【答案】1

【解析】解：因为函数沙=（a?—&+1）/+2为幕函数，

所以a2—a+l=l,

解得a=0或a=1>

当a=0时，沙=/为偶函数，它的图象关于/轴对称而非原点对称，故a=0不符合题意，

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当a=l时，沙=/是奇函数，它的图象关于原点对称，故a=1满足题意.

故答案为：1.

由幕函数的定义求出参数a,然后检验函数是否是奇函数即可得解.

本题主要考查了事函数的定义和性质，属于基础题.

14.【答案】(―2,0)U(2,+8)

【解析】解：/(2)是定义域为(—oo,0)U(0,+oo),关于原点对称，

又/⑶+/(—*=0,所以/(乃是奇函数，

因为也㈣二应@<o3,/2e(—oo,0),

XI-①2

设立1<X2,则Xi-X2<0,

所以—6/(①1)〉0，

所以庭2〉以也，

X2X1

令次为=/，则gQ)在(-8,0)上单调递增，

X

又0(—为=止@=二/1@=2=江乃，

—X—XX

所以g(c)在(—oo,0)U(0,+oo)上为偶函数，

所以g@)在(0,+oo)上单调递减，

。⑵=g(—2)=：)=0,

一/

所以当7e(—00,-2)时，g⑺=3<0,则/⑵〉0,

X

当26(—2,0)时，gQ)=@>0,则/侬)<0,

X

当，e(0,2)时,g⑸=但〉0,则/(乃>0,

X

当/e(2,+oo)时，。侬)=@<0,则/(工)<0,

X

所以/(劝<0解集是/C(―2,0)u(2,+oo).

故答案为：(—2,0)U(2,+8).

由已知/(2)是奇函数，由<0,设21<22,可得庭2>庄D,令。(为=9,则9磔)

Xi—X2X2XiX

在(—8,0)上单调递增，可得9(2)在(0,+oo)上单调递减，又g(2)=g(—2)=±3=0,即可解得不等式

一2

/⑶<0解集.

本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于中档题.

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15.【答案】解：⑴A={x\x2—4①+3W0}={剑1W力〈3},

又5={剑2</<4},所以={引出《2或224},

故AG5={x\2</<3},AU=[x\x&3或力24}；

(2)因为/ec是/eg的充分不必要条件，故。是5的真子集，C非空，

2Q<a+2

故(2<2a，故1<Q<2.

4>a+2

【解析】(1)求出集合N后可得4C3,AU(CuB).

(2)根据条件关系可得集合的包含关系，从而可得参数的取值范围.

本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，还考查了充分必要条件与集合包含关系的应用，属于基础

题.

16.【答案】解：(1)/3)为奇函数，证明如下:

函数的定义域为{x\x\/Q},

44

又/(—2)=-x----=-x+-=-/(x),

—XX

所以/(/)为奇函数；

(2)证明：设0<61<力2，

则/(^1)-“劣2)=的一W-(/2—2)=优1一72+(W-W)=3—12+4(———),

力1/2力2力162

因为61一22<0，力1/2>0,

所以/(力1)一/(12)=X1-X2-{-4(———)<0,即/(为)</(“2)，

力1比2

所以/(/)在区间(0,+00)上单调递增；

4

(3)由题意可得，/(力-5)=/一5------<3,

x—5

所以原不等式等价于@—5)2—3Q—5)—4<0,

x—5

即(x-5)(/-4)(y-9)<0,解得，<4或5<x<9,

所以不等式的解集为{工忸<4或5<re<9}.

【解析】(1)结合函数奇偶性的定义即可判断；

(2)设0<的<x2,然后利用作差法比较〃的)与/(物)的大小即可判断；

(3)先对已知不等式进行化简，然后结合高次不等式的求法即可求解.

本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，还考查了高次不等式的求解，属于中档题.

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30/2—30力———,0W/(2

17.【答案】解：(1)由题意可知:/㈤=案卬⑺一3Cte=<O

3201

----—20rc,2</W5

力+1

oQdU

301—30力~\———,0〈力W2

o

(2)由(1)可知:/())=

3207…c

------20a;,2</<5

若0WZ(2,则/(c)=30/—30/+磬，可知其图象开口向上，对称轴为/=：,

此时/(2)的最大值为〃2)=缪；

O

320r16/布一

若2<a?<5,则/(a；)=——--20/=340-20［(®+1)+——-］4340-20x2x(x+1)-----=180,

X|1X|1yX|1

当且仅当力+1=工7,即7=3时，等号成立，

此时/(2)的最大值为/(3)=180；

又因为180>券，可知/(乃的最大值为负3)=180,

所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元.

【解析】⑴由题意可知：/(2)=10WQ)-3(te,结合题意代入运算即可；

(2)分0(2W2和2<2W5,结合二次函数和基本不等式求最大值.

本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题.

18.【答案】解：⑴不等式/⑶<0,即/_2*+5<0，

由不等式的解集为(Lb),所以［:

I1X0—0

解得a=3,b=5,所以a+b=8；

⑵因为函数/(2)=/—2M+5是二次函数，图象开口向上，对称轴为工=a>l,

所以/Q)在定义域［1,a］上单调递减，

所以最大值为/(MmM=AD=6—2a=a,最小值为/(吸向=/(a)=5—(?=1,解得a=2；

(3)因为函数/(a;)=x2-2ax+5的对称轴为/=a,单调减区间为(-oo,a］,

若/(立)在区间(一处2］上单调递减，则a22,所以+—a|=l,

所以对任意的3,22C总有|/(叫)一/(灰)|<3成立，只需|/(a)-/⑴|(3即可，

即|(a2-2a2+5)-(1-2a+5)|=|a2-2a+l|=(a-l)23.

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解得-通Wa-14通，即l-\/^Wa<l+g，

又因为a22,所以实数a的取值范围是｛a|2WaWl+四｝.

【解析】(1)由不等式/Q)<0的解集，利用根与系数的关系即可求出a、b,再计算a+b；

(2)根据二次函数的图象与性质，判