2024-2025学年人教版八年级（下）期中数学试卷（培优篇）（考查范围：第16~18章）含答案

2024—2025学年八年级（下）期中数学试卷（培优卷）

【人教版】

考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第16〜18章

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分

钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容

的具体情况！

第I卷

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

（24-25八年级•广东深圳•期中）

1.下列计算中，正确的是（）

A.6.+6=#）B.3V2-V2=3

C.V12-V3=4D.y/12X#）=6

（24-25八年级•江苏扬州•期中）

2.如图，长方形中，AB=3,AD=1,42在数轴上，若以点A为圆心，NC的长为半径作

弧交数轴于点M,则点M表示的数为（）

D________

-1012

A.VioB.Vio-iC.V5D.V5-1

（24—25八年级•吉林长春•期中）

3.如图，在△NBC中，/4=38。,48=/C,点。在/C边上，以C3、CD为边作口BCDE,

则/E的度数为（）

_______B

ADC

A.71°B.61°C.51°D.41°

试卷第1页，共8页

（24—25八年级•山东济宁•阶段练习）

4.把（2-2的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（）

A.房2—尤B.yjx—2C.-yj2—xD.-Jx-2

（24-25八年级•河南开封•期中）

5.如图，在四边形N8CD中，AB=3,BC=6,CD=\AD=g,且N8CZ>=90。,

C.2+2历D.3+721

（24-25八年级•湖北十堰•期中）

6.如图，矩形NBCr•中，/2=6,点E是/。上一点，且DE=2,CE的垂直平分线交C2

的延长线于点尸，交CD于点、H,连接收交48于点G.若G是48的中点，则8c的长是

()

A.6B.7C.8D.9

（24-25八年级•山东东营•期中）

7.已知三角形的三边长分别为b,c,求其面积问题，中外数学家曾经进行深入研究,

古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=Jp（0-a）（0-6）（0-c）,其中

p=空置,我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—1261）曾提出利用三角形的三边求其

面积的秦九韶公式S=；一]，+；一,2].若一个三角形的三边长分别为2,3,生则

其面积是（）

试卷第2页，共8页

A3而R3岳「153岳

A.---------D.----C.----D.----

8224

（24—25八年级•江苏南通•期中）

8.已知两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠部分构成一个四边形对角线

AC=8,BD=6,过点。作。于点则。H的长是（）

（24—25八年级•四川眉山•期中）

9.如图，在RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=3,AB=5.如果。、E分别为8C、A8上的

动点，那么4D+OE的最小值是（）

27

C.D.6

5

（24-25八年级•浙江金华•期中）

10.图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定

理（/+〃=/）,如图2,连结E/K,GK,FG,记四边形。HKG与正方形。印E的面积分

s

别为S1，S?.若HD=HG,则芳的值为（）

11

D.

20

试卷第3页，共8页

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

（24-25八年级•黑龙江绥化•期中）

11.已知。+6=-8,ab=l,则#+J的值为.

（24—25八年级•辽宁沈阳•期中）

12.如图，点。为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是1和2.过点A作射线

AD1OA,以点。为圆心，Q8长为半径画弧，交/。于点C；以点A为圆心，/C长为半

径画弧，交数轴的正半轴于点E,则点E对应的实数是.

（24—25八年级•湖北荆州•期中）

13.如图，平行四边形/BCD中，E,尸是对角线NC上的两点，有如下四个条件：

①）DE=BF；@AE=FC；（3）Z1=Z2；@AF=EC,如果从中选择一个作为添加条件,

使四边形BED尸是平行四边形，那么这个添加的条件可以是（填写序号）.

（24-25八年级•四川成都•期中）

14.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点/,B,C,D,P都在格点上,

连接/P,CP,CD,则乙PN8—NPC£>=.

C

（24-25八年级•浙江丽水•期中）

15.如图，在四边形中，对角线NC18。，尸为CD上一点,连接/尸交AD于点£,

AF±AB,已知N2/G=Z^5C=45°,且BC+/G=10VI.

试卷第4页，共8页

E^lD

（1）则48的长是；

（2）若AE=2EF,且N/GD+/BCD=180°,则AF=.

（24—25八年级•浙江金华•期中）

16.如图，在长方形48co中，48=10,4。=12,点£为边上的一个动点，把

沿BE折叠，若点/的对应点H刚好落在边的垂直平分线MN上，则NE的长为—.

第II卷

三.解答题（共9小题，满分72分）

（24-25八年级•山东青岛•期中）

17.计算:

（2）2屈-不：x石厉+&I

（24-25八年级•重庆沙坪坝•期中）

18.如图，小区/与公路/的距离NC=200米，小区8与公路/的距离8。=400米，已知

CD=800米.

（1）政府准备在公路边建造一座公交站台。，使。到/、8两小区的路程相等，求。。的长；

（2）现要在公路旁建造一利民超市尸，使P到/、2两小区的路程之和最短，求尸N+P5的最

试卷第5页，共8页

小值，求出此最小值.

（24-25八年级•陕西渭南•期中）

19.如图，点£是D/BCD对角线/C上的点（不与，，C重合），连接BE,过点£作斯，BE

交CD于点尸.连接昉交ZC于点G,BE=AD,NFEC=NFCE.

（2）若点£为NC的中点，求的度数.

（24—25八年级•江苏淮安•期中）

20.像“_2道,-回，这样的根式叫做复合二次根式.有一些复合二次根式可以借

助构造完全平方式进行化简:

请用上述方法探索并解决下列问题:

⑴化简：（9+2旧=_

（2）化简：78-473=_

⑶若-k-6^/2,且左，小,〃为正整数，求上的值.

（24-25八年级•陕西西安・期中）

21.如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化

改变起升高度和工作半径.在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解

到如下信息：如图2,起重臂48=1.3m,点8到地面。的距离3C=OE=2m,点B到

的距离8£=L2m,BE_L4D于E,BCLCD,ADI.CD,求点/地面CD的距离NO的长

为多少米？

试卷第6页，共8页

(24—25八年级•上海浦东新•期中)

22.已知：如图△ABC是直角三角形，NACB=90°,点E、尸分别在边3C、4C上，且

BE=1,AF=3,EF=A.

(1)证明：线段M,AF,8E能组成直角三角形；

(2)当。是边月8上的中点时，判断：DF、的位置关系.

(24-25八年级•河北沧州•期中)

23.嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算

规律.下面是嘉琪的探究过程，请补充完整:

(1)具体运算，发现规律：

特例L

特例2：用="=旧=3。,

特例3：乒|=4心，

特例4：(填写一个符合上述运算特征的式子).

⑵观察、归纳，得出猜想：

如果〃为正整数，用含〃的式子表示上述的运算规律为：

⑶证明你的猜想；

(4)应用运算规律：

试卷第7页，共8页

①化简：^2023+^^x74050=

（a,6均为正整数），则6的值为

（24-25八年级•河北石家庄•期中）

24.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，四边形O/8C为矩形，4（0,5）,

C（26,0）.点£是。。的中点，动点M在线段42上以每秒2个单位长度的速度由点/向点

5运动（到点5时停止）.设动点M的运动时间为/秒.

（备用图）

（1）当f为何值时，四边形MOE8是平行四边形？

⑵若四边形是平行四边形，请判断四边形M4OE的形状，并说明理由；

⑶在线段N3上是否存在一点N,使得以。，E,M,N为顶点的四边形是菱形？若存在,

求出/的值：若不存在，请说明理由.

（24-25八年级•广东广州•期中）

25.在四边形48co中，对角线NC、8。相交于点。.在线段/O上任取一点尸（端点除

外），连接PAPB.点。在胡的延长线上且尸。=BD.

（1）如图1,若四边形ABC。是正方形.

①求乙DPQ的度数；

②探究“。与OP的数量关系并说明理由.

（2）如图2,若四边形/BCD是菱形且44BC=60。.探究40与CP的数量关系并说明理由.

试卷第8页，共8页

1.D

【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加

减乘除运算的计算法则是解答本题的关键.

根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可.

【详解】解：A.逝和G不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意;

B.3万-血=2/，故选项B错误，不符合题意；

C.V124-^3=V4=2,故选项C错误，不符合题意；

D.712x73=736=6,故选项D正确，符合题意.

故选：D.

2.B

【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得448c=90。，AC^AM,

BC=AD=I,再由勾股定理求出㈤W=NC=Ji。，即可得解.

【详解】解：由题意可得：448c=90。，AC=AM,BC=AD=1,

"AC=yjAB2+BC2=VlO，

AM=AC=s/lQ,

.,.点M■表示的数为-1,

故选：B.

3.A

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，

掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键.根据等腰三角形

的性质可求/C,再根据平行四边形的性质可求

【详解】解：在中，N/=38。，AB=AC,

：.ZC=/ABC=(180°-38°)+2=71°,

•.・四边形BCDE是平行四边形，

：./E=/C=71。.

故选：A.

4.D

答案第1页，共23页

【分析】本题主要考查二次根式的性质.由题意易得x>2,然后根据二次根式的性质可进

行求解.

【详解】解：由题意得：白>。,

解得：x>2,

故选：D.

5.A

【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是

解题的关键.

先由勾股定理求出=贝九/笈+皮炉再通过勾股定理逆定理得乙48。=90。，

最后由S四边形4BC0=S/BD+SdBCD即可求解・

【详解】解：・・•/BCD=90。，

•••BD=4BC2+CD2=《0+j=6，

4B=3,AD=y/12，

■■AB2+BD2=AD2，

.-.^ABD=90°,

S四边形/BC£>=SQABD+S&BC0=5xBDxAB+—xBCxCD

=—xV3x3+—xV2xl

22

3有V2

=---1--

22

_3石+血

=-------------,

2

故选：A.

6.A

【分析】过点E作EPL8c于点尸，证明四边形N8PE和四边形CZ)EP为矩形，得出

CD=EP=6,DE=CP=2,根据证明△/EGg/YB尸G,得出/E=又尸〃垂直平分

EC,得出FC=FE,令BC=x,贝！］BP=4E=3尸=x-2,BP=AE=BF=2x-2,

FP=2x-4,EF=FC=2x-2,在Rt^EKP中，EP2+FP2=EF2,进行求解即可.

【详解】解：过点E作£尸，8c于点尸，

答案第2页，共23页

在矩形/BCD中

ZA=ZABC=/BCD=ZD=90°,AB=CD=6,

••・四边形ABPE和四边形CDEP为矩形，

又4B=6,DE=2,

：.CD=EP=6,DE=CP=2,

•••G是48的中点，

.-.AG=GB=3,

又•••AD//BC,

ZAEG=ZBFG,

又AAGE=NBGF,

...△J£G^A5FG（AAS）,

AE=BF,

•・・切垂直平分EC,

：.FC=FE,

令BC=x,贝W=x-2,

又・・•AE=BF=BP,

BP=AE=BF=x—2,

・•・尸尸=2x—4,EF=FC=2x-2,

在RtzXEF尸中，EP2+FP2=EF1，

•••62+（2X-4）2=（2x-2）2

解得x=6.

故选：A.

【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理以及全等三角形的判定

和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形求边长.

7.D

答案第3页，共23页

9

【分析】本题考查了二次根式的应用，设〃=2,b=3,c=4,则p=e，再根据

s=^p(p-a)(p-b)(p-c)计算即可得出答案.

【详解】解：设Q=2,b=3,c=4,

a+b+c2+3+4_9

7=--2-2

95313V15

S=—X—X—X—=

22224

故选：D.

8.B

【分析】作。尸，BC,垂足为尸，设4C与8。相交于点。，根据菱形的判定与性质可知

OB、0A,最后利用菱形面积的两种表示方法即可解答.

【详解】解：作BC,垂足为尸，设/C与相交于点。，

•・•两张等宽的纸条，DH人AB,

:.DF1BC,

:,DH=DF,

•・,AB〃CD,AD//BC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

S平行四边形ABCD=4B•DH=BC♦DF,

•・•DH=DF,

・•.BC=AB,

・•・四边形4BCD是菱形，

.*.OB=OD=—BD=3,OA=OC=—AC=4,AC_LBD,

22

AB=^AO2+OB2=5，

・•.ABDH'ACBD,

2

答：DH的长是4.8；

故选B.

答案第4页，共23页

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积的

两种计算方式，掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

9.A

【分析】延长NC到点尸，使得4C=C/，则直线是线段/尸的垂直平分线，连接

DF,BF,于是得到AD=DF,AB=BF,于是AD+DE就变成了DF+DE,根据点到直线

的距离以垂线段最短原理，得到。尸的最小值就是的高，过点尸作尸于

点G,求FG即可.

此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟

练掌握以上性质是解本题的关键.

【详解】解：延长NC到点尸，使得/C=CF,

■,■ZACB=90°,

・•・直线2C是线段/尸的垂直平分线，

连接。尸,3尸，

AD=DF,AB=BF,

AD+DE就变成了DF+DE,

根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到DF+DE的最小值就是AABF的高，

过点尸作尸G148于点G,

■：ZACB=90°,AC=3,AB=5,

：.AF=2AC=6,BC=NAB?-AC?=4,

SAF・BC=-AB・FG,

“BF22

.-.6x4=5FG,

24

5

故选：A.

答案第5页，共23页

【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知

识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

过点a作LCD于点"，根据题意可得四边形/"A0是矩形，进而证明

RtaD4H出RLDCE(HL),VzCE=AH=CG=DM=MG=x,则。/=DC=AB=BC=3x,

BH=2x,分别表示出H，S],然后作比值求解即可.

【详解】解：过点b作于点M,

四边形4BCD是正方形,

:.MD=MG,四边形是矩形,

MD=AH,

••・四边形48cD,四边形D&E,四边形EFGC都是正方形,

:.DA=DC=AB=BC,

DH=DE=HI=IE,

FG=GC=CE=EF,

ADAH=ZDCE=ZDEI=90°,

在Rt^DAH和RtADCE中,

DH=DE

DA=DC'

答案第6页，共23页

RMZU"四RMOC£（HL）,

/.CE=AH,

CE=AH=CG=DM=MGf

:.CD=CG+DM+MG=3CG=3CE,

设CE=AH=CG=DM=MG=x,

贝!j£M=Z）C=43=5C=3x,BH=2x,

ZDCE=ZEKI=/DEI=90°,

ZDEC+ZIEK=90°,

ZEIK+ZIEK=90°,

:.ZDEC=ZEIK,

又•；DE=EI,

•.FDCE沿△EKI（AAS）,

:.KE=DC=3x,

BH=CK=2x,BK=CE=x,

四边形DHKG的面积H=；（2X+3X）X3X-；X2XXX-；X2XXX=£X2,

222222

正方形DHIE的面积为：S2=DE=CD+CE=（3x）+x=10x,

■

.百_2、J,

,•S?I。/20

故选：D.

11.8

【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据。+6=-8,仍=1判断出

。<0,6<0,将5+^化简再进行加减运算，最后将。+6=-8,刈=1代入求值即可.

【详解】解：5+6=-8,ab=\,

a<0,b<0,

答案第7页，共23页

by[ab+a>fab

ab

(a+b)«E

------------,

ab

当“+6=-8,ab=l,原式=_(8)X&=8,

1

故答案为：8.

12.1+V3##V3+1

【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键.由题意可知

AE=AC,OC=OB=2,再由勾股定理求出NC=6，则/£=6，然后求出

OE=OA+AE=1+下,即可得出结论.

【详解】解：.•・点A和8分别对应的实数是1和2,

:.OA=1,OB=2,

由题意可知，AE—AC,0C=OB—2,

AD10A,

ZOAC=ZBAC=90°,

AC=yj0C2-0A2=V22-l2=V3，

/.AE=-\/3，

:.OE=OA+AE=\+s[3,

即点E对应的实数是1+百，

故答案为：1+g.

13.②(或③，或④)

【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质.

若添加添加①，无法证明四边形BED尸是平行四边形.若添加条件②，连接3。，交/C于

点。，根据平行四边形的性质得到/。=。。，BO=DO,进而得到EO=FO,根据对角线互

相平分的四边形是平行四边形可得证；若添加条件③，根据平行四边形的性质可证得

△4DE%CBF(ASA),得到=ZAED=ZCFB,进而得到DE〃班1,根据一组对边

平行且相等的四边形是平行四边形即可得证；若添加条件④，可根据对角线互相平分的四

边形是平行四边形可得证.

答案第8页，共23页

【详解】解：若添加添加①，无法证明四边形8EZ"是平行四边形.

若添加条件②NE=PC,可得四边形BED尸是平行四边形.

理由如下：

•••四边形是平行四边形，

：.AO=CO,BO=DO,

AE=FC,

.■.AO-AE=CO-CF,HPEO=FO,

四边形BFDE是平行四边形.

若添加条件③N1=N2,可得四边形尸是平行四边形.

理由如下：

•.•四边形/BCD是平行四边形，

AD=CB,AD//BC,

ZDAE=ZBCF,

•••Zl=Z2,

.-.^ADE^CBF(ASA),

DE=BF,ZAED=ZCFB,

.-.180°-NAED=180°-ZCFB,即NDEF=ZEFD,

DE〃BF,

.•.四边形BEDF是平行四边形.

若添加条件④AF=EC,可得四边形BEDF是平行四边形.

理由如下：

连接8。，交/C于点。

答案第9页，共23页

•.•四边形/BCD是平行四边形，

：.AO=CO,BO=DO,

■：AF=EC,

：.AF-AO=CE-CO,HPFO=EO,

四边形BFDE是平行四边形.

综上所述，添加的条件可以是②或③或④.

故答案为：②（或③，或④）

14.45°

【分析】如图，取CD边上的格点E,连接NE,PE,易得证明△”产£为等腰

直角三角形，从而可得答案.

【详解】如图，取CD边上的格点£,连接PE,易得乙BAE=£PCD.

由题意可得NP=2郎=12+22=5,/〃=12+3』1o.

：.AE2=AP2+PE2.

・•.A4PE是等腰直角三角形.

."/£=45

~/.PCD=乙PAB—乙BAE=4PAE=45°.

AB

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的

关键.

15.106

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性

质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.

答案第10页，共23页

(1)延长/下交8C的延长线于点打，易得是等腰直角三角形，可证"5G丝△"4C,

所以5〃=8C+4G=10底，即可得解；

(2)由条件易证”G£之△〃w(/"),得到口=血=2%,所以/〃=5x=10,即可求解.

【详解】解：⑴延长,交3C的延长线于点"，

/./BAH=90°,

ZABC=45°,

.・.ZH=90°-/ABC=45°=/ABC,

:.AB=AH,即△45〃是等腰直角三角形,

ZAHB=45°=ZBAG,AH=AB,

•：ACLBD,

ACAH=90°-/AEG=AABG,

在△Z3G和△H4C中，

"/BAG=ZAHC

<AB=AH,

NABG=ZCAH

AABG^AHAC(SAS)f

/.CH=AG,

BC+/G=10后，

BC+CH=BH=\GC，

在中，AB2+AH2=BH2,

即2AB2=200，

43=10；

故答案为：10；

(2)ZAGD+ZBCD=1SO°,/FCH+/BCD=180°,

/.ZAGD=ZFCH,

答案第11页，共23页

・.・/A4G=45。，/BAG=/FHC,

ZEAG=45°=ZFHC,

在△ZGE和△〃CF中，

NEAG=ZFHC

<AG=CH,

ZAGD=ZFCH

:.“GE知HCF(ASA),

FH=AE,

设EF=x,贝ljFH=AE=2x,

/.4H=4E+EF+FH=5x=10,

角毕得：x=2,

AF=AE+EF=3x=6.

故答案为：6.

,10

16.—

3

【分析】由矩形的性质得到5。=/。=12,5。〃4。,乙4=445。=90。，由线段垂直平分线的

性质得到ZM=6,5N=6,由折叠的性质得到：BAr=AB=10,AE=ArE,由勾股定理求出

NA'7B*-NB。=8,由矩形的性质得到MN=/8=10,求出MH=2,令AE=x,由勾

股定理得到f=(6-x)2+22,求出x=g,即可得到/£的长.

【详解】解：•••四边形/BCD是矩形，

：.BC=AD=n,BC//AD,NN=NABC=90°,

••,AW垂直平分AD，

.L垂直平分5C,

；.AM=LAD=6,NB=1BC=6,

22

由折叠的性质得到：BA'=AB=1Q,AE=A'E,

NA'=yjBA'2-NB2=8，

•••/A=ZABN=NBNM=90°,

四边形/跖VB是矩形，

：.MN=AB=10,

答案第12页，共23页

:.MA=MN—NA="8=2,

令AE=x,

f

:.EA=x,EM=AM-EM=6-xf

EA,2=EM2+MA,2.

x2=（6-x）2+22,

10

x=—,

3

10

..A.E=—,

3

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性

质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键.

17.⑴13+4。

（2）1172-5

【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二

次根式的混合运算法则.

（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；

（2）先计算乘除，再计算加减.

【详解】（1）解：（3>/3-l）（3V3+l）-（2V3-l）2

=（3A/3）2-1-（12-473+1）

=27-1-12+4舁1

=13+46；

(2)解:[^2712-^x76-^1^1

=2712X76-^1XV6-V27-V3-V12^A/3

=12V2-V2-3-2

=nV2-5.

18.(1)475米

答案第13页，共23页

(2)1000米

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出0、P

的位置是本题的关键.

(1)设CQ=x,则。。=800-x,根据利用勾股定理即可得出结果.

(2)作N关于/的对称点H,连接42,交/于P,由对称性得力+尸2的最小值为线段42

的长，作于点E,在RSdBE中，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)解:如图1,

B

A/

CQD1

图1

根据题意得：AQ=BQ,

设C。=x,则DQ=800-x,

2002+x2=4002+(800-%)2,

解得x=475,

即C。的长为475米；

(2)如图，作点/关于直线/的对称点H,连接H8,交直线/于点尸.

B

Q/'尸D

I

A''E

图2

则AP=A'P,

AP+BP=A'P+BP,

.•.尸工+尸8的最小值为

如图,作于点E,

在RtA/'BE中，

HE=CD=800米，BE=BD+DE=BD+CA'=BD+AC=400+200=600米,

答案第14页，共23页

A'B=y/AE2+BE2=J800。+60()2=米，

.♦.尸/+尸8的最小值为1000米.

19.(1)证明见解析

(2)30°

【分析】(1)先由平行四边形的性质得到=则=由等边对等角得到

NECB=ZCEB,则可证明ZFEB=ZBCD=90。，进而可证明平行四边形ABCD是矩形；

(2)由矩形的性质得到8E=CE=g/C,ZABC^90°,则可证明ABCE是等边三角形，得

至UZCBE=60°,贝I]AABE=30°.

【详解】(1)证明：•••四边形是平行四边形，

AD=BC,

•••BEAD,

：.BE=BC,

：.AECB=ZCEB,

ZFEC=ZFCE,

ZFEC+ZCEB=ZFCE+ZBCE,

：.ZBEF=ZBCF,

■■■EF1BE,

ZFEB=ABCD=90°,

・•.平行四边形N8C。是矩形；

(2)解：•••四边形ABCD是矩形，点E为/C的中点，

BE=CE=-AC,/ABC=90°,

2

BE=CE=BC,

・•.△2CE是等边三角形，

ZCBE=60°,

ZABE=30°.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质

与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键：

20.(1)V7+V2

答案第15页，共23页

⑵n-0

(3)11或19.

【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键.

(1)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；

(2)利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；

(3)利用完全平方公式，结合公加、〃为正整数求解即可.

【详解1(1)解：,9+2”?="近'+2xVyx&+(应了=J而+扬之=近+行；

故答案为：V7+V2

(2)&一4G=,6-2*旧+2="旬lxn2亚+(拒『=’("一司；

故答案为：A/6-V2

(3)=k-6y[2

2m2-2亚nrn+n2-k—6^2，

k=2m°+n2,2mn=6,,

mn=3

又•:k、机、〃为正整数，

...机=1,〃=3,或者m—3,n=1,

当加=1,〃=3时，k=2.m2+w2=2xl+32=11;

当机=3,〃=1时，k=2m2+n2=2x32+12=19.

•次的值为：11或19.

21.点/到地面DC的距离ND的长为2.5米

【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理.

根据勾股定理求出/E,根据长方形的性质，得出即=8C,即可得出答案.

【详解】解：由题知：NAEB=90°,

在Rt448E中，由勾股定理得：AE=J/笈-BE?=J1.3?-1.2?=0.5(m),

•；ED=BC=2m,ADLCD,

/O=£D+N£=2+0.5=2.5(m),

答：点/地面。。的距离ND的长为2.5米.

答案第16页，共23页

22.(1)证明见解析；

Q1DELDF,理由见解析.

【分析】(1)根据勾股逆定理即可求证；

(2)延长FD,使得即=DM,连接BM、EM,证明,得到

ZAFD=ABMD,AF=BM=3,得到根据平行线的性质得到=90。，

由勾股定理得到=而，进而得到〃石=斯，由等腰三角形三线合一即可求证；

本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的

性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键.

【详解】(1)证明：・・•跖2+/尸=F+32=10,£F2=(Vio)2=10,

■■BE2+AF2=EF?,

线段EF,AF,BE能组成直角三角形；

(2)解：DE1DF.

理由：延长FD,使得=连接加以、EM,

是边48上的中点，

・•・AD=BD,

又•・,/ADF=/BDM,FD=DM,

・•・△/£)金△BOM(SAS),

ZAFD=ABMD,AF=BM=3,

・•.AC//BM,

：.ZAFB+ZMBC=1SO0,

-ZACB=90°f

=180°-90°=90°,

答案第17页，共23页

.•.在R6MBE中，ME=^BE2+BM2=Vl2+32=V10，

EF=5,

:.ME=EF,

FD=DM,

■.EDLFM,

即EDLFD.

23.（1）^4+11=5^!；（答案不唯一）

6

⑶见解析

（4）①2024收；②18

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键.

（1）根据材料提示计算即可;

（2）由材料提示，归纳总结即可;

（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可;

（4）根据材料提示的方法代入运算即可.

【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例4为：和［=5』,

故答案为：口=56；

（2）解：由上述计算可得，如果〃为正整数，上述的运算规律为:

=（77+1）J----，

故答案为:

Y〃+2

=（几+，

（3）解:DAL^

n+2

等式左边+1=（M+1）./---=等式右边;

Y〃+2

（4）①解:2023+V4050

2025

=2024xXV2X2025

2025

=2024收.

答案第18页，共23页

"+1=9,

.1〃=a=8,b=(〃+2)=10,

a+Z)=18.

24.⑴6.5秒

(2)四边形M40E是矩形，理由见解析

⑶线段存在一点N,使得以。，E,M,N为顶点的四边形是菱形，/的值为12.5秒

或6秒

【分析】(1)根据点C坐标可得。。=26,根据中点定义可得。£=13,根据矩形的性质可

得48=0C,AB//0C,根据平行四边形的性质可得Mb=。£,即可得出的长，根据

点M的速度即可得答案；

(2)如图，由(1)AM=OE=13,AM//OE,可证明四边形"ZOE是平行四边形，

由乙4。后=90。可得四边形M4OE是矩形；

(3)当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可得ON=。£=13,利用勾股定理可求出4N

的长，进而可得出的长，根据点M的速度可求出f值；当点M在点N左侧时，则

OM=OE=13,利用勾股定理可求出的长，根据点M的速度即求得出/值，综上即可

得答案.

【详解】(1)解：如图，•・・四边形O/5C为矩形，。(26,0),

OC=A