2024-2025学年人教A版高一数学专项复习：用二分法求方程的近似解（三大题型）

4.5.2用二分法求方程的近似解

目录

【背页［・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・2

题型一：用二分法求近似解的条件.................................................2

题型二：用二分法求方程近似解的过程.............................................3

■JIJji■寸・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・5

【重难点集训】.................................................................8

【।nj】・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・♦・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・16

【题型归纳】

题型一：用二分法求近似解的条件

1.（2024.高一.全国•课后作业）用二分法求方程％-23；=3的近似解，可以取的一个区间是（）

s/x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】令〃x）=x-21g；-3,根据零点存在性定理，以及二分法的概念，即可得出结果.令

/(%)=x-21g-j=-3,

'Jx

则〃2)=2-21g页-3=2-2x卜3lg2-3=lg2_l<0,

i3

/（3）=3-31g^=-3=-lg3>0,

用二分法求方程x-21g=3的近似解，可以取的一个区间是（2,3）.

故选：C.

2.（2024・高一・湖南•课后作业）下列函数中，只能用二分法求其零点的是（）

A.y=x+7B.y=5v-l

C.y=log3x

【答案】D

【解析1由x+7=0得x=—7；由5'—1=0得x=0;由1°§3%。得x=1；

即ABC选项，均可根据解对应的方程求出零点；

D选项，由［gj-x=0,不能直接求解，因此需要用二分法求函数零点.

故选：D.

3.（2024・高一・浙江杭州•期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（）

A.y=3x-lB.y=x3C.y=|.x|D.y=liw

【答案】C

【解析】对于A,y=3x-l为单调递增函数，有唯一零点x=；,且函数值在零点两侧异号,

所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点；

对于B,y=为单调递增函数，有唯一零点彳=0,且函数值在零点两侧异号,

所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点；

对于C,y=W不是单调函数，有唯一零点x=o,但函数值在零点两侧都是正的，

故C不能用二分法求零点；

对于D,y=lnx为单调递增函数，有唯一零点x=l,且函数值在零点两侧异号，

所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点.

故选：C.

4.（2024・高一・湖北恩施•期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）

2

A.log2x+x=0B.e*+x=0C.x—2x+1=0D.yfx+In.x=0

【答案】C

【解析】对于A,〃力=1暇》+工在（0,+8）上单调递增，且=+=

可以使用二分法，故A错误；

对于B,〃x）=eX+x在R上连续且单调递增，且/（0）=1>0,"-!）=『-1<0,可以使用二分法,

故B错误；

对于C,X2-2X+1=（X-1）2>0,故不可以使用二分法，故C正确；

对于D,〃x）=6+lnx在（0,+8）上单调递增，且⑴=1",

可以使用二分法，故D错误.

故选：C

题型二：用二分法求方程近似解的过程

5.（2024・高一.上海.期末）若函数/（力=三-彳-1在区间［LL5］的一个零点的近似值用二分法逐次计算列

表如下：

/(1)<0/(1.5)>0

/(1.25)<0“1.375)>0

/(1.3125)<0/(1.34375)>0

那么方程*3一》_1=。的一个近似解为苫=（精确到0.1）

【答案】L3

【解析】由表格中的数据，可得函数〃力=三-工-1的零点在区间（1.3125,1.3475）之间，

结合题设要求，可得方程％3-尤-1=0的一个近似解为元=1.3.

故答案为：L3.

6.（2024.高一.天津.阶段练习）若用二分法求方程2d+3x-3=0在初始区间（0」）内的近似解，第一次取

区间的中点为占=;,那么第二次取区间的中点为％=.

3

【答案】-/0.75

4

【解析】当x=0时，2X03+3X0-3=-3<0，

当x=l时，2xl3+3xl-3=2>0,

当犬=工时，2x(，］+3xl-3=--<0,

故下一次应取区间(；，1］的中点，即:.

3

故答案为：—.

4

-7

7.(2024・高一・江苏•课后作业)已知函数〃%)=优+盘r口(〃>1).

⑴求证：/(幻在(-1,+8)上为增函数.

(2)若。=3,求方程/(%)=。的正根(精确度为0.01).

【解析】(1)证明：设一1<%<%2，

再_x2%-2%_2画__3(%-％)_

•••f(x)-f(x)=CtCt-T--CtOr

12%+19+1(玉+1)(工2+1)

v-1<^<x2,.•.玉+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,

.3(%-％)〈0

;

"(x1+l)(x2+l)

x

-1<<x2,且。>1,axx<ax2,a'-a^<0,

/(^)-/(x2)<0,即/(xj</(%),

函数/(元)在(T,y)上为增函数；

X—2

(2)由(1)知，当，=3时，/(尤)=3"+——在(T+8)上为增函数,

x+l

故在(。,+⑹上也单调递增，因此〃x)=0的正根仅有一个，

以下用二分法求这一正根，由于/(。)=-1<。，/(1)=|>0,

,取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：

区间中点中点函数值

(0,1)0.50.732

(0,0.5)0.25-0.084

(0.25,0.5)0.3750.322

(0.25,0.375)0.31250.124

(0.25,0.3125)0.281250.021

(0.25,0.28125)0.265625-0.032

(0.265625,0.28125)0.2734375-0.00543

(0.2734375,0.28125)

由于|0.2734375-0.28125|=0.0078125<0.01,

•••原方程的根的近似值为0.2734375.

即f(x)=0的正根约为0.2734375.

8.(2024・高一•全国•课后作业)已知函数/0)=；/-炉+1

(1)证明方程/。)=0在区间(0,2)内有实数解；

(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)=0(无日。，2])的实数解尤。在哪个较小的区间内.

【解析】(1)・・,/(。)=1>。，/⑵=一；<0

.•"(0).〃2)=一卜0,

由函数的零点存在性定理可得方程“X)=0在区间(0,2)内有实数解；

(2)取占=g(0+2)=l,得/⑴=；>0

由此可得/⑴4(2)=-1<0,下一个有解区间为(1,2)

1331

再取马二不(1+2)=不，得/(不)=_«<0

ZZZo

313

-/(-)=--<0,下一个有解区间为(1q)

2o2

135517

再取干”/"得勺)=面>°

‘吟"(|)<o,下一个有解区间为g,|)

综上所述，得所求的实数解无。在区间目，|).

题型三：用二分法求函数零点的过程

9.(2024・高一•全国•课后作业)在用二分法求函数/(x)的一个正实数零点时，经计算，/(0.64)<0,/(0.72)

>0,/(0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为—.

【答案】0.7

【解析】已知/(0.64)<0,/(0.72)>0,则函数/(尤)的零点的初始区间为［0.64,0,72］,

又0.68=g(0.64+0.72),且/(0.68)<0,所以零点在区间［0.68,0.72］,且该区间的左、右端点精确到0.1

所取的近似值都是0.7.

因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.

故答案为：0.7.

10.(2024・高一•全国•课堂例题)求曲线y=lgx和直线y=2-x的交点的横坐标(误差不超过0.05).

【解析】在同一平面直角坐标系中，作出y=igx,y=2-尤的图象如图所示，

可以发现方程lgx=2-x有唯一解，记为七,并且解在区间(1,2)内.

设f(x)=lgx+x_2,则“X)的零点为x0.

用计算器计算得/■⑴<0，〃2)>0n%e(1,2)；

/(1.5)<0,〃2)>0n/«1.5,2),

/(1.75)<0,/(2)>O^xoe(1.75,2),

/(1.75)<0,〃1.875)>0n/e(1.75,1.875),

/(1.75)<0,/(1.8125)>0=飞e(1.75,1.8125),

•.•11.8125-1.751=0.0625<0.05x2,

曲线>=Igx和直线V=2x-的交点的横坐标约为1用12：+175=1.78125.

11.(2024.高一.全国.课堂例题)用二分法求函数〃£)=三-x-l在区间［1,1.5］内的一个零点的近似值.(误

差不超过0.01)

【解析】经计算〃1)=-1<0,/(1.5)=1.53-1.5-1=0.875>0,

所以函数〃尤)在［1,L5］内存在零点尤。，

取［1,1.5］的中点国=1.25,

经计算/(1.25)=1.253-1.25-1=-0.296875<0,

因为/（1.5）-〃1.25）<0,

所以尤0£[1.25,1.5],

如此继续下去，如下表：

区间中点值中点函数近似值

[1,1.5]1.25-0.30

[1.25,1.5]1.3750.22

[1.25,1.375]1.3125-0.05

[1.3125,1.375]1.343750.08

[1.3125,1.34375]1.3281250.01

[1.3125,1.328125]1.3203125-0.02

因为11.328125-1.32031251=0.0078125<0.01,

所以函数“X）=三-x-1在区间[1,1.5]内误差不超过0.01的一个零点近似值可取为1.3203125.

12.（2024.高一.上海.专题练习）判断函数/（"=2/-1的零点个数，并用二分法求零点的近似值.（精确

度0.1）

【解析】因为〃x）=2d_l,

所以"0）=-1<0,/（1）=2-1=1>0

因为）（0）♦）⑴<0,所以“力在区间（0,1）内有零点,

因为/（*）=2丁-1在R上为增函数，

所以有且只有一个零点七e（0/），

取区间（Q1）的中点占=05,/（0.5）=2x0.53-l=-0.75<0,

所以“0.5）•/⑴<0,可得修40.5,1）,

取区间（051）的中点％=075,f（0.75）=2x0.753-l=-0.15625<0,

所以/（0.75）.41）<0,可得/e（0.75,1）,

取区间（0.75,1）的中点X,=0.875,/（0.875）=2x0.8753-l=0.3398>0,

所以〃0.75）•〃0.875）<0,可得飞e（0.75,0.875）,

取区间（0.75,0.875）的中点％=0.8125,广（0.8125）=2x0.81253-1=0.0728>0,

所以/（0.75）•/（0.8125）<0,可得飞e（0.75,0.8125）,

因为|0.8125—0.75|=0.0625<0.1,

所以/（x）=2V_1零点的近似值可取为0.75.

【重难点集训】

1.在使用二分法计算函数〃x）=2-+x—2的零点的近似解时，现已知其所在区间为（1,2）,如果要求近

似解的精确度为0.1,则接下来至少需要计算（）次区间中点的函数值.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】开区间（L2）的长度等于1,每经过一次二分法计算，区间长度为原来的一半，

经过〃次二分法计算后，区间长度变为《，

又使用二分法计算函数/（力=2＞2+了-2的在区间（1,2）上零点的近似解时，要求近似解的精确度为0.1,

所以《40.1,则〃2咱°」，又上＜0.1＜：,所以一工。」«3,4）,又“eN*，故”24,

所以接下来至少需要计算你4次区间中点的函数值.

故选：C.

2.已知定义在耳上的增函数/（%）,在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[区外，

a+b]「1b]-J2a+3b-51八r一人工…

〃，（一，a+294，又----3------J=°'则函数/（%）的零点为（）

74-74

A.——B.——C.——D.——

3399

【答案】C

【解析】由/（乃在[。回上单调递增得：f（a）＜o,f（b）＞0,又a+g＞a恒成立，

a+b

u-\-----------------12

21a=——

--------------------------=QH---------3

22,解得

a+b_bb=-

13

2~4

的零点为一4一=7,

39

故选：C.

3.下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（）

A.y=kx+b（k,b为常数，且左w0）

B.y=ax2+bx+c（〃，b,c为常数，且〃。0）

C.y=2x

k

D.y=—（左NO,左为常数）

x

【答案】A

【解析】由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C,D不能用“二分法”求其零点，故CD

错误；

对于二次函数yuaf+bx+c（tz,b,c为常数，且awO）,当△=/?-4acVO时，不能用二分法，故B错

误；

由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法”求其零点，故A选项正确.

故选：A

4.用二分法求方程/+3x—7=0在（1,2）内的近似解的过程中，构造函数氏0=/+3尤一7,算得犬1）＜0,

川.25）＜0,用.5）＞0,式1.75）＞0,则该方程的根所在的区间是（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,1.75）D.（1.75,2）

【答案】B

【解析】由#.25）＜0,-1.5）＞0得加.25）式1.5）＜0,

又函数兀0的图象是连续不断的，

根据零点存在性定理可知，函数式x）的一个零点x°e（1.25,1.5）,

即方程/+3%—7=0的根所在的区间是（1.25,1.5）,

故选：B

5.已知图像连续不断的函数/'（X）在区间（。力）8-。=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精

确度0.0001）的近似值，那么将区间（"/）等分的次数至少是（）

A.4B.6C.7D.10

【答案】D

【解析】设需计算”次，贝V满足审=岑＜。.00。1,即2"＞1000.

由于29=512,*=1024,故计算10次就可满足要求，

所以将区间等分的次数至少是10次.

故选：D.

6.用二分法求方程尤3一2了-5=0在区间[2,3]内的实根，下一个有根区间是（）

A.[2,2.5]B.[2.5,3]C.[2,2.25]D.[2.75,3]

【答案】A

【解析】由题意，设〃力=三-2》-5,

其中42）=23-2X2—5=T<0,43）=33—2X3—5=16>0,

又由/（2.5）=（2.5）3-2-5=5.625>0,则/（2）•/（2.5）<0,

可得方程根在区间[2,2.5].

故选：A.

7.用二分法求八元）=0在区间（1,2）内的唯一实数解配时，经计算得了⑴=括，犬2）=-5,/（1）=9,则

下列结论正确的是（）

A.尤oC（l，5）B.xo--1-

3

C.XO£（5>2）D.XO=1

【答案】c

【解析】根据二分法求区间根的方法只须找到满足八加•八6）V。由于"3）阴11｝与-0义=-<，所

以七©g?]

故选C.

8.已知/（x）=』-lnx在区间（1,2）内有一个零点七,若用二分法求升的近似值（精确度）为0.2,则最少需要

将区间等分的次数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】设需要将区间等分〃次，

因为每次等分区间，都会将区间的长度变为原来的一半，原区间长度为1,

所以402，得〃2l°g25,

因为“eN*,所以”的最小值为3,

故选：A

9.（多选题）下列说法正确的是（）

A.已知方程的解在化左+l）（%eZ）内，贝蛛=1

B.函数/（力=f—x—6的零点是（3,0）,（-2,0）

C.函数y=2'-x2有两个不同的零点

D.用二分法求函数/（尤）=3'+3%-8在区间（1,2）内零点近似值的过程中得到

/(1)<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,则零点近似值在区间(125,1.5)上

【答案】AD

【解析】对A,记〃x)=e*-8+(易知y=e「8,y=5都在R单调递增,

所以f(x)在R上单调递增，

又〃l)=e-8+g=e-T(°，"2)=e2.7)0,

所以存在唯一零点飞,且9«1,2),

即方程/=8-：的唯一解在(1,2)内，所以左=1,A正确；

对B,^>/(X)=X2-X-6=0,解得x=-2或尤=3,

所以函数〃x)=f-x-6的零点是一2或3,B错误；

当x<0时，函数y=2"和y=x2的图象显然有一个交点，

又22=2?,24=42,所以函数y=2工和>=/的图象在％=2,x=4处相交，

所以y=2,-Y有三个不同的零点，c错误；

对D,因为/(1.25)〃1.5)<0,

所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间(125,1.5)上，D正确.

故选：AD

10.(多选题)教材中用二分法求方程2,+3x-7=0的近似解时，设函数〃x)=2'+3x-7来研究，通过计

算列出了它的对应值表

X1.251.3751.406251.4221.43751.5

“X)-0.87-0.26h-0.050.020.33

分析表中数据，则下列说法正确的是：()

A.//>0

B.方程T+3x-7=0有实数解

C.若精确度到0.1,则近似解可取为1.375

D.若精确度为0.01,则近似解可取为1.4375

【答案】BC

【解析】•••>=2'与y=3X-7都是R上的单调递增函数，

.•"(x)=2*+3x-7是R上的单调递增函数，

在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知：/(1.422)<0,/(1.4375)>0,

.・"(X)在R上有唯一零点，零点所在的区间为(1422,1.4375),

.­•/z<0,A错误；方程2'+3x-7=O有实数解，B正确；/(1.375)=-0.26(0,/(1.4375)=0.02)0,

1.4375-1.375=0.0625<0.1,即精确度到0.1,则近似解可取为1.375,C正确；

/(1.422)=-0.05(0,/(1.4375)=0.02)0,1.4375-1.422=0.0155>0.01,即精确度为0.01,则近似解不可取为

1.4375,D错误.

故选：BC.

11.(多选题)下列方程中能用二分法求近似解的为()

A.lnx+x=0B.ex-3x=0

C.X3-3^+1=0D.4X2-4A/5X+5=0

【答案】ABC

【解析】对于A项，设〃x)=lnx+x,

贝U/(e]=ln4+3=-2+4<0,/(1)=1>0,

所以，旦"X)的图象是一条连续不断的曲线.

根据零点的存在定理可知，骂使得/日)=0,故A正确；

对于B项，设g(x)=e"-3x,

则g(0)=l>0,g(l)=e-3<0,

所以，g(o)g⑴<0,且g(x)的图象是一条连续不断的曲线..

根据零点的存在定理可知，3A,G(0,1),使得g(%)=。，故B正确；

对于C项,设旗力=丁-3x+l,

则旗0)=1>0,A(l)=l-3+l=-l<0,

所以，/1(0)/1(1)<0,且/7(x)的图象是一条连续不断的曲线..

根据零点的存在定理可知，居e(O,l),使得%«)=0,故C正确；

对于D项，设3(%)=4/-4&%+5,

因为=（2尤-6『20恒成立，不存在函数值异号区间，

所以不满足二分法的条件，故D错误.

故选：ABC.

12.用二分法求函数在区间［1,3］上的零点，若要求精确度为0.001,则至少进行次二分.

【答案】11

【解析】根据题意，原来区间［1,3］的长度等于2,

每经过一次二分法操作，区间长度变为原来的一半，

则经过〃次操作后，区间的长度为2义±=±,

令，7<0.001,又“eN*,解得“211.

故答案为：11.

13.用二分法求函数/（尤）=3,-尤-4的一个零点，其参考数据如下:

/(1.6000)~0.20041.5875卜0.1337(1.5750)-0.067

/(1.5625)®0.003/(1.5562卜-0.029/(1.5500卜-0.060

据此数据，可得方程3、-》-4=0的一个近似解为.（精确到0.01）

【答案】1.56

【解析】因为/'（1.5625）=0.003>0,/（1.5562）=-0.029<0,

根据零点存在性定理，可知零点在（1.5562,1.5625）内，

由二分法可得零点的近似值可取为理空注=1.55935,

所以〃x）=3-x-4的一个零点的近似值可取为1.55935,误差不超过0.005.

故答案为：L56

14.用二分法求方程d—2x-5=0的实根，由计算器可算得"2）=-1,"3）=16,“2.5）=5.625,那么

下一个有根区间为.

【答案】（2,2.5）

【解析】因为/（2）=-1<0,f（2.5）=5.625>0,/（2）/（2.5）<0,

所以下一个有根区间为（2,2.5）,

故答案为:（2,2.5）.

15.现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相

同.你能用一架天平尽快把这个“坏乒乓球”找出来吗？

(1)当a=12时，若只称3次就可以找到此“坏乒乓球”，并得出它是偏轻还是偏重，该如何称？

(2)若已知“坏乒乓球偏轻”，当a=26时，至少称几次就一定可以找到此“坏乒乓球”？

【解析】(1)第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况：

①若平，贝坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中，第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取

3个“好乒乓球”为另一边，放在天平上.

(i)若仍平，贝『‘坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个“好乒乓球”放

上天平一看，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重；

(ii)若不平，贝『‘坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是偏轻还是偏重，任取其中2个乒乓球放在

天平上，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”.

②若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边偏重，从右边4个乒乓球中取出3个乒乓

球置于一容器内，然后从左边4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面“好乒乓球”中取3个乒乓球

补入左边，看天平，有三种可能.

(i)若平，贝产坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重；

(ii)若左边重，贝厂坏乒乓球”已从一边换到另一边，因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓

球之一，并且偏轻；

(iii)若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个(左右各一)，“坏乒乓

球”是其中之一(暂不知是偏轻还是偏重).

显然对于以上两种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是偏轻还是偏重.

(2)将26个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，贝「坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里

面；

从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平

衡，贝1]“坏乒乓球，，一定是拿出的那一个，若天平不平衡，贝广坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里

面；

将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，贝『‘坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；

从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天

平不平衡，则质量小的那一个即是“坏乒乓球”.

综上可知，至少称4次就一定可以找到这个“坏乒乓球”.

16.求方程«='+1的零点(精确到0.1).

【解析】令〃x)=6-设函数y=f(x)的零点为％,

因为“2)<0,/(3)>0^/(2)-/(3)<0,所以吃42,3),

由二分法得到下表，

(aS)中点4%所在区间

2.5>0/（2）-/（2.5）＜0（2,2.5）

2.25>0/⑵."2.25）<0（2,2.25）

2.125<0/（2.125）-/（2.25）<0（2.125,2.25）

2.1875>0/（2.125）-/（2.1875）<0（2.125,2.1875）

2.15625>0/（2.125）-/（2.15625）<0（2.125,2.15625）

2.140625<0f（2.140625）•/（2.15625）<0（2.140625,2.15625）

2.1484375>0/（2.140625）-/（2.1484375）<0（2.140625,2.1484375）

因为在精确度为o.l时，2.140625*2.1,2.1484375»2.1,

所以在精确度为0.1时，

17.已知函数/。）=尤+4一3.

尤

（1）判断函数/（X）在区间（L+8）上的单调性，并用定义证明；

（2）用二分法求方程/（X）=0在区间（1,口）上的一个近似解（精确度为0.1）.

【解析】（1）y=〃x）在。,+⑹单调递增；证明如下：

任取玉,工2e。，”），不妨设玉＜工2，/（X2）_/（X1）=%2_%1+------=——=）（'*_12

•^2X?

因为1＜兄1＜%2，贝!]%2—11〉0，2%—1＞0，XjX2＞0,

可得了（%）—/a）＞0，即/（%）＞/（%），

所以y=/（x）在（i,+s）上单调递增.

（2）因为函数/'（x）=x+J-3在区间（1,+⑹上是连续且单调的，

可知其在区间（1,+⑹上的零点即为方程〃尤）=0在区间。,+⑹上的解，

且〃2）＜0,/（3）＞0,可得“力在（L田）内有且仅有一个零点再«2,3）,

在区间（L"）上利用二分法列表如下：

区间中点修中点函数值了（%）区间长度

（2,3）-=2.51

240°

11…

一=2.75f>0

42

「21、j_

—=2.625f>0

84

21'41J_

—=2.5625

16<。8

此时解在区间(匕41工21〕、’此区间长度为上，M2满足精确度为0.1,故区间俘，当

161610<loo)

即(2.5625,2.625)内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程〃x)=0在

(1,+00)上的一个近似解.

18.判断方程尤3一元一1=0在区间［1,1.5］内是否有解；如果有，求出一个近似解.(精确度为0.1)

【解析】设/(工)=丁-》-1,

利用二分法，列表计算如下：

X11.51.251.3751.31251.34375

/(无)-10.875-0.29690.2246-0.051510.0826

由表中数据可得7(1.34375)>0,/(L3125)<0,

因为题中要求精确度为0.1,而左右端点的近似值都为13

所以近似解为13

【高考真题】

2尤+1

1.(2024.高三.海南海口.阶段练习)若在用二分法寻找函数>=/-(%>0)零点的过程中，依次确定