2024-2025学年人教A版高一数学必修第二册 第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷） 解析版

第七章《复数》同步单元必刷卷(培优卷)

一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求，选对得5分，选错得0分.

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共辗复数的定义确定其共物复数即可.

【详解】由题意可得z=

l+i2+i5l-l+ii2-1

则2=1+a.

故选：B.

2.若复数z满足(1-i)z=2i,贝l]zN=()

A.-2B.0C.41D.2

【答案】D

【分析】根据复数的运算规则进行计算即可求解.

【详解】因为(fz=2i,

2i2i(l+i)

所以z=h=—1+i

(j)(l+i)

贝ijz•彳=(—l+i>(—1—i)=(—1)一—i2=2,

故选：D.

3.设复数z满足|z-1|=2,z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.(x-l)2+/=2B.x2+(j^-l)2=2C.(x-l)2+/=4D.x2+(y-l)2=4

【答案】C

【分析】z=x+yi,根据模长公式得到jG-lp+j?=2,两边平方得到答案.

【详解】z=x+yi,则|z-l|=2n|(x-l)+yi|=2,

即/=2,故(x-1)?+y-=4.

故选：C

4.若z-(2+i)=3孑27,则z的虚部为()

71.1

A.—1B.-C.—iD.—

555

【答案】D

【分析】利用复数的周期性化简i2M=_i,再利用复数的四则运算化简Z=1^求出结果即可.

2+1

【详解】因为4rxi3=»

所以z-(2+i)=3-i2°27=3+i,

3+i（3+i）（2-i）71.

所以z=k（2+i心i）『]

所以z的虚部为_飞,

故选：D.

5.法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数百=K(COSd+isin，),

z2=r,（cos6）2+isin^2）（A；,r,>0）,贝!J平？=[cos（4+e2）+isin（4+%）].设z=-g-[i,则z""的虚部为（）

A.走B.—C.1D.0

22

【答案】B

【分析】变形复数z,根据题中定义进行计算，即可判定.

w、*々刀▼1.47i..4兀

【详角牛】2=-----------1=cos-----Fism——，

2233

2024471x2024..4KX2024

所以z=cos------------+ism-------------

33

2兀..2兀1V3.

cos-----Fisin——：---1---1,

3322

所以^的虚部为字.

故选:B.

6.复数2=。+历(“力€1＜八是虚数单位)在复平面内对应点为2,设r=|OZ|,e是以X轴的非负半轴为始边，以OZ所

在的射线为终边的角，贝Uz=a+6i=r(cos8+isine),把r(cosd+isinO)叫做复数°+历的三角形式，利用复数的三

角形式可以进行复数的指数运算，卜(cosH+isin肛"=/(cos〃8+isin7吩(〃eN*),例如:

、3

1拒.=fcos^+isinM

-----1-----1=cos2兀+isin2兀复数Z

I33J

227

满足：z3=l+i,则Z可能取值为()

【答案】D

【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得z=Qcos[学+^|]+isin(与+专),keZ,

即可得解.

【详解】设z=〃(cos6+isin。)，

贝ljz3=l+i=V^[cos：+isin：[=r3(cos38+isin38),

7TKTTIT

所以尸=啦，36=2fai+—,左EZ,即。=——+—,^GZ,

4312

所以2=蚯cos]与+^1J+isin(9+l],k&Z

故人=2时，6=詈，故z可取蚯[cos等+isin詈J,

故选：D

【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数

相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.

7.已知a>0,b>0,复数Z]=l-2i,z2=a-i,Z3=-6在复平面内对应的点为，Z2,Z3,若Z-Z2,Z3三

19

点共线，则一+：的最小值为()

ab

A.9B.8C.6D.4

【答案】B

【分析】

根据复数对应的点共线可得2a+6=l,利用均值不等式求解即可.

【详解】由题意，4(1,-2),Z2(a,-1),Zj(-40),

由三点共线可得，化简可得2a+6=l,

—1—(—2)U—(—2)

又。〉0,Z)>0,

121b4aziclb4ao

+—=(2a+6)—+—=4+—+——>4+2J-----=8,

abyab)ab\ab

当且仅当2=¥，即a=J,6时等号成立.

ab42

故选：B

8.已知复数ZI,々和z满足㈤=卜|=1,若%12|=归-1|=区1|,则目的最大值为（）

A.2gB.3C.V3D.1

【答案】B

【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到忖<3,再将目=3时各复数的取

值取出，即可得到目的最大值.

【详解】根据题意,得[4=旧一）―2|42-力团=归一1|+14团+1+1=3,

当Z]=-l,z2=l,z=3时,|Z1-Z2|=|Z1-1|=|Z2-Z|=2,此时目=3,

所以JL=3.

故选：B.

二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4/2满足：句为纯虚数，"-1|=2七-4|,则下列结论正确的是（）

A.z；=-[z]『B.3<|z2|<7

C.R-Zzl的最小值为3D."]-Z2+3i|的最小值为3

【答案】ABD

【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、

D.

【详解】对A：•,・马为纯虚数，.•.可设4=历优工0）,工；=-62=一|才,二.选项人正确；

对B：=m+ni（m,neR）,v|z2-1|=2|M-4|,

则+n2=4（m-4）2+4n2,即（"?一5）~+n2=4,

则Z2所对应点的轨迹是以（5,0）为圆心，以2为半径的圆，

二34㈤V7,.•.选项B正确；

对C：,.・马为纯虚数，.〔Zi对应点在了轴上（除去原点），

Z2所对应点的轨迹是以（5,0）为圆心，以2为半径的圆,

，%12怕勺取值范围为（3,+动，，归-百无最小值，选项C错误;

对D：•••|zi_Z2+3i|=Kb+3）i_Z2],

表示点（0乃+3）到以（5,0）为圆心，以2为半径的圆上的点的距离,

•r（6+3）ie*0）为纯虚数或0,（0,6+3）在了轴上（除去点（0,3）。

，当6=—3时|zj—+3i|取得最小值3,.•.选项D正确.

故选：ABD.

10.任何一个复数2=。+历（。，beR,i为虚数单位）都可以表示成z=r（cose+isin。）（r>0,6eR）的形式,

通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：K（cose+isine）]"=k（cos〃e+isinM（〃eN*）,我们称

这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（）

A.复数z=l-"的三角形式为z=2（cosg-isin|^

JT

B.当r=l,5时，z+z2+z3+.-+z2024=0

JT

C.当尸=2,§时，z3=—8

TT

D.当r=3,。=二时，"力为偶数”是“z"为纯虚数”的充分不必要条件

4

【答案】BC

【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可.

（5兀57r\

【详解】复数z=l-后的三角形式为z=2"s§+isin§J,故A错误;

当尸=1,。=二■时，z=cos—+isin—=i,

222

因为+i4H2+产+3+i4H4=0,kwZ,

所以Z+z2+z3+...+z2024=0,故B正确;

TT

当〃=2,时，z=2喈+is呜,

3

7171I=2(cos7i+isin7i)=-8,故C正确;

z3=2Gcos—+)i•si•n

I33

TTC兀..兀

当f07时,z=3cos—+isin—,

I44

o兀..兀…rm..rm

2〃3cos—+isin—=3cos—+isin——

I44I44

AnjrTT

若z〃为纯虚数，贝叶，则与==+E,所以〃=4左+2,keZ,

.mt.42

sm—w0

[4

虽然"=4左+2,keZ是偶数,但是偶数还有〃=4左，左eZ的形式的数，

所以“力为偶数”是“z"为纯虚数”的必要不充分条件，故D错误.

故答案为：BC.

11.意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo,1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的

解法推广并整理为四个步骤：

第一步，把方程储+的/+卬：:+。0=0中的工用工-牛来替换，得到方程<+/+9=0；

第二步，利用公式/+,+23-3乎=（彳+〉+2）卜+如+022）卜+02〉+02）将3+0：+9因式分解；

第三步，求得V,z的一组值，得到方程9+必'+9=0的三个根：-了-z,-ajy-（^z,-a}y-a）z（其中

且，i为虚数单位）；

2

22

第四步，写出方程d+&V+qx+q=0的根：X1=-^2-_y_z9X2=-E2.-0）y-C0z9X3=-^_C0y_0）z

某同学利用上述方法解方程8/—12/—42x+55=0时，得到P的一个值：-1+i,则下列说法正确的是（）

3]

A.出=—5B.yz=1C.%=—5+D.x3=—1--\/3

【答案】ABC

【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.

32155

【详解】8X3-12X2-42X+55=0=>X3一一x2x+—=0

248

3

依题意可知出是2次项系数，所以出=-'，A选项正确.

第一步，把方程/一3]一21手+55/0中的x,用x+巳1来替换，

组（1丫3r1丫21f1）553<…

（2J212J4（2J8

第二步，对比X3一6%+4=0与丁+，+z?—3盯z=0,

j3+z3=4

可得＜-3产=-6,解得yz=2,z=-l-i,B选项正确.

y=-l+i

所以_++(l+i)=_l+V3,C选项正确.

x3=-^-afy-mz=--]+"'(-l+i)+""i(1+i)=---A/3,D选项错误.

3-2(2j\72J2

故选：ABC

三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.复数z满足|z-5|=|z-1=|z+i|,则目=.

【答案】3V2

【分析】设2=%+贝(%)©1<),结合复数的几何意义，列出方程组即可求解.

【详解】设复数z=x+yi(x,yeR),

由|z-5|=匕-1|,可得复数z对应的点在以(5,0)和(1,0)为端点的线段的垂直平分线上，所以尤=3,

由|z-l|=|z+i|可得复数z对应的点在以(1,0)和为端点的线段的垂直平分线上，所以N,

\x=3\x=3

联立解得3,所以一.

经检验，2=3—31满足匕一5|=匕一1|=匕+胃,

则目=42+(—3)2=3^/2.

故答案为：372.

13.已知复数z=2c°s：；；in"(夕eR)的实部为0,贝！jtan2O=.

【答案】：4

【分析】利用复数Z=2c°s；；：in"(eeR)的实部为的求出tane=-2,再利用二倍角公式得出结论.

【详解】:复数z二汽浮=*+岫,“-28s外1eq的实部为°,

/.2cos6+sin。=0,「.tan。=-2.

2tan。-4_4

tan26=

1-tan2^1^4-3

4

故答案为：—

14.复平面上两个点Z—4分别对应两个复数z-z2,它们满足下列两个条件：0Z2=Z1-V3i;②两点Z-Z2连

线的中点对应的复数为2i,若。为坐标原点，则△ZQ/的面积为.

【答案】2g

【分析】设句=。+历/2=c+di,a,瓦c,deR,依题意，列出关于a,6,c,d的方程组，解之得Z](6,1),Z2(-石,3),求

出|西西羽|,利用三角形面积公式计算即得.

c+di=(a+bi)•V3i

【详解】设马=。+例/2=c+di,a也ER,依题意,a+cb+d.〜

-----1------1二21

I22

-y[3b=ca=

a=d,解得.b=1/—

即L则有4(6,1)七(一6,3),

a+c=0c=73

b+d=4d=3

贝小西|=2,\OZ1\=26,|也|=4,

由|应『+1西七也/可得△Z0Z?为直角三角形,

故△ZQZ2的面积为:|西川运|=；x2x26=26.

故答案为：2VL

【点睛】思路点睛：本题主要考查复数与复平面内的点、对应向量之间的一一对应关系的应用，属于较难题.

解题思路，即是将复数对应的点或者向量在复平面内表示出来，通过图形理解，列出与复数的实部与虚部关联的方

程组，求出点的坐标，得到相应的边长和角即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分，(15题13分，16-17题15分，18-19题17分)解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。

15.计算:

C兀..兀..71

(1)3cos—+isin—x2cos--1sin—

[66l66

V6^cos-1-+isin-1-

_L,6..兀

-ism—

⑶26

7

兀..兀

(4)(1)+cos—+isin—

66

【答案】(1)6

(3)i

“、^3-1#1+1.

(4)------------1

22

【分析】(1)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

(2)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

(3)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

(4)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

..兀)兀..兀)

【详解】⑴3^cos-^-+isin-^-lx2fcos-^--ism—=6cos—+isin—

6jI66)

」+乌］x［cosJsin禁［cos型+isin玛

(3)

22J166jL33乂I6)160

兀..兀.

=cos—+isin—=1

TM:泊巾葭]

V2V3V21YV3-1V3+1.

=6---X---------X—---X1X—1---------------------------1

(2222)2222J22

16.已知复数Z]=(〃+i)2,z=4-3if其中Q是正实数.

⑴若％=区，求实数。的值；

⑵若五是纯虚数，求。的值.

Z2

【答案】(1)2

⑵2

【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于。的方程组，求解。的值;

（2）根据复数的除法运算求解丸，利用复数的定义，构建关于“的方程组，求解。的值;

Z2

【详解】(1)解：,.・4=(a+i)2,z2=4-3i,z=iz2,

Q2T=3…

••・(。+。2=。2—i+2qi=3+4i,从而、2a=4'解传"=2,

所以实数a的值为2.

(a?+2ai-1)(4+3i)(4a2-6Q-4)+(3〃+8a-3)i

（2）依题意得：立=色土工

z24-3i2525

2

因为丸是纯虚数，所以:4a-6a-4=0„1

2occ，斛得：4=2或Q=一大;

Z23"+8”3w02

又因为。是正实数，所以a=2.

17.已知复数2=〃+加，其中凡6为实数且awO.

⑴若z(z+5)=2+4i,求z；

⑵若0=z-三为纯虚数，且1可0区2,求网的取值范围.

Z

【答案】⑴z=l+2z•或》2i

1,

(2)-4

【分析】（1）根据共辗复数定义、复数运算法则和复数相等的条件可构造方程组求得结果;

2a+6+1

（2）根据复数运算法则化简得到。=Q-----------i,由纯虚数定义可构造方程求得。=26i,由复数

a+b(a2+b2

模长的范围可求得结果.

【详解】(1)z=a+bi,z=a-bi,z(z+z)=2a(a+bi)=2a2+2abi=2+4i,

:仁，解得:a=1Cl=-1、

6=2或jz—1+21—1—2i.

b=-2

2/2(二历)=q+历-与空2a+6+•

(2)co=a+bi---------=a+bi-a—-----7i为纯虚数,

a+b:i(a+bi)(a-bi)a2+b2a+b(a2+b2

2

Q一-<=o

"一，又aNO,.-.a2+b2=2,则26HO,即Z)HO,

2b八

b+------7w0

a+b

：.CD=2bi,:.\co\=2\b\e[l,2],解得：即网的取值范围为.

乙_乙_

18.我们知道复数有三角形式，z=r(cos3+isin0),其中r为复数的模，。为辐角主值.由复数的三角形式可得出,

若OZ]=4(cosd]+z.si〃q),OZ2=r2(cos02+isinO2),贝!|

rx(cos4+isin6x)-r2(cos%+isin02)=rxr2[cos+&)+isin{6x+名)].其几何意义是把向量西绕点。按逆时针方向旋

转角2(如果名<0,就要把西绕点。按顺时针方向旋转角向|),再把它的模变为原来的〃倍.

已知圆。半径为1,圆。的内接正方形/BCD的四个顶点均在圆。上运动，建立如图所示坐标系，设A点所对应的

复数为4，8点所对应的复数为Z2，C点所对应的复数为Z3,。点所对应的复数为z4.

C

(1)若4=^+Li,求出Z2，Z3；

22

(2)如图，若尸(2,0),以尸/为边作等边△尸/。，且。在/P上方.

(i)求线段。。长度的最小值；

(ii)^PQ^xQ4+yOD(》，yeR),求x+y的取值范围.

【答案】⑴Z2」+3，z3=----i

222322

(2)①1；②x+ye272,^^+272

【分析】(1)由题意，根据复数的乘法运算即可求解；

(2)(i)解法一：设句，根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出多,%,进而表示。。的坐标，结合模长公式

计算即可；解法二：连接04,设P/=PQ=Q4=t,N0PA=a,求出cosa,sin进而

OQ2=。1』6十_5层,利用换元法化简计算即可求解；

(ii)设均，则。(sind-cos。)，利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得工+>=^^+2心皿6+打，进而

求解.

【详解】(1)Z2=z「(cos90°+isin90°)=jg+；i-i=-g+gi,

1.V31.

z3=z2•(cos90°+isin90°)=--i=---------------1

2222,

/

(2)⑴解法一：设Z]=cos(9+isin。，6>G[0,2TT),

》所表示的复数为Z5,而所表示的复数为Z6

有z5=cos9—2+isine,

j——]2[―/、—12

Jcosp-yKl+sinp-yKV3

=[5+2百sin(8-g]+2cos(°一=^5+4sin^-y+

其中tanp=g,故线段。。长度的最小值为1.

解法二：连接04,设|P/|=|尸。=|"|=乙NOP4=a,

由|。旬=1可得cosa=Utlzl=H,则_/2_16-1-5)2,

114/4/sina-yj1-cosex,-------------

当邛+1尸。「一2尸H尸qcos[+:时,

化简得|。0|2=[+5』6-一5)+：,令5=4cos夕/?e[0,7r].

则|6>2|2=“asf+5+4.4sin4+g

=2cos4+2V§sin尸+5=4sin[4+^]+521.

同理可得：当=|。尸「+\PQ^-2\OP\-\PQ\cosfj-'时，

八八24cos/+5V3..n5

OQ=------彳-----------48111^+-

=2cos/7-26sin分+5=4sin（/?一E）+521

（ii）设4=cos6+isin。，贝（j=sin。一icos。，即£）点坐标为（sin仇-cos6）,

止匕时尸0-cos,—3―1,sin,—3+百;04=（cos。,sin。），OD=（sin。,—cos。）.

由而二6+p而（x，yeR）得：

cos0——-1=xcos^+ysin^x=cos——cos6+sin8

3

即，解得,

sinl<9-—|+V3=xsin6-ycosey=siny-sin-y/3cos0

故%+>=---^1+^3jcos^+^VJ-ijsin^,

=+2后5泣(8+7)，其中tany=-*+;

可得x+ye^yl-2V2,^-y^+2V2.

【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定

义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，

它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

19.现定义“"维形态复数zj：z„=cos7?6»+isinn<9,其中i为虚数单位，“eN*,”0.

冗

(1)当e=Z时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；

(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求Sin[d+：]的值；

(3)若正整数於，〃(机>1,”>2),满足z,“=Z],z“=z；,证明：存在有理数4,使得加=q“+l-2g.

【答案】⑴证明见解析；

(3)证明见解析.

7T兀..71〃，句=¥（l+i）/2=i,由Z?=z；,即可证明“2维形态复数”与“1维形态

【分析】（1）当时，耳=cos—«+isin—

44

复数”之间存在平方关系;

（2）由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，可得cos2e+isin2e=cos36+isin3e,利用复数相等的条件得到

6=2kji(k£2),即可求511116+：)；

⑶由Z,“=4得COSme+isinm0=cos0+isin