2024-2025学年人教A版高一数学必修第二册考点突破：平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例

6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例

【考点梳理】

/题型一：用向量解决夹角问题

/题型二：用向量解决线段的长度问题

/题型三：向量在物理中的应用

/题型四：向量与几何最值问题

/题型五：用向量证明线段垂直问题

/题型六：向量与几何的综合问题

【知识梳理】

知识点一向量方法解决平面几何问题的步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.

(3)把运算结果“翻建”成几何关系.

知识点二向量方法解决物理问题的步骤

用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.

(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.

(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

技巧：(1)用向量法求长度的策略

①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式1a|2=a2求解.

②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a=(x,y),则|a|=Jx2+y2.

(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想

①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法

则、运算律或性质求解.

②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.

【题型归纳】

题型一：用向量解决夹角问题

____________.1_.

1.(2022•四川南充•三模)在RtZX/BC中，乙4=90。，AB=2,/C=3,AM=2MC，AN=-AB,CN与BM交

于点P,贝UcosNAPN的值为()

A.正B.一至

55

45n26

rL•---------JU•---------

55

【答案】D

【分析】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.

【详解】解:建立如图直角坐标系,则8(0,2),N(0,l),C(3,0),M(2,0),

得函=(-3,1)厢=(-2,2),

丽.标8275

所以cosZBPN

加|.|词710-2^/2"I-

故选：D.

—►2—、1—、

2.(20-21高一下•福建三明•期末)△4BC中，若4B=4C=5,8c=6,点E满足CE=^C4+gC8,直线CE与

直线48相交于点。，则cos/4DE=()

画「3710

--------LJ.-------------

1010

【答案】A

【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出5(0,0)、。(6,0)、/(3,4),然后根据A、B、。三点共线以

__.2—►3—►——►（2481—►/、

及C、E、D三点共线得出再然后根据向量的运算法则得出OC=［彳,-7、山=（3,4）,最后

BADC

根据cosN4DE=网函即可得出结果.

【详解】如图所示，以3点为原点，2c为x轴构建直角坐标系，

因为/8=/C=5,BC=6,所以2(0,0),C(6,0),4(3,4),

^CD=xCA+yCB,

因为A、B、。三点共线，所以x>0,y>0,x+y=l,

—►2—►1—»———

因为CE=--CA+—CB,C、E、D二点共线，所以15_5，

155---

Xy

21

联立二二■；，解得兀=CD=：CA*B,

Ay5555

x+y=1

因为而=(-6,0),C2=(-3,4),所以丽=5C=^,-|

因为第=(3,4),

所以cos//DE

故选：A.

【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹

角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.

3.（2021•陕西•模拟预测）已知菱形中，AC=26,BD=2,点£为。上一点，且CE=2ED,则N/E8的

余弦值为（）

A2A/5口y/5„nV3

5523

【答案】D

【分析】设NC与3。交于点。，以。为坐标原点，AC,8。所在的直线分别为x,丁轴建立平面直角坐标系，利

用向量的夹角公式可得答案.

【详解】设/C与8。交于点。，以。为坐标原点，AC,2。所在的直线分别为X,»轴建立平面直角坐标系如图

所示，则点/（啦,0）,5（0,1）,E,

••・一5（亍4A/22、小一反（65则、'/…同EA-向EB=武2773'

故选：D.

【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，解题的关键点是建立平面直角坐标系,考查了学生的计算能力.

题型二：用向量解决线段的长度问题

4.（22-23高一下•福建•期中）在△48C中，点。是边3c的中点，ZBAC=nO°,43=3,AD=—,则NC的值

2

为（）

A.5B.6C.V31D.V33

【答案】A

【分析】由平面向量的数量积与模的关系计算即可.

【详解】如图所示，由题意可得：

布=:（荏+死）=赤2=；（次2+就a+?在就）=?,

o131Q

即'+_/02_3/°=二，解之得/C=5.

4444

故选：A

5.（2023・全国•模拟预测）已知向量焉.就=6，线段5C的中点为M,且卜应卜6,则国=()

A.2回B.3回C.2>/26D.3^/26

【答案】A

【分析】用平面向量基底｛刀，就｝表示而，就，找到口应|,忸1的关系求解即可.

【详解】^AB=a,AC=b,

I--------»|21/—2-,—►—,,2\I------>|2-»2一——2

由+2a・b+bj,|5C|=a-2a,b+b,

得4P不-圜2=4公石，又已知方.衣=晨9=6，且|刃可=6,

则有|就『=4|而『一4））=4（36—6）=120,

故园=2而.

故选：A.

___—►►2

6.（20-21高一下•江西九江•期中）在△45。中，Z5=/C=2,点M满足两+207k=0,若5。/河=§,则

的值为（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】C

【分析】取8c中点。，由已知可确定两=2荻，利用向量的运算和长度关系将数.而转化为:数『，由此构

造方程求得获=2.

【详解】取BC中点。，连接“。,

■.■BM+2CM=0,即厢7=2标，为8c边上靠近C的三等分点,

\-^C-AM=~BC-{AV+OM^=BC-AV+BC-OM,

AB=AC,:.AOLBC,：,BCAO^O,

又血=:左，,前.而=能.而=：网=|,.•.园=2.

故选：C

题型三：向量在物理中的应用

7.（23-24高一下•河北保定•期中）平面上三个力耳，耳，耳作用于一点且处于平衡状态，同=1N,同=圆，耳

与耳的夹角为45。，则园的大小为（）

A.V3NB.5NC.V5ND.近N

【答案】C

【分析】根据平衡状态得居=-（瓦+瓦），结合向量的数量积求解即可.

【详解】由题意得，可=-（耳+月），

所以园=卜（耳+司=，（耳+瓦）2=［尸+2不瓦+瓦2=Vl+2+2=V5N,

故选：C.

8.（23-24高一下•安徽•期中）平面上三个力瓦及而作用于一点且处于平衡状态.同=1N,同=亚4,耳与耳的

夹角为150。，则同=（）

A.INB.V3NC.V5ND.V7N

【答案】A

【分析】根据已知条件，推得瓦=-（耳+E），再将两边同时平方，即可求解.

【详解】平面上三个力瓦瓦，瓦作用于一点且处于平衡状态，则瓦=-（瓦+瓦），

|瓦|=1N,|瓦卜石N,耳与瓦的夹角为150。，

故同=折+月2+2后•月=V1+3+2X1XV3XCOS150°=1.

故选：A.

9.（23-24高一下•广东广州•阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的

大小为15km/h,方向为北偏西30。，河水的速度为向东7.5km/h,求小船实际航行速度的大小与方向（）.

A.3■百km/h正北B.?■百km/h与水流方向夹角为63.4。

C.，近km/h与水流方向夹角为41。D.g限m/h垂直于河岸

【答案】A

【分析】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度（实际速度）.

【详解】如图，方为河水速度，就为小船航行速度，设而为小船实际航行速度.

设E为渡口A在对岸对应的点，则/4EC=90。，NCAE=30°,

在A/CE中，TNC=|/C|=15,C£=；/C=7.5=*q,

：.E和D重合，|诟卜=J/'_即:='152-7.52=（km/h）.

•••小船实际航行速度的大小为二限m/h,方向为正北方向.

2

故选：A.

题型四：向量与几何最值问题

10.（23-24高一下•江苏南京•阶段练习）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边

长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,

已知/3=2,尸为弧NC（含端点）上的一点，则而•定的范围为（）

A.[0,2]B.[0,273]C.[1,2]D.[0,4]

【答案】A

【分析】利用向量数量积的运算量，结合忸亍卜[1,百]即可求解.

【详解】取BC中点为。，连接尸O,显然|所

A

P

^\P^^=(PO+OB)(Pd+OC>)=(Pd+OBy(Pd-OB)

------,■2>,2►2

=PO-OB=PO-16[0,2].

故选：A.

11.（23-24高一下•重庆•期末）如图，已知正方形N8C。的边长为2,若动点尸在以为直径的半圆上（正方形/BCD

内部，含边界），则正•丽的取值范围为（）

A.[0,2]B.[0,4]C.[0,3]D.[0,1]

【答案】B

【分析】取CD中点E,连接PE,求出阀的取值范围，再根据定•丽=（西+就）•悻+而）结合数量积的运

算律求解即可.

【详解】取C。中点E,连接PE,

因为4BCZ）是边长为2的正方形，动点P在以42为直径的半圆上,

所以当尸在A点或3点时，|丽|取得最大值6，

当P在弧N8中点时，|而|取得最小值1,

|而|的取值范围为[1,6],

—►—►1—►

又因为定.丽=（而+反而+而）,EC=-ED=-DC,=2,

2

所以定•丽=而2一而•反+反•而一反2

|2

=|两I,

因为图的取值范围为[1,⑸,

所以附2的取值范围为[1,5],定.而的取值范围为[0,4],

故选：B

12.（23-24高一下•上海闵行•期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八

卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形斯GH,其中。2=1,若点P是其内部任意一点，则

方・万+万•力的取值范围是（

A.卜\2^^+1)B.卜枝,2)

【答案】C

,。到N2的距离4=也±2但，再根据平面向量数量积的运算，结合

【分析】先根据向量模长可得恒同=亚二71

2

平面向量数量积的几何意义求解即可.

9jrjr

【详解】由八卦图的对称性可得"

------»2------»------►

OB-2.OA-OB

\AB\=

]jr1

设。到43的距离为d,则%B=50司°即叫=#郎，

6

解得d=

y,OA-AP+OFAP^OA-AP+BO-AP=(OA+BO\-AP^BA-AP

=网网、（一cosNP/3）.

又网x（-cosNP/B）即万在面上的投影,

其最大值为乙网=&+后_也一0,

222

最小值为d哈一事一厘.

也_£

~2-

即-14丽方4血-1.

故选：C

题型五：用向量证明线段垂直问题

13.（22-23高一下•湖南常德•阶段练习）如图，正方形ASCZ）的边长为6,E是的中点，尸是5c边上靠近点8的

三等分点，4F与DE交于点、M.

⑴求/EMF的余弦值.

（2）若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P,使得跖，"P?若存在,

求出龙。的长度，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴"

10

（2）存在|MP|=¥M

【分析】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，由于NEMF就是万及万^勺夹角，从而利用向量夹

角的坐标表示即可求解;

（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解分点尸在上、点尸在8C上，结合向量垂直的坐标表示

即可求解.

【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系.

则0（0,6）,E（3,0）,4（0,0）,尸（6,2）,.•.诙=（3,-6）,万=（6,2）.

由于NEMF就是9,N的夹角.

DF18-12的余弦值为东

cosZEMF=,__.1NEMF

\DE\\AF\V9+36-V36+410

(2)设M(x,>),DM=(x,y-6),;DM//DE,3(y-6)+6尤=0,r.2x+y-6=0

,/AM=(^x,y^,AF=(6,2),AF2x-6y=0,.,.x=3y9:.7y=6,:.y=三

775-

由题得丽=（3,2）.

①当点尸在42上时，设P（x,0）,（0W

22

马上上0,.'.x=

77自小7。

②当点尸在2C上时,

72c12八30..

:.—+2y--=y,舍去.

22

综上，存在P|,oj,|w|=|7i3.

7

14.（22-23高一下•山东•期中）如图，48为半圆。的直径，|/阴=2,C为就上一点（不含端点）.

⑵若。是标上更靠近点3的三等分点，。为北上的任意一点（不含端点），求谖•丽的最大值.

【答案】（1）证明见解析

⑵！

【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证;

（2）利用坐标表示出访•瓦，然后由三角函数性质可得.

【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系.

(方法一)由题意可知创=1,设NCOB』a,则ae(O,兀),

^(-1,0),8(1,0),C(cosa,sina),得ZC=(cosa+l,sina),BC二(cosa-l,sina),

所以就•前^cos%-l+sin2a=1-1=0,故就_L庇，即NC_L8C.

(方法二)由题意可知|。4=1,4(-1,0),5(1,0),设C(a,6),

则|。创=[0C|=Ja？+62=1,^a2+b2=1,得NC=(a+l,6),8c=(a—1,6),

所以就•瑟=/-1+62=1-1=0，故就_L前，即/C_L2C.

(2)由题意得NCOB=g,则c1,g)，设4QOB=/3,则尸0(cos?,sin0,

—►―►—>(1百、-.

由(1)得C8=O8-OC=|5，-^-,%=(-l-cos四-sin〃)，

所以Q/.C5=一，一工cos/d——-sin/?=sinf>0--^-—,

一222I6J2

当即力=寻时，@.西2

由4兀得一个

0623'，max2

故7的最大值为

15.（22-23高一下•陕西西安•期末）已知在△/BC中，点/是2C边上靠近点3的四等分点，点N为N8中点，设

与CN相交于点尸.

⑴请用就表示向量而；

⑵设冠和就的夹角为6，若cosO=；,且因=2囤，求证：ov±2g.

【答案】⑴而

44

(2)证明见解析.

【分析】(1)结合图形，根据平面向量的线性运算可得.

(2)以方、就为基底表示出向量函，结合向量的数量积公式，可证得函1.荏.

____»1,131

【详解】(I)AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC.

4444

(2)CN=AN-AC=-AB-AC,

2

K.次='而一就］.刘=；宿一赤.％|同2一阿,同cos。；画2-画.2画.：

珂-画.2网；=0,.-.CN1AB.

题型六：向量与几何的综合问题

16.(23-24高一下・四川泸州•期中)如图所示，A/BC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源

2

补给站在图中的。，E,尸上，岛屿A到补给站。的距离为岛屿A到B的岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相

等，补给站尸在靠近岛屿。的BC的三等分点上，设=而=3.

⑴用用B表示彷，函;

⑵从岛屿C望岛屿A和岛屿B成60。的视角，4C=20海里，且求岛屿A到岛屿8的距离|万|.

—►1一1一一►2—3一

【答案】⑴£/二不-CD=-b+-a

⑵|布卜104

【分析】(1)利用向量的加减法法则，结合图形即可得解；

(2)利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得忖，从而再次利用数量积运算法则即可得解.

【详解】(1)依题意，得益=:万，点E为ZC中点，CF=^CB,

又赤=g，CA=a>

所以丽=反+方=」而+1酝=匕-L£,

2332

0___O____°__o__0&

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CB+-CA=-b+-a.

55、75555

(2)依题意，得忖=|才|=4C=20,

-"-►(2-3-2—23—2

所以CQ.环+、门一］一'=即-^a=0,

所以||彳一■*202=0,则W=30,

…一f1

又Z.ACB=60°,所以。包=20x30x—=300,

2

所以罚=屈一而=加一£,

所以|次卜.一4=Jb2+a2-2a-b=V302+202-2x300=1077.

17.(23-24高一下•四川德阳•期末)如图，四边形48co的三边/8=4£)=C£>=2,48，/。,//DC=120°,对角线

AC交BD于O.

C

⑴若就=九1§+〃通，求九+〃的值；

（2）求NC8的余弦值.

【答案】（1）2±如

2

0、y[6—y/2

-4-

【分析】（1）通过建系，求出就，血,1万的坐标，代入等式列出方程组求解即得;

（2）将NC8理解为K,而，利用两向量夹角的坐标公式即可求得cos就，丽.

【详解】（1）

如图，以A为坐标原点，48为x轴，为了轴建立直角坐标系,

由题意，易得8(2,0),。(0,2),过点。作。〃，天轴于点”,

则/。。8=60。,故。〃=；。。=1,。"二6,

故得，2X=g\2//=3,解得，A=^-ju=—

22

故之+〃=2±乌

(2)由图知，ZCOD=AC,BD

•.•丽=(-2,2),衣=(点3),

的=2百，阿卜20

__.__.~AC>^r)

cosZCOD=cosAC,BD=1k___ll^l

=6匹=与=正也.即NCOD的余弦值为在二立.

2V3X2V22V244

18.(23-24高一下•山东德州•阶段练习)如图，在△NBC中，已知=2,/C=4,/A4c=60。,其尸分别为4C,5c

—•1—•—■1—.

上的点，且，£=]",防=§8C.

(2)求证：AFLBE；

(3)若线段BE上一动点尸满足2方+2+定=0,试确定点P的位置.

【答案】⑴手

(2)证明见解析

(3)尸是线段BE的中点

【分析】(1)记石=£,就=几利用向量的线性运算将刀表示为Z］的关系式，再利用向量的数量积运算即可得

解；

(2)将砺表示为21的关系式，从而利用向量的数量积运算计算方.而即可得证;

(3)利用向量的中点性质与共线定理即可得解.

【详解】(1)依题意，记方=£,就=几

因为/8=2,/C=4,4/C=60。，所以忖=咽=4,£%=2x4cos60。=4，

—►1—►

因为5/=§3C,

_1____1____)__1__01

所以万=方+而=方+］就衣一珂=§刀+§就=/+/,

mil|-7^12(2f1工)4-24^717244116

贝!J4川=—a+—b=—a+—a・b+—b=—x4+—x4+—xl6=——，

II1^33J9999993

故网乎

(2)因为荏■刀，所以砺=方+,％=_方+■/=_)+工2,

2222

—►—►(2-1，f1一'2-21-221

所以//♦§£=_Q+—6•—Q+_6=——a+-b=x4+-xl6=0,

(33JI2)3636

则/，屁，即AFLBE.

(3)因为荏=；就，所以£是NC的中点，故方+无=2而，

因为2方+方+定=6，所以2而+2方=6，即丽=一而，

所以尸是线段BE的中点.

【高分演练】

一、单选题

19.(23-24高一下•陕西渭南•期中)己知一个物体在三个力耳=(O,l),K=(-l,-3),用的作用下，处于静止状态,

则冗=()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,1)

【答案】B

【分析】由静止得到居=-(耳+及)，由向量的加法得到耳+耳，进而得到月.

【详解】因为该物体静止，所以耳+及+兄=6,所以耳=-(耳+可)，

又因为1+E=(0,l)+(T,-3)=(T-2),所以瓦=一(1+月)=(1,2),

故选：B.

20.(23-24高一下•河南南阳・期中)小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为不，两人手臂

上的拉力分别为耳，耳，且同=|司，耳与耳的夹角为。，下列结论中正确的是()

A.e越小越费力，e越大越省力B.始终有同

C.当"暂时，同=同D.当6=]时，同=同

【答案】C

【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得kHg卜’9，由此分析选项，即可得答案.

2cos—

2

【详解】根据题意，由于耳+月=日,又由园=1同，

则有向量耳，及为邻边的四边形为菱形，

则有同=园=为瓦0e[O,7i],

2cos—

2

对于A,由于同不变，则e越小越省力，e越大越费力，A错误；

对于B,由的H斗鸟,B错误；

2cos—

2

对于C,当。=斗时，同=1瓦卜一水=同，C正确；

32cos—

3

对于D,当。=3时，同骨瓦卜以丁?同，D错误.

22cos—

4

故选：C.

21.（24-25高一下•全国•课后作业）已知在四边形4BCD中，AB=a+2b，BC^-4a-b，CD-5a-3b，则四边

形/BCD为（）

A.梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

【答案】A

【分析】利用向量的运算得到诟=2而，即可得到答案.

【详解】因为方=@+23，BC=-4a-b，CD^-5a-3b，

所以通=在+元+丽=,+23）+（—4@-3）+卜5方一33）=一8m—23.

所以疝5=2反二

所以NO//8C且5万卜|就

所以四边形N2C。为梯形..

故选：A.

22.（23-24高一下•黑龙江大庆•期中）已知平面上A,B,C三点不共线，。是不同于A,B,。的任意一点，且

（存-就）•（而+X）=0,贝必NBC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】A

【分析】由（布-X）•（万+元）=0,可得|同=|就即可判断ZUBC的形状.

【详解】因为（赤-就）•（布+就）=0,即而一%2=0,即时=就二

所以画=|阿，所以△48C是等腰三角形.

故选：A.

、，、__.BAJC0而

23.（23-24高一下•甘肃临夏・期末）在四边形/BCD中，^（0,0）,8（1,2）,AB=DC，i=|+I=|=|—|,则四

\DA\LDCniJ

边形/BCD的面积为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据荔=皮=（1,2）,得到四边形/BCD是平行四边形，再由鲁+需=黑可得四边形N3CD是矩

形也为菱形即为正方形即可求解.

【详解】如图所示，

•.・存=皮=（1,2）,.,.四边形A8CO是平行四边形，

昔蒜，濡1分别表示阪数项的单位向量，

...与+至=坦丝平方可得1+1+2函.前=2,

\BA\\BC\\BD\

BA-BC=0,.'.ABIBC,，四边形48。是矩形，

又8。平分/4BC,••.四边形4BCD是菱形，

，四边形/BCD是正方形，且43=追，，此四边形的面积等于5,

故选：D.

24—湖南常德.期中）在口中已知需+鬲"°,且磊磊三则△为（）

A.等腰AB.直角AC.等边AD.三边均不相等的A

【答案】c

7T

【分析】结合条件利用数量积的运算律得8=C,再根据数量积的定义求得/=三，即可判断三角形的形状.

【详解】因为I+卜8。=0,变形-■+■=0,

\AC\]又\AB\\AC\

当H^Ss明西H时<°sc=o=c°sC,则….

\AB\\AC\

~ABIAC1—►—►1—►—►

因为FK=7，即/瓦/。=卓/8卜4口，

|AB7|\AC\22

.”》1.-----►1TT

即|4BH4C|COS/=/MBH4C|，化简得到COS/=],则/=§.

则三角形为等边三角形.

故选：C.

25.（2024•四川成都•三模）在矩形中，AB=5,AD=4,点E满足2存=3而，在平面/BCD中，动点尸满

足而.丽=0，则丽.衣的最大值为（）

A.V41+4B.741-6C.2713+4D.2后-6

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.

【详解】以。为坐标原点（。是8E中点），建立如图所示的直角坐标系，

因为在矩形ABC。中，AB=5,AD=4,2衣=3丽，PE-PB=0,

所以动点尸在以。为圆心，1为半径的圆上运动，故设P（cos6,sine）,

则/（0,4）,Z＞（4,4）,C（4,-l）,

DP-AC=（cos6-4,sin6-4）•（4,-5）=4（cos^-4）-5（sin6l-4）=V41008（61+^＞）+4,

其中锐角。满足tane=j,故丽.就的最大值为两+4,

26.（23-24高一下•北京•阶段练习）在直角梯形/BCD中，AD//BC,ZASC=90°,AD=2AB=2BC=2,点尸

为梯形/BCD四条边上的一个动点，则刀.丽的取值范围是（）

A.——,4B.C.11，4]D.

【答案】D

【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.

【详解】如图中，。为中点，

PA＞PB=（PO+OA）＞（PO+OB）=（PO+OA）＞（PO-OA）=PO2-OA2（极化恒等式）

共起点的数量积问题可以使用.

PAPB=PO2-OA2=PO2-^-,要求方.而取值范围，只需要求尸最大，最小即可.

4

17_►_►1

由图，可知PO?最大时，夕在。点，即尸。2=。。2=/。2+/。2=_,止匕时莎.丽=尸。2――=4,

44

--------,11

尸最小时，P在。点，即尸。2=0,止匕时p4PB=尸。2一=一

44

综上所得，莎.丽取值范围为：-;,4.

故选：D.

二、多选题

27.（22-23高一下•河南•期中）三名学生拉同一个可移动物体，当处于平衡状态时，所用的力分别用瓦瓦，耳表示.

若园=30N,园=10西N,瓦E的夹角是弓，则下列说法正确的是（）

A.同=5行TN

B.同=10万N

C.瓦员夹角的余弦值为一笔I

D.瓦丹夹角的余弦值为得一乎

【答案】BC

【分析】根据-月=6+月，然后利用数量积的运算律及模的运算公式求解归1=10扃N,再由-居=片+月及数量

积的运算公式求解即可.

【详解】由已知可知：一耳=耳+瓦,

所以弗M+2园园。吟园2=900+2x30x1073x^+300=10V21N

设片，片的夹角为，，由-g=与+8，得闯=’闾+2闾闾cos6+闾，

所以300=900+2x30xl0VHxcose+2100，得解cos”-卑.

故选：BC

28.（23-24高一下•江苏泰州•期中）长江某处的南北两岸平行，江面宽度为2km,一艘船从江南岸边的A处出发到

江北岸.已知如图，船在静水中的速度,的大小为同=10km/h,水流方向自西向东，且速度E的大小为

E|=6km/h.设元和E的夹角为。（0<6<兀），北岸的点H在A的正北方向，贝|（）

2

A.当船的航行距离最短时，cos^=--

B.当船的航行时间最短时，0=^7T

2兀

C.当。=胃时，船航行到达北岸的位置在H的左侧

D.当时，船的航行距离为生巨km.

315

【答案】BD

一一d1

【分析】对A,当船的航行距离最短时，*+元的方向与河岸垂直，由此即可验算；对B,‘=印"==方，只

要si"最大即可判断；对C,当*等时，游船水平方向的速度大小为同cos（兀-，，同=7（km/h）然后确定方

向即可；对D,由题意］=I+W=（F+E）f，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算.

,__,.v263

【详解】对于A,当船的航行距离最短时，％+v2的方向与河岸垂直，从而cos，=-cos（兀-0）=-==-寿=二，

故A错误;

d1

对于B,船的航行时间为'=陈荷=高而（h）,若要船的航行时间最短时，贝Usin。最大，

7T

也就是说当且仅当。时，船的航行时间最短时，故B正确；

对于C,当e=g时，游船水平方向的速度大小为同cos卜-If-问=T（km/h）,方向水平向右,

故最终到达北岸时游船在点H的右侧，故C错误；

对于D,由题意设位移分量为1=正后=口，位移为上

4757

(km/h),故D正确.

15

故选：BD.

29.（23-24高一下•福建厦门•期中）在正方形/BCD中，BC=1,点£满足诙=/次（0</<1）,则下列说法不正确

的是（）

A.当'=§时，4E=34B+4DB.当/=§时，cos〈AE,BE）=

C.存在f,使得荏J.丽D.|/+砺|的最小值为2

【答案】BC

【分析】根据给定的正方形及其边长建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示逐项分析计算判断即可.

【详解】由题可以N为原点，AB、分别为x和了轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则由题意幺（0,0）,3（1,0）,C”）,0（0,1）,故在=（1,0）,力=（0,1）,

对于A,当f=g时，则由方=/配可知£心』

所以荏=&1］,又而+g岳(O,l)+*O)D

7V130

130

故B错误;

对于C,由诙=/比(0<"1)可得£«,1),故荏^=(f-l,l-0)=(Z-l,l),

贝U而丽=(⑴”1,1)=(_1)+以1=/7+1=,_；］+|>o,

故不存在;，使得彘工品,故C错误；

对于D,由C得荏+而=«,1)+("1,1)=⑵T2),

故何+阚=|(2/-1,2)|=^(2?-1)2+22=

又故当f=1•时，］荏+砺|取得最小值为4=2，故D正确.

故选：BC.

30.(23-24高一下•湖南永州•期末)已知点尸在△4BC所在的平面内，则下列命题正确的是()

A.若P为ZUBC的垂心，且万.就=3，则N-就=3

B.若9+2方+3斤=0，则△NBC的面积与“AP的面积之比为3:1

(、(\

—11—11—

C.若力尸=言j——+-AB+=——+-AC,则动点尸的轨迹经过A/BC的外心

UBcos52UCcosC2

D.若E,F,G分别为42,BC,NC的中点，且/C=3G=2,PA.PC=Q,则而.而的最大值为二

4

【答案】ACD

【分析】A将后转化为方+而